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Erschienen in:

2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

Segre’s University Courses and the Blossoming of the Italian School of Algebraic Geometry

verfasst von : Alberto Conte, Livia Giacardi

Erschienen in: From Classical to Modern Algebraic Geometry

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

One of the greatest architects of the “geometric Risorgimento” (Coolidge 1927, 352) in Italy, Corrado Segre provides a shining example of the role of mentor in the history of mathematics. His university courses were a veritable forge for future researchers. The years between 1891 and the beginning of the 20th century witnessed the launch in Turin, under his guidance, of the Italian School of algebraic geometry, which in a short time would assume an internationally recognised role. Undoubtedly decisive in the formation of the School was the fact that Segre had fostered the onset and consolidation of the following lines of research: hyperspatial projective geometry; research in the foundations of the hyperspatial projective geometry; birational algebraic geometry; enumerative geometry; projective differential geometry; and projective geometry in the complex domain. However, also significant was the role of his university teaching, a valuable record of which is conserved in the forty handwritten notebooks of his university lectures. These not only make it possible to reconstruct the genesis and developments of his scientific research, but also allow us to understand how his own research stimulated and closely interacted with that of his students, thus showing the importance of his teaching in the flourishing of the Italian School. Here, after a brief overview of Segre’s scientific contributions, we intend to show the close interaction between teaching and research, in order to bring out the influence of his university courses on his students and to pinpoint the moment when his role as leader began to be acknowledged; and make evident the enthusiasm, the nature of the collective work of his group of researchers, at least up to the early years of the twentieth century. We also intend to show how his vision of mathematics education—closely linked to his idea of the objectives of mathematics—was transmitted to the future teachers who attended his courses at the Scuola di Magistero (Teachers College) of the University of Turin. Finally we will try to identify the most salient features of his scientific leadership.

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Nächstes Kapitel Corrado Segre and His Disciples: the Construction of an International Identity for the Italian School of Algebraic Geometry

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See for example Scorza (1932), Loria (1924), Terracini (1926), Castelnuovo (1929), Boffi (1986), (Severi 1957), Terracini (1958), B. Segre (1961), Togliatti (1963), Menghini (1986), Brigaglia and Ciliberto (1995), Conte and Ciliberto (2004). More information on Segre’s scientific biography can be found in Giacardi (2001a) and Brigaglia (2013).

Geometría parecía completamente absorta en la contemplación de los objetos formados por ella misma, sin connexión visible con los grandes problemas (Enriques 1920, 5).

[…] feconda, geniale precocità, accomunata ad una sbalorditiva maturità d’ingegno e vastità di cultura (B.Segre 1963–64, 8). See also, for example, Pascal (1924, 461), Fano (1930, 43).

In citing Segre’s writings (articles and reports), reference will always be made to the Bibliography of the works by Corrado Segre, in this present volume. The thesis was published in two notes: (Segre 1883b, 1883c). The manuscript of the thesis is conserved in the BMP-Segre Scritti. 1. On Segre’s early works, see the essay by David Rowe in this present volume. See also Ghione and Ottaviani (1992). For details on Segre’s academic career see Conte et al. (2013).

Chi legge anche oggi […] i due lavori, strettamente collegati resta sorpreso della sicurezza e vastità di vedute e di mezzi con cui quel giovane, Corrado Segre, tratta l'ampio soggetto. La dissertazione sembra dovuta non già ad un principiante, ma ad un matematico provetto (Castelnuovo 1924b, 353).

[…] essa apre ai cultori della matematica un campo sconfinato di ricerche piene di interesse (Segre 1883b, Opere 3, 27).

Segre’s aim was to give a geometric interpretation of the elementary divisors and it was not new. This was the subject of Klein’s thesis in 1868, but Segre introduced the new notion of “characteristic”, which would be used hereinafter (until now); see Brechenmacher (2006, . 475–477). See also Segre (1883–84c).

