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Über dieses Buch

Wie funktioniert der deutsche Strommarkt? Wie bestimmt man die kostengünstigsten aber ausreichend großen Rohre für Wassernetze? Wie entscheidet man, ob bestimmte Mengen Erdgas durch ein Gasnetz transportiert werden können oder nicht?

Dieses einführende Lehrbuch zeigt anhand konkreter Fragestellungen aus Strom-, Wasser-, Gas- und Verkehrsnetzen, mit welchen Begriffen und Techniken sich Transportvorgänge in solchen Versorgungsnetzen durch mathematische Modelle beschreiben lassen. Neben den technisch-physikalischen Modellen lernt der Leser Techniken zur Analyse typischer Märkte und Handelsmechanismen im Energiesektor kennen. Für beide Fälle werden die mathematischen Lösungsverfahren ausführlich diskutiert. Dazu werden unter anderem klassische Flusstheorie, Optimalitätsbedingungen, lineare Komplementaritätsprobleme und gemischt-ganzzahlige nichtlineare Optimierungsprobleme behandelt, so dass der Leser automatisch zentrale Tücken ganzzahliger und nichtlinearer Optimierungsprobleme kennenlernt und sich im Umgang mit diesen übt.

Das Buch beinhaltet über 50 Übungsaufgaben sowie 5 Projektaufgaben, bei denen konkrete praktische Fragestellungen am Rechner gelöst werden sollen. Vorausgesetzt werden lediglich Vorkenntnisse aus den üblichen Grundvorlesungen der kontinuierlichen und linearen Optimierung (inklusive Dualität). Das Buch ist gut als Grundlage für eine Lehrveranstaltung im Umfang von 4 Semesterwochenstunden plus Übungen im Umfang von etwa 2 Semesterwochenstunden geeignet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir verschiedene Beispiele für Versorgungsnetze vor. Dadurch geben wir einen Überblick für die unterschiedlichen Anwendungsmöglichkeiten der Techniken dieses Buches. Wir diskutieren typische Probleme, die wir in diesem Buch behandeln wollen und geben Beispiele für realistische Netze. Wir schließen dieses Kapitel mit einer Übersicht über den Rest des Buches ab.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 2. Flüsse

Zusammenfassung
Flüsse in Graphen sind die zentralen mathematischen Bestandteile aller Anwendungsprobleme in Versorgungsnetzwerken, die wir in diesem Buch diskutieren. In diesem Kapitel legen wir also den Grundstein für alles folgende, in dem wir die wesentlichen Begriffe einführen und Dualität von Flussproblemen diskutieren. Letzteres wird uns ebenfalls durch das gesamte Buch begleiten. Dabei betrachten wir zwei klassische Probleme: das Max-Flow-Problem und das Min-Cost-Flow-Problem. Zuletzt charakterisieren wir zulässige Ein- und Ausspeisungen für einfache Flussprobleme durch die Sätze von Gale und Hoffman.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 3. Mehrgüterflüsse und Netzwerkdesign

Zusammenfassung
In diesem Kapitel diskutieren wir zwei Erweiterungen des Flussmodells aus dem vorherigen Kapitel. Einmal betrachten wir die Situation, in der mehrere Güter durch unser Netz fließen. Zum anderen fragen wir uns, wie wir Netzerweiterungen modellieren können. Mehrere Güter zu berücksichtigen ist essentiell, wenn wir beispielsweise Verkehrsnetze modellieren wollen. Dass die Nutzerinnen unterschiedliche Start- und Zielpunkte haben, ist zentral, um diese Netze korrekt abzubilden. Mehrere Güter treten auch bei Telekommunikationsnetzen auf, anhand derer wir Modelle für das Netzwerkdesignproblem diskutieren. Lösungen dieser Modelle beantworten die Frage, wie ich ein Netz kostenoptimal erweitern kann um damit gegebene Nachfragen zu befriedigen.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 4. Optimalitätsbedingungen für nichtlineare Optimierungsprobleme

