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Erschienen in:
2016 | OriginalPaper | Buchkapitel
3. Relaxation Through Moments
verfasst von : Pablo Pedregal
Erschienen in: Optimal Design through the Sub-Relaxation Method
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Abstract
We would like to reflect on the (sub)relaxation we found at the end of Chap. 2: subject to
$$\displaystyle{\mbox{ Minimize in }\nu =\{\nu _{\mathbf{x}}\}_{\mathbf{x}\in \varOmega }:\quad I(\nu ) =\int _{\varOmega }\mathbf{F}(\mathbf{x}) \cdot \nabla u(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}}$$
$$\displaystyle\begin{array}{rcl} & \nabla u(\mathbf{x}) =\int _{\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2}}\lambda \,d\nu _{\mathbf{x}}(\lambda,\rho ),\quad u = u_{0}\mbox{ on }\partial \varOmega, & {}\\ & \mathbf{V}(\mathbf{x}) =\int _{\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2}}\rho \,d\nu _{\mathbf{x}}(\lambda,\rho ),\quad \mbox{ div}\mathbf{V} = 0\mbox{ in }\varOmega, & {}\\ & \nabla u(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{V}(\mathbf{x}) =\int _{\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2}}\lambda \cdot \rho \, d\nu _{\mathbf{x}}(\lambda,\rho )\mbox{ for a.e. }\mathbf{x} \in \varOmega,& {}\\ & \,\mbox{ supp}\,(\nu _{\mathbf{x}}) \subset \varLambda _{1} \cup \varLambda _{0},\mbox{ for a.e. }\mathbf{x} \in \varOmega, & {}\\ & \int _{\varOmega }\nu _{\mathbf{x}}(\varLambda _{1})\,d\mathbf{x} = t_{1}. & {}\\ \end{array}$$