Petri-Netze

Dieser sarkastisch-skeptische Hinweis darauf, was Petri-Netze nicht sind, stammt von P. Stahlknecht. Er wirft ein kräftiges Schlaglicht auf Bekanntheits- und Verbreitungsgrad einer, so P. Mertens, “jener wenigen deutschen ‘Erfindungen’ …, die auch in der US-amerikanischen Fachöffentlichkeit registriert werden”. Allenfalls Informatik-Spezialisten haben die Petri-Netz-Theorie zur Kenntnis genommen; OR-Spezialisten oder gar Betriebswirtschaftler zucken im allgemeinen die Schultern, wenn sie mit dem Namen konfrontiert werden. Und selbst wenn ihre Neugierde angestachelt wird, werden sie sich schwer tun, in ihrer eigenen Fachliteratur hilfreiche Hinweise aufzutun. Selbst in Büchern über Graphentheorie und Netzwerktechniken finden Petri-Netze in aller Regel “nicht statt”.

Formal entsprechen Petri-Netze spezifischen mathematischen Strukturen, die bestimmte Axiome erfüllen. Petri-Netze sind gerichtete Graphen.

Das Potential der Petri-Netz-Theorie zur mathematischen Analyse der dynamischen Eigenschaften und Verhaltensweisen gegebener Petri-Netze ist, wie bereits gesagt, stark abhängig von dem Typ des zu betrachtenden Netzes. Wir haben uns bereits zu Beginn auf die sogenannten Ein-Marken-Petri-Netze konzentriert. Innerhalb dieser Klasse von Petri-Netzen sind eine Vielzahl weiterer struktureller Spezifizierungen möglich.

(1) Wie sehr die Ausdrucksweise der Literatur über Petri-Netze von Mathematik durchsetzt ist, zeigt schon das Wort Element. Der Begriff stammt aus der Mengenlehre und tritt dort in der Definition der Menge auf: Normalerweise betrachten wir Objekte, die Mengen genannt werden, von deren Elementen feststeht, ob sie zur Menge gehören oder nicht. Der letzte Nebensatz scheint auf den ersten Blick trivial und überflüssig, offenbart jedoch etwas von der Exaktheit der hier vorherrschenden Denkungsweise, da so Konstrukte ausgeschlossen werden wie etwa “Der Katalog aller Kataloge, die sich selbst nicht als Katalog enthalten”.

Die Komplexität der beschriebenen Problemstellung ist sicherlich zu gewaltig, als daß Optimierungskalküle bei vernünftigem Mittel- und Zeiteinsatz vertretbar wären. Die Fragestellung, die mit ihr verbundene Netzstruktur und die angestrebten “Zulässigkeitslösungen” vermitteln die Assoziation, daß eine erfolgreiche Analyse des Problems auf der Grundlage der Petri-Netz-Theorie erfolgen kann. Eine Petri-Netzmodellierung des Flugplanes gäbe dem Improvisierer ein Instrument an die Hand, mit dem dieser schnell und systematisch alternative Lösungsvarianten auf Aspekte ihrer Zulässigkeit (“Lebendigkeit” und “Sicherheit”) testen kann. Die im Improvisationsproblem hervorstechende Koordinationsnotwendigkeit stützt die Vermutung, daß zu seiner Handhabung insbesondere auch die Darstellungsmittel und Auswertungssätze spezieller Petri-Netzklassen, vor allem die der Klasse der Synchronisations- und Zustandsnetze, Verwendung finden können.

Größere Netze — und das Lufthansa-Netz zählt sicherlieh zu dieser Kategorie — sind graphisch nur unter unmäßigem Zeitaufwand handhabbar. Aber gerade Zeit ist etwas, woran es den Controllern im allgemeinen mangelt. Die Einführung des algebraischen Kalküls zu gegebenen Netzen ermöglicht deren schnelle Analyse durch einen Rechner.

(1) Unsere positive Beurteilung der Petri-Netz-Theorie generell und für die interaktive Unterstützung des Improvisationsproblems speziell basiert auf ihren Abbildungs- und auf ihren Auswertungscharakteristiken.