J’ai vu aussi par votre lettre que je ne m’étais pas expliqué clairement à propos de l’interprétation géométrique de vos recherches et de celles de M. Weierstrass sur la théorie des formes bilinéaires et quadratiques. Peut-être ne devrais-je pas dire « interprétation géométrique » car ces mots font penser (et vous ont fait penser, à ce que je vois) à un travail qui consiste seulement dans de changements de mots. Or je considérerais comme ridicule un savant qui ne s’occupât que de changer les mots analytiques en mots géométriques dans de résultats analytiques déjà connus. Mais ce n’est pas là ce que j’entendais dire dans ma dernière lettre. Pour m’expliquer avec plus de clarté, prenons les théorèmes sur les conditions afin que deux formes quadratiques puissent se transformer dans deux autres formes quadratiques. En mettant des mots géométriques, on peut dire que ces théorèmes donnent les conditions pour que deux couples de surfaces du 2^e degré (dans un espace à n dimensions) soient identiques du point de vue de la géométrie projective. Mais ces conditions restent analytiques, car il y entre des diviseurs élémentaires, etc .; quelle est donc la signification géométrique des diviseurs élémentaires? Si à un couple de surfaces du 2^e degré correspond une racine double, triple, etc. du déterminant de leur faisceau, ces deux surfaces se toucheront mutuellement en un ou plusieurs points, mais quelle différence y aura-t-il entre ces contacts suivant les divers degrés des diviseurs élémentaires, c’est-à-dire quelles singularités aura l’intersection de ces deux surfaces pour un système donné de diviseurs élémentaires? Voilà l’une des questions que j’ai taché de résoudre et qui n’a pas laissé de me présenter au premier abord des difficultés. C’est ainsi que j’ai pu établir une classification géométrique des intersections de deux surfaces du 2^e degré. De même les résultats analytiques sur les formes bilinéaires m’ont donné par un étude géométrique la classification des homographies ou collinéations dans un espace linéaire quelconque. […] Mais je vous le répète et j’espère vous en convaincre à peine mes travaux seront imprimés, ce n’est pas un simple changement de mots qui donne ces résultats géométriques mais bien une suite de raisonnements plus difficiles. The letter can be accessed at http://users.mat.unimi.it/users/gario/Segre-Ancona/lettereAscienziati.pdf, and it is also transcribed in the essay by Luciano and Roero in this present volume.

Infatti nulla è più fecondo che la moltiplicazione dei nostri poteri intuitivi recata da codesto principio: pare quasi che agli occhi mortali, con cui ci è dato esaminare una figura sotto un certo rapporto, si aggiungano mille occhi spirituali per contemplarne tante diverse trasfigurazioni; mentre l’unità dell’oggetto splende alla ragione così arricchita, che ci fa passare con semplicità dall’una all’altra forma (Enriques 1922, 140).

See Luciano and Roero (2012).

The letters of these mathematicians constitute part of the archives of the Fuà Family (Gario 1989a) and can be accessed online at http://users.mat.unimi.it/users/gario/Elenco.html. They are kept now in the Archivi Corrado Segre, University of Turin. See also the essay by Luciano and Roero.

[…] per la generalità delle ricerche contenute […], pel perfezionamento […] a varie teorie trattate precedentemente da diversi valenti Geometri, per i molti ed importanti risultati nuovi ottenuti, ed infine per il campo vastissimo di ricerche cui esso apre la via. (rapporto relativo al conferimento del premio nelle Matematiche, dalla Società Italiana delle Scienze, per l’anno 1884, Memorie di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze (3), VII, 1890, XXXIV–XXXVI, at p. XXXVI. The members of the jury were three great mathematicians of the Italian Risorgimento: Enrico Betti, Eugenio Beltrami and Giuseppe Battaglini.

Cf. Fano n. d., [Appunti vari], f. 63r. This is Fano’s original English text. See also Fano (1923) and the typewritten notes kept in the Archives of the University of Liverpool, that the authors intend to publish.

Heureusement l’Ecole Italienne a bien réagi contre cette possible tendance, que d’Ovidio a appelée ‘tic tac géométrie’ tandis que C. Segre (1863‐1924) un des grands maîtres Italiens, a toujours mis-en garde ses élèves contre ces productions, conduisant à une dégénération du développement scientifique (Fano n. d., [Appunti vari], f. 58r).

Tutta una scuola di geometri italiani riconosce nella Memoria di BRILL e NOETHER [Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie, 1873] il suo punto di partenza. (Segre 1905a, Opere 4, 462). See also the presentation by Segre of the important memoir of Brill and Noether (Segre 1894–95).

[...] pour l’avantage des géomètres italiens qui ne le connaissent presque pas. See Segre’s letter to Klein dated Turin 19 November 1889 in: Luciano and Roero (2012, 151). All the letters from Segre to Klein cited in what follows are found in Luciano and Roero (2012).

