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Erschienen in:
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2015 | OriginalPaper | Buchkapitel

Probability Distribution in the SABR Model of Stochastic Volatility

verfasst von : Patrick Hagan, Andrew Lesniewski, Diana Woodward

Erschienen in: Large Deviations and Asymptotic Methods in Finance

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

We study the SABR model of stochastic volatility (Wilmott Mag, 2003 [10]). This model is essentially an extension of the local volatility model (Risk 7(1):18–20 [4], Risk 7(2):32–39, 1994 [6]), in which a suitable volatility parameter is assumed to be stochastic. The SABR model admits a large variety of shapes of volatility smiles, and it performs remarkably well in the swaptions and caps/floors markets. We refine the results of (Wilmott Mag, 2003 [10]) by constructing an accurate and efficient asymptotic form of the probability distribution of forwards. Furthermore, we discuss the impact of boundary conditions at zero forward on the volatility smile. Our analysis is based on a WKB type expansion for the heat kernel of a perturbed Laplace-Beltrami operator on a suitable hyperbolic Riemannian manifold.

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Fußnoten
1
Note that our notation departs somewhat from the notation used in [10]: we use \(\Sigma _t\) instead of \(\alpha _t\) and \(v_t\) instead of \(\nu _t\). The name SABR is an acronym for “Stochastic Alpha Beta Rho” which was the name of the model originally used at Paribas.
 
2
Recent history shows that this is not always necessarily the case, but we regard such occurances as anomalous.
 
3
This solution ignores any boundary condition at \(x=0\) and is sometimes referred to as the Green’s function with a free boundary condition.
 
4
It is the integral kernel of the semigroup of operators generated by the heat equation.
 
5
Strictly speaking, we will deal with distributions rather than functions. A rigor oriented reader can easily recast the following calculations into respectable mathematics.
 
6
It can be an arbitrary interval.
 
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Metadaten
Titel
Probability Distribution in the SABR Model of Stochastic Volatility
verfasst von
Patrick Hagan
Andrew Lesniewski
Diana Woodward
Copyright-Jahr
2015
Buch
Large Deviations and Asymptotic Methods in Finance

Print ISBN: 978-3-319-11604-4

Electronic ISBN: 978-3-319-11605-1

Copyright-Jahr: 2015

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-11605-1_1