Zusammenfassung
Der Satz von Karush, Kuhn und Tucker über notwendige Bedingungen erster Ordnung ist einer der wichtigsten Sätze der Optimierung. In diesem Kapitel diskutieren wir diesen Satz, führen die dazu notwendigen Begriffe wie zum Beispiel Regularitätsbedingungen ein und illustrieren die KKT-Bedingungen anhand verschiedener Beispiele. Anschließend diskutieren wir die Anwendung des Satzes auf den Spezialfall konvexer Probleme und führen in das Thema der Sensitivitätsanalyse ein.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 5. Peak-Load-Pricing

Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir das Peak-Load-Pricing-Problem als Modell für wohlfahrtsökonomische Optimierungsprobleme. Dabei diskutieren wir die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen und führen grundlegende Begriffe und Techniken für die Analyse solcher Modelle ein. Dabei greifen wir insbesondere auf die Optimalitätsbedingungen aus dem vorherigen Kapitel zurück und wenden sie für die hier diskutierten konvexen Optimierungsprobleme an. Die Ideen und Techniken, die wir in diesem Kapitel einführen, sind außerdem die Basis für unsere Diskussion des deutschen Strommarktes in Kap. 7.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 6. Lineare Komplementaritätsprobleme

Zusammenfassung
Lineare Komplementaritätsprobleme sind eine Klasse von Gleichungs- und Ungleichungssystemen. Sie erlauben einen vereinheitlichenden Blick auf lineare und quadratische Optimierungsprobleme und sind insbesondere von Bedeutung bei der Modellierung von Gleichgewichten – beispielsweise für Gas- oder Strommärkte. In diesem Kapitel führen wir die wichtigsten Begriffe ein, diskutieren den Zusammenhang zu quadratischen Optimierungsproblemen und beweisen einen zentralen Satz über die eindeutige Lösbarkeit bestimmter linearer Komplementaritätsprobleme.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 7. Der deutsche Strommarkt

Zusammenfassung
In diesem Kapitel leiten wir ein vereinfachtes Modell des deutschen Strommarktes her und vergleichen es mit einem vereinfachten Modell von Strommärkten, wie sie in Teilen der USA organisiert sind. Dabei formulieren wir die auftretenden Probleme zunächst als Komplementaritätssysteme, um dann ihre Äquivalenz zu bestimmten Optimierungsproblemen zu zeigen. Der deutsche Strommarkt zeichnet sich dabei dadurch aus, dass auf der Handelsebene die physikalischen Restriktionen des Transportnetzes außer Acht gelassen werden. Erst in einem zweiten Schritt, dem sogenannten Redispatch, werden diese dann betrachtet und das Marktergebnis gegebenenfalls modifiziert. Dies vergleichen wir mit einem sogenannten Nodalpreissystem, welches direkt während des Handels die physikalischen Netzgegebenheiten berücksichtigt.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 8. Potentialgetriebene Flüsse

Zusammenfassung
Potentialgetriebene Flüsse sind eine Erweiterung der klassischen Flüsse. Klassische Flüsse haben die Eigenschaft, dass sie sich an Knoten des Netzes beliebig aufteilen können auf die adjazenten Kanten. Dies ist bei potentialgetriebenen Flüssen nicht möglich, da sie auf jeder Kante gewisse physikalische Gesetze erfüllen müssen, die sie an sogenannte Potentiale auf den Knoten koppeln. In diesem Kapitel betrachten wir sowohl potentialfreie als auch potentialgetriebene Flüsse und leiten den Zusammenhang von ökonomischen Größen (wie Preisen auf Knoten mit Angebot und Nachfrage) und den physikalischen Gesetzen her. Zuletzt analysieren wir noch den Fall von Netzen ohne Transportkosten, für den wir die spezifische Struktur von sogenannten Preiszonen herleiten.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 9. Dimensionierung von Wassernetzen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir das Problem der optimalen Dimensionierung von Wassertransportnetzen. Für eine gegebene Topologie des Netzes muss man bei diesem Problem die festzulegenden Rohrdurchmesser möglichst kostengünstig wählen, so dass alle technisch-physikalischen Bedingungen erfüllt sind und die Kunden ihre vertraglich vereinbarten Mengen erhalten. Die Entscheidung über die Durchmesser selbst führt zu einer gemischt-ganzzahlige Modellierung und die Physik des Wasserflusses führt zu einem nichtlinearen Modell. Wir sind also erstmals mit einem gemischt-ganzzahligen und nichtlinearen Modell konfrontiert, für das wir einfache Reformulierungen diskutieren. Außerdem leiten wir in diesem Kapitel die stationäre Flussphysik aus der genaueren Beschreibung durch zeitabhängige partielle Differentialgleichungen her.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 10. Gemischt-ganzzahlige nichtlineare Optimierungsprobleme (MINLPs)