See Hawkins (1994, 187), Hawkins (2000, 251–260).

See Segre (1887b, 1889a).

Il ne s’agit pas (j’ajoute cela pour celui qui ne serait pas au courant des progrès que cette branche des mathématiques est en train de faire, surtout en Italie) de faciles extensions aux espaces supérieurs de résultats qui pour l’espace ordinaire soient déjà connus. […] en introduisant les espaces de toutes les dimensions on n’a pas seulement l’avantage de la plus grand généralité, mais encore celui de pouvoir se servir dans toute sa force d’un instrument que ne possède pas celui qui veut se borner à l’espace ordinaire: c’est-à-dire la considération des êtres d’un espace comme projection de ceux des espaces supérieurs. (Segre 1889a, Opere 1, 125–126).

It would be Castelnuovo who gave it this name in (Castelnuovo 1892).

Cf. Fano n. d., [Appunti vari], f. 80r. This is Fano’s original English text. See also the paper by Edoardo Sernesi in this present volume.

[…] la geometria delle serie lineari sopra una curva viene appunto esposta secondo il metodo iperspaziale, sottolineando che non occorrono in essa né considerazioni funzionali né sviluppi algebrici e che l’algebricità degli enti interviene soltanto attraverso il principio di corrispondenza di Chasles! La sintesi in questo terreno ha raggiunto la sua efficienza massima. Mirabili ad esempio le dimostrazioni del teorema di Riemann-Roch e del principio di corrispondenza di Cayley-Brill (Severi 1957, X). See also in this present volume the presentation by Alberto Conte of the handwritten notebook that forms the basis of the memoir itself.

See for example Castelnuovo (1924b, 355), Terracini (1961, 12–13), B. Segre (1963-64, 15), Brigaglia and Ciliberto (1995, Sect. 1.3).

See the letter of C. Segre to M. Pieri, Turin 11 October 1887, in Arrighi (1997, 113), and the letter of C. Segre to F. Klein, Turin 14 October 1887.

See the correspondence between C. Segre and A. Papellier and between C. Segre and K. Rudel about the life of von Staudt , in UTo-ACS, VII and http://users.mat.unimi.it/users/gario/Segre-Ancona/lettereRicevute.pdf.

See Segre (1889–90, 1890–91, 1891d).

Hawkins (1994, 200–204). See also the chapter by Aldo Brigaglia in this present volume.

In a brief note of 1891 (Segre 1891c) Segre defined for the first time the product of two projective spaces, now referred to as ‘Segre variety’, a concept “that had important repercussions for the geometry of the twentieth century” (Severi 1957, XI).

See B. Segre (1963–64, 16).

Il segre però si è ristretto alla considerazione degli enti algebrici, ed ha fatto largo uso di ragionamenti geometrici. (Pare che per queste ragioni la Memoria del Segre non sia conosciuta quanto meriterebbe). (Study 1906, 345). See also Castelnuovo (1924b, 356).

C. Segre to A. Hurwitz, Turin 29 June 1894, in Luciano and Roero (2012, 166).

Chi non è stato qui non può immaginare che razza d’uomo è Klein e che specie d’organizzazione egli ha saputo, con abilità che nessun altro può avere, imporre agli studi matematici in questa Università: è una cosa che m’ha fatto un’impressione straordinaria. E sì che d’impressioni vivissime da parte degli scienziati ne ho già avute parecchie in questo viaggio! (C. Segre to G. Castelnuovo, Göttingen 30 June 1891, in ANL-Castelnuovo, in Gario (2010). All the letters from Segre to Castelnuovo cited in what follows, are conserved in ANL-Castelnuovo and can all be accessed on the website (Gario 2010); if they have been published, the specific reference will be indicated.

This debate has been discussed several times. See, for example, Manara and Spoglianti (1977), Giacardi (2001a, Sect. 3), Avellone et al. (2002, Sect. 3), Roero (2004, 138–144), Luciano (2006, 65–71).

C. Segre to G. Castelnuovo,Turin 28 June 1893.

C. Segre to Olga Michelli Segre, [Zurich] 10 August 1897, UTo-ACS, II: La nomina mi ha fatto piacere perché […] vi sarebbero stati tanti altri geometri più anziani di me da nominare.

