Optionsbewertung bei stochastischer Volatilität

Die Bewertung von Finanzderivaten hat seit den wegweisenden Arbeiten von Fischer Black, Robert Merton und Myron Scholes eine rasante Entwicklung genommen. So entstanden seit der Veröffentlichung der Black/Scholes-Formel im Jahre 1973 eine Vielzahl unterschiedlichster Bewertungsmodelle. Wie wichtig dieser Bereich der modernen Finanzierungstheorie geworden ist und welchen Stellenwert die Arbeiten der oben genannten Autoren haben, zeigt die Verleihung des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften im Jahre 1997 an Robert Merton und Myron Scholes.

Im Jahre 1973 veröffentlichten Fischer Black und Myron Scholes ein Bewertungsmodell für europäische Optionen. Sie zeigten als erste, daß mit Hilfe von Arbitrageargumenten eine von den Präferenzen der Marktteilnehmer unabhängige Bewertung der Optionen erreicht werden kann. Der Grundgedanke dabei ist, daß Wertpapiere bzw. Portfolios, die dieselbe Auszahlungsstruktur besitzen, denselben Preis haben müssen. Ist dies nicht der Fall, können durch Arbitrage risikolose Gewinne erzielt werden. Dies führt dazu, daß sich die Preise aufgrund der gestiegenen Nachfrage einerseits bzw. dem erhöhten Angebot andererseits aneinander angleichen, bis sie identisch sind. Die von Black/Scholes (1973) auf Grundlage dieser Überlegungen hergeleiteten Formeln für Kauf- bzw. Verkaufsoptionen auf Aktien lauten:²

Wie im letzten Kapitel beschrieben, ist die angenommene Konstanz der Momentan Volatilität eine wesentliche Schwäche des Black/Scholes-Modells. Daher wurden seit dessen Veröffentlichung Anstrengungen unternommen, um dieses Problem zu lösen. Im folgenden werden zunächst Modelle dargestellt, bei denen die Momentanvarianz nicht konstant ist. Den Schwerpunkt bilden dabei die Ansätze, bei denen ein stochastischer Prozeß zur Beschreibung einer sich im Zeitablauf verändernden Momentanvolatilität verwendet wird. Im Anschluß daran erfolgt die Herleitung des Modells von Heston (1993). Um den Einfluß der Zustandsvariablen und Parameter auf die theoretischen Optionspreise quantifizieren zu können, wird dieses Modell mittels komparativer Statik untersucht. Wie bei Black/Scholes (1973) tritt auch bei Heston (1993) das Problem auf, daß die Momentanvarianz nicht beobachtbar ist. Daher werden Ergebnisse aus statistischen Untersuchungen verwendet, um die Momentanvarianz durch die beobachtbare Zustandsvariable Volumen zu ersetzen. Die Herleitung dieser Erweiterung bildet den Abschluß des Kapitels.

Um die dargestellten Optionsbewertungsmodelle empirisch überprüfen zu können, müssen die Modellparameter geschätzt werden. In der Literatur haben sich dafür zwei Ansätze etabliert. Zum einen ist dies die historische Schätzung, bei der die Parameter aus historischen Werten der in den Modellen spezifizierten Zustandsvariablen ermittelt werden. Die Idee dabei ist, daß die Prozeßparameter im Zeitablauf konstant sind, weswegen sie aus vergangenen Daten geschätzt und zur Bewertung aktueller Optionen verwendet werden können. Beim Black/ Scholes-Modell entspricht dies der Ermittlung des Volatilitätsparameters aus vergangenen Aktienrenditen. Bei der impliziten Parameterschätzung werden die Modellparameter aus den Preisen der Derivate geschätzt, die sie erklären sollen. Dabei wird in der Regel auf historische Daten verzichtet und nur aktuelle Optionspreise zur Ermittlung der Parameterwerte herangezogen. Durch Gleichsetzen der theoretischen und der empirischen Optionspreise lassen sich die gesuchten Parameterwerte bestimmen, indem die sich daraus ergebende Abweichung minimiert wird.

Ein Grund für die weite Verbreitung des Black/Scholes-Modells ist seine Einfachheit. Dies führt dazu, daß die realen Gegebenheiten auf Optionsmärkten nur ungenau wiedergegeben werden. So weichen die empirischen Renditeverteilungen vom modelltheoretischen Ideal einer Normalverteilung ab. Die Annahme einer konstanten Volatilität ist aufgrund vieler Untersuchungen ebenfalls als falsch anzusehen. Daher werden in der Literatur verschiedene Ansätze verfolgt, um die Realität besser abzubilden. Eine Möglichkeit, wie dies erreicht werden kann, ist die Verwendung stochastischer Volatilitätsmodelle. Seit der Arbeit von Heston (1993) ist es damit möglich, schiefe und leptokurtische Renditeverteilungen zu modellieren, ohne dabei auf eine analytische Bewertungsformel verzichten zu müssen. Dabei läßt sich je nach Wahl der Parameterwerte die Form der Renditeverteilung beeinflussen. Zu beachten ist allerdings, daß das Ausmaß der durch Variation eines Parameters ausgelösten Veränderung von den Werten der übrigen Modellparameter bzw. Zustandsvariablen abhängt.