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Erschienen in:
2018 | OriginalPaper | Buchkapitel
35. Optimierung und Variationsrechnung – Suche nach dem Besten
verfasst von : Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel
Erschienen in: Mathematik
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Oft sind wir an optimalen Lösungen interessiert. Bei den Segelyachten des Titelbilds wird nicht nur der optimale Kurs am Wind gesucht. Schon bei der Konstruktion ist die beste Form des Rumpfes und sind die besten Materialien gefragt, um Höchstleistungen möglich zu machen. Bei allen Produktionsprozessen wird versucht, den Materialverbrauch so gering wie möglich zu halten, um Kosten und Ressourcen zu sparen. Aber auch natürliche Phänomene sind durch minimalen Energiebedarf gekennzeichnet.
Der Bestimmung von Extrema sind wir schon an verschiedenen Stellen begegnet. Bei differenzierbaren Funktionen, beim Simplexverfahren, in der Fouriertheorie, und bei vielen weiteren Themen spielen Extrema wichtige Rollen. Durch die Entwicklung der Computer können heute auch bei aufwendigen Modellen unter entsprechenden Voraussetzungen beste Lösungen approximiert werden. Wobei die Suche nach dem globalen Minimum wegen vieler lokaler Minima schwierig bis unmöglich sein kann.
Zu berücksichtigen sind häufig auch Einschränkungen an die zur Optimierung zulässigen Größen. Solche Restriktionen sowie die Bewertungskriterien, was eigentlich eine optimale Lösung sein soll, sind je nach Problem sehr unterschiedlicher Natur. Die Optimierungstheorie zeigt, dass es sinnvoll ist, systematisch an solche Fragen heranzugehen und mithilfe ihrer mathematischen Formulierung die Probleme zu analysieren und gegebenenfalls numerisch Lösungen zu bestimmen.