Io credo che se non potessi andarci, dopo ne proverei rammarico, come d’un’occasione perduta di vedere uomini di valore, e riunioni singolari (C. Segre to V. Volterra, Ancona 31 July 1897, ANL-Volterra).

[...] con rara abilità i procedimenti geometrici agli analitici, cogliendone le intime relazioni. (Relazione sul concorso al Premio Reale per la Matematica, pel 1895, 1901, 367).

See Coolidge (1927, 355). Cf also Sect. 4 in Ciliberto and Sallent (2012), and the essay by Luciano and Roero in this present volume.

The handwritten notebooks of Segre’s university lectures begin with 1888–89, the year in which Segre held the chair in higher geometry, and conclude in 1924, the year of his death. Of these, thirty-four develop topics of higher geometry, three are of mathematical physics and correspond to the years 1895–1897 in which Segre was charged with teaching that subject, and the two remaining lesson notebooks contain respectively brief mentions of various questions of analysis and of geometry, and the lectures given at the Scuola di Magistero. The last one includes, among other things, the lists of the students who attended Segre’s courses from 1883 to 1892, with indications of the scores given to them.

See, for example, C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 1 June 1899.

G. Castelnuovo to F. Amodeo, 6 February 1893, in Palladino F. & N. (2006, 304).

[…] era indispensabile che fossero trattate e digerite, che diventassero sangue del ns sangue, averle sulla p. delle dita, p. valersene in ricerche + elevate … Fecondità! (Fano n. d., [Appunti vari], fls 69r and 69v).

See Appendix 5 at the end of this article, also in Giacardi (2013).

The connections between the two Schools of Peano and Segre deserves a thorough treatment.

C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 6 October 1887.

The important problem to solve is to find all the systems of a given genus p of minimum order to which all the others can be reduced with Cremona transformations; up to now only the cases of p = 0, 1 have been discussed completely (La gran questione da risolvere è lo stabilire tutti i sistemi di dato genere p d’ordine minimo ai quali tutti gli altri posson ridursi con trasformazioni cremoniane; solo i casi di p = 0, 1 sono stati finora discussi completamente. C. Segre to Castelnuovo, Turin 6 October 1887 and 28 July, 13 August 1890).

[…] due ragazzi che al di sopra dell’egoismo dei filistei ripongono i loro ideali di bontà, di onestà e di culto della scienza (C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 12 November 1891).

In Turin Castelnuovo also taught, in an extracurricular setting, a course in projective geometry from 1889–90 to 1893–94, and in the academic year 1889–90 he taught at the military academy as well.

C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 13 August 1890.

See Segre’s report in the Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (1890–91, 602), available in the section Relazioni of the website (Giacardi 2013).

A Lui devo buona parte di quel che so; in quelle lunghe conversazioni, che avevamo due o tre volte al giorno durante la mia permanenza di quattro anni a Torino, ho imparato più che nei miei corsi universitari. A Lui devo l’incitamento ai miei primi lavori, e i consigli e gli aiuti della Sua esperienza e della Sua sapienza (G. Castelnuovo to Olga Michelli Segre, Rome 25 May 1924, UTo-ACS, II).

There are 255 existing letters from Segre to Castelnuovo from 1885 al 1905, in Gario (2010). Part of these have been published in Bottazzini et al. (1996, 669–678). The words that Segre addressed to his friend immediately after Castelnuovo’s transfer to Rome show the profound friendship and scientific solidarity that had arisen between them (C. Segre to G. Castelnuovo,Turin, 12 November 1891). On the relationship between Segre and Castelnuovo, see the chapter by Paola Gario in this present volume.

Particular attention is given to his marriage to Olga Michelli (25 and 26 March 1893), and to the birth of his daughters Elena (14 March 1894) and Adriana (28 October 1897). See Corrado Segre. Biographical Timeline in this present volume.

See, for example, C. Segre to G. Castelnuovo, 15 July, 29 July, 8 August, 7 September, 23 November 1891; 8 June, 4 September, 28 January, 16 November 1892; 4 February, 27 May, 28 June, 26 September, 7 December, 11 December 1893; 29 January 1894; 5 December 1896; 26 February, 6 June 1899; 12 April 1901, etc.

See, for example, C. Segre to G. Castelnuovo, 23 November 1891, 10 February, 21 February, 24 February, 22 June 1892.