Zusammenfassung
In diesem Kapitel führen wir gemischt-ganzzahlige nichtlineare Optimierungsprobleme (MINLPs) ein und diskutieren klassische Verfahren zu ihrer Lösung. Wie wir im vorherigen Kapitel gesehen haben, treten solche Optimierungsprobleme z. B. dann auf, wenn wir die Physik eines Versorgungsnetzes hinreichend genau modellieren wollen. Wir geben dabei einen Überblick über Branch-and-Bound, Outer Approximation sowie Spatial Branching und diskutieren außerdem mehrere Techniken zur Berechnung von Unter- und Überschätzern von nichtkonvexen Funktionen. Die Standardprogramme zur Lösung von MINLPs verwenden im Kern die Techniken dieses Kapitels. Leider reichen diese Methoden aber oft nicht aus, um in die für die Praxis relevanten Größenordnungen von MINLPs vorzustoßen, die wir zur Lösung realistischer Versorgungsnetze benötigen. Sie bilden aber den Maßstab für die spezialisierten Verfahren, die wir in den nächsten Kapiteln diskutieren.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 11. MIP-Techniken für MINLPs

Zusammenfassung
Nachdem wir im vorherigen Kapitel allgemeine Techniken zur Lösung von MINLPs gesehen haben, betrachten wir hier eine Technik, die sich speziell für Versorgungsnetze bewährt hat. Wir betrachten Relaxierungen von MINLPs durch MIPs. Wir diskutieren, wie man geeignete MIP-Relaxierungen konstruiert und wie sich diese Techniken anwenden lassen. Diese Verfahren haben sich gerade bei der Lösung von Gas- und Wassernetzproblemen als sehr mächtig erwiesen, um schnell zu Lösungen mit annehmbarer Genauigkeit zu gelangen oder Unzulässigkeit zu beweisen. Allerdings gibt es zur Zeit noch keine allgemeine Implementierung dieser Verfahren, so dass sie problemspezifisch angepasst werden müssen.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 12. NLP-Techniken für MINLPs

Zusammenfassung
Diskret-kontinuierliche Optimierungsprobleme sind schwer zu lösen, weil sie sowohl ganzzahlige Variablen als auch häufig Nichtlinearitäten beinhalten. Nachdem wir im letzten Abschnitt MIP-basierte Techniken zum Lösen von MINLPs diskutiert haben, behandeln wir in diesem Kapitel NLP-basierte Techniken. Dabei gehen wir zunächst darauf ein, wie man nichtglatte Aspekte in Optimierungsmodellen durch Glättungen approximieren kann und diskutieren danach, wie Binärvariablen kontinuierlich reformuliert werden können. Ein Vorteil der in diesem Kapitel behandelten Ideen ist, dass die resultierenden Modelle typischerweise sehr effizient gelöst werden können. Der Nachteil ist, dass man in der Regel nur lokale anstelle von globalen Lösungen erhält.
Lars Schewe, Martin Schmidt

Kapitel 13. Gasnetzwerke

Zusammenfassung
In diesem letzten Kapitel modellieren wir Optimierungsprobleme für Gastransportnetzwerke. Ähnlich wie bei Wassernetzen gibt es sowohl diskrete Entscheidungen als auch Nichtlinearitäten im Modell. Die Nichtlinearitäten kommen unter anderem wieder aus den Differentialgleichungen, die den Gasfluss in Rohren beschreiben. Wir diskutieren insbesondere, wie man diese Differentialgleichungen in ein endlich-dimensionales Modell integrieren kann. Des Weiteren sind die in diesem Kapitel diskutierten Modelle die komplexesten, da wir die bisher größte Anzahl an unterschiedlichen Netzelementen modellieren. Dies soll abschließend einen Einblick geben, welche Komplexität zu bewältigen ist, um für reale Versorgungsnetze praxistaugliche Optimierungsmodelle zu entwickeln.
Lars Schewe, Martin Schmidt

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