The correspondence between Sannia and Amodeo shows how Sannia continually asked Segre’s opinions for the second edition of his Lezioni di geometria proiettiva; see Palladino F. and N. (2006); see also the chapter by Aldo Brigaglia in this present volume.

See, for example, the following letters: C. Segre to F. Amodeo, Turin 24 November 1891, G. Castelnuovo to F. Amodeo, Rome 30 November 1891, in Palladino F. and N. (2006, 185 and 283), and C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 28 November 1891.

See C. Segre to G. Castelnuovo, Turin, 28 November 1891.

The correspondence between Segre and Amodeo consists in thirty-four letters from 1888 to 1893, published in Palladino F. and N. (2006).

See for example the following letters: C. Segre to F. Amodeo, Turin 17 August 1890, 24 August 1891, 19 February 1892, in Palladino F. and N. (2006, 176, 180 and 191–192). In his letters to Castelnuovo Segre refers to F. Amodeo as ‘Simplicio’, and not infrequently shows his impatience for the Neapolitan’s naïveté and errors. See, for example, the letters dated Turin 8 August 1891 and Turin 28 January 1892.

[…] se qualche volta io posso esserti sembrato un po’ severo nei miei giudizi […] sii persuaso che per me la severità è un principio generale, che uso anche contro me stesso, e che deriva da ragioni elevate relative alla serietà della scienza e dell’insegnamento (C. Segre to F. Amodeo, Turin 4 September 1891, in Palladino F. & N. (2006), 181).

Nei miei atti … vi è sempre stata e vi sarà sempre completa sincerità e lealtà… L’amicizia non deve far velo alla giustizia od alla serietà e severità d’ideali scientifici (C. Segre to F. Amodeo, Turin 19 February 1892, in Palladino F. and N. (2006), 192).

Nell’anno scolastico 1890–91 Segre ripetette con D’Ovidio a Torino la eccellente prova fatta da Brioschi, Casorati e Cremona nel 1869 a Milano. Mentre D’Ovidio faceva un corso di lezioni sulle Funzioni di variabile complessa e sugli integrali abeliani, egli [Segre] esponeva la Geometria su di una varietà algebrica semplicemente infinita sotto il triplice aspetto iperspaziale, algebrico e funzionale (Amodeo 1945, 245).

Archival documents indicate that only Fano and Giacomo Maida took the final examination, which Fano passed with a score of 30/30 cum laude and Maida with 27/30. Registro dei verbali degli esami di Geometria superiore, 1882–1901 ASUT, Facoltà di Scienze fisiche, matematiche e naturali, Verbali degli esami speciali, Esame di Geometria superiore X.D 145.

Definire lo spazio S _r non già mediante coordinate, ma con una serie di proprietà dalle quali la rappresentazione con coordinate si possa dedurre come conseguenza. In his article Fano (1892), on p. 107 Fano recalls the problem proposed by Segre during his lecture; see also BMP-Segre, Quaderni. 3, p. 27 and Segre (1891a, Opere 4, 407). Segre’s notebooks cited in what follows can all be accessed at the website (Giacardi 2013).

See Amodeo (1890‐1891) and Fano (1892), an article that is particularly interesting due to several developments that are connected with finite geometries, destined to attract the attention of mathematicians many years later.

See, for example, C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 24 and 30 September 1891, and C. Segre to F. Amodeo, Turin 15 August 1892 (Palladino F. and N. 2006, 198).

See the previous note.

See Enriques (1894), Fano (1895); See also F. Enriques to G. Castelnuovo, 22 February 1894, in Bottazzini et al. (1996, 77).

See BMP-Segre, Quaderni. 5, p. 13, in Giacardi (2013).

See Grace and William Young, Notebook 3, p. 16–24 (Appendix 3 at the end of this article). See Pieri (1899).

C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 8 August 1891 and Turin 30 September 1891.

See Alberto Conte’s introduction to Segre’s Notebook 3 in this present volume.

[…] i lettori potranno vedere in pari tempo un argomento trattato con due metodi ben diversi (Segre 1894a, Opere 1, 200).

In July 1890 Eugenio Bertini came to Turin to spend a few days with Segre; see C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 28 July 1890. He then carefully read the writings of Segre and Castelnuovo, in particular (Castelnuovo 1892) asking questions and making comments; see for example E. Bertini to G. Castelnuovo, Gromo, 4 August 1891 and E. Bertini to G. Castelnuovo, n. p., n. d. [August 1891], ANL-Castelnuovo, in Gario (2010). In this second letter Bertini announces his intention to present Castelnuovo’s results during his classes. On Bertini's work see Kleiman (1998).

Pensando ieri appunto al mio corso, [...], io vedevo così chiaramente la necessità di introdurre al più presto la nozione di varietà lineare più volte infinita, vedevo l’indispensabilità, l’utilità, la comodità e che so io, di questa nozione dovunque, ad ogni passo […] Bisogna proprio pensare a far trattati, a litografare lezioni, a divulgare con estensione le nostre idee. (C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 6 July 1890).

Corrado Segre, [Nota] to (Klein 1890, 307–308): Questo lavoro non è, a mio avviso, abbastanza noto ai giovani geometri italiani; ed è specialmente per essi che ho desiderato si facesse questa ristampa. Tante idee generali ed ingegnose che si trovano in queste pagine, come l’identità sostanziale fra varie discipline matematiche (ed in particolare fra discipline analitiche e geometriche!) che si rappresentano l’una sull’altra quando si tenga conto dei gruppi di trasformazioni che in esse si pongono a base.

See F. Enriques to G. Castelnuovo, Turin 9 November 1892, in Bottazzini et al. (1996, 4).

Fano earned a score of 90/90 with honours. See his degree certificate in ASUT, Verbale dell’esame di laurea di Gino Fano. Torino, 22 giugno 1892. Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali, Verbali degli esami di laurea, X D 193, p. 36.

See Fano (1894a) and the report by Segre in Atti dell’Accademia delle Scienze di Torino (1892–93): 865–866. Segre would review three other memoirs by Fano, see Segre’s report (1895–96, 623–624; 1897–98c, 796–797; 1900–01a, 278–279) in Appendix 2.2 in this present volume.

See the 31 letters from Fano to Castelnuovo from 1889, when he was still a university student, to 1900, ANL-Castelnuovo, in Gario (2010).

For more on this, see Fano (1894b).

C. Segre to F. Klein, Turin 4 October 1893: È dotato di molta memoria ed ha un ingegno vivace. Ma le sue tendenze sono essenzialmente geometriche, per la pura geometria. E quantunque io l’abbia eccitato ripetutamente a coltivare anche l’analisi, e nei miei corsi gli abbia fatto vedere non solo i metodi sintetici ma anche quelli analitici, egli finora è rimasto troppo esclusivamente geometra […] credo che si possa rinforzarlo di molto come geometra se si riesce a fargli acquistare pienamente gli strumenti analitici.

G. Fano to F. Amodeo, Göttingen, 30 October 1893 (Palladino F. and N. 1893, 372).

The authors thank David Rowe for this information, drawn from Klein’s seminar protocol books, available in http://www.uni-math.gwdg.de/aufzeichnungen/klein-scans/klein/ (1893–94, 33–40, 24 June 1894).

See Terracini (1953b, 704). The Mathematical Library “Giuseppe Peano” keeps a valuable collections of Klein’s lithographies, among these the following belonged to Fano: Nicht-Euklidische Geometrie, I. Vorlesung gehalten während des Wintersemesters, 1889–90. Ausgearbeitet von Fr. Schilling, Göttingen 1893; Nicht-Euklidische Geometrie, II. Vorlesung gehalten während des Sommersemester 1890. Ausgearbeitet von Fr. Schilling, Göttingen 1893; Einleitung in die höhere Geometrie, I. Vorlesung gehalten im Wintersemester 1892–93. Ausgearbeitet von Fr. Schilling, Göttingen, 1893; Anwendung der Differential-und Integralrechung auf Geometrie, eine Revision der Principien. Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1901. Ausgearbeitet von Conrad Müller, Leipzig: Teubner, 1902.

Fano (1907a, b).

F. Klein to G. Fano, 5 February 1899: Ich fasse die Professur wesentlich als eine geometrische Professur, d. h. ich wünsche, dass der Neuzuberufende die geometrische Anschauung hervorkehrt und nach allen Richtungen die geometrischen Studien belebt. Nun kennen Sie aber den Niedergang der Geometrie in der jüngeren deutschen Generation. Ich bin also auf den Gedanken gekommen, ob nicht Sie der geeignete Mann für uns wären!”, BMP-Fano, Lettere 9, in Giacardi (2013).

See Giacardi (2011, 111–115).

See Murre (1994), Collino et al. (2014).

This is Fano’s original English text, in Fano n. d., [Appunti vari] f. 84v; see also fls. 1v, 17bisr, 69r, 69v, 80r, 103r, 135v; on Segre’s role, see fls. 17r, 54r, 58r, 63r, 135r.

The articles by the Italian geometers that appeared in the Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften in the first two decades of the twentieth century are the following: Luigi Berzolari, Allgemeine Theorie der höheren ebenen algebraischen Kurven (III.2.1, June 1906, 313–455); F. Enriques, Prinzipien der Geometrie (III.1, March 1907, 1–129); G. Fano, Gegensatz von synthetischer und analytischer Geometrie in seiner historischen Entwicklung im XIX. Jahrhundert (III.1, May 1907, 221–288); Kontinuierliche geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip (III.1, July 1907, 289–388); C. Segre, Mehrdimensionale Raume (III.2.2 C 7, end of 1912, 769–972); G. Castelnuovo, F. Enriques, 6a Grundeigenschaften der algebraischen Flächen (III.2.1, 1908, 635–673); 6b Die algebraischen Flächen von gesichnen aus (III.2.1 December 1914, 675–767); G. Loria, Spezielle ebene algebraischen Kurven von einer Ordnung hoher als den vierten (III.2.1, September 1914, 571–634). The dates cited for the texts refer to the date of submission.

See, for example, C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 18 July 1892.

In a letter to Volterra, he speaks about “the damage resulting from the failure to stay in Torino with Segre” (il danno per non poter stare a Torino con Segre); see F. Enriques to V. Volterra, Turin 15 November 1892, in Simili (2000, 266).

See C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 5 November 1893 and F. Enriques to G. Castelnuovo, Florence 20 November 1893 (Bottazzini et al. 1996, 673 and 39).

See Berzolari (1924). Segre presented four papers by Berzolari for publication in the Atti dell’Accademia delle Scienze di Torino, see Appendix 5 at the end of this article, also in Giacardi (2013).

For example, after having begun to read a paper by Enriques, Segre wrote to Castelnuovo: Raccomando poi caldamente il rigore, il rigore, il rigore […] Pesi bene ciò che scrive: e se incontra qualche intoppo non ci passi sopra. (I heartily recommend rigour, rigour, rigour […] Ponder carefully over your writings and if you meet with some obstacle, not to overlook this), see C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 27 May 1893.

Bottazzini et al. (1996, 61; see also p. 46 and 67)

See Segre’s report in the Atti dell’Accademia delle Scienze di Torino (1892–93c, 868).

100

See footnotes 65 and 66 Avellone et al. (2002, Sect. 6).

101

L’indirizzo da essi seguito è alquanto diverso da quello a cui noi intendiamo attenerci, specialmente per ciò che, mentre i due egregi autori si propongono di stabilire un qualunque sistema di ipotesi capace di definire uno spazio lineare al quale siano applicabili i risultati dell’ordinaria geometria, noi cerchiamo qui di stabilire i postulati desunti dall’intuizione sperimentale dello spazio che si presentano più semplici per definire l’oggetto della geometria projettiva (Enriques 1894, 551).

102

L’importanza che attribuiamo alla Geometria astratta non è (come si potrebbe credere) da contrapporsi all’importanza attribuita all’intuizione: essa sta invece nel fatto che la Geometria astratta si può interpretare in infiniti modi come una Geometria concreta (intuitiva) fissando la natura dei suoi elementi: sicché in tal modo la Geometria può trarre aiuto nel suo sviluppo da infinite forme diverse d’intuizione (Enriques 1894‐1895, 9–10).

103

Il concetto di geometria astratta ha ricevuto un grande sviluppo, divenendo (dopo Segre) un ordinario istrumento di lavoro nelle mani dei geometri italiani contemporanei. See Enriques (1922, 139). See the essay by Aldo Brigaglia in this present volume.

104

From what Enriques told Castelnuovo, his relationship with Segre was most intense until 1898, and then became almost exclusively academic. In 1898 Segre reviewed his Lezioni di Geometria projettiva in the Bollettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche, 1 (1898): 11–15.

105

On the lively debate engendered by this joint participation in the competition see Bottazzini et al. (1998).

106

C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 7 May 1894.

107

See Segre’s letters to Castelnuovo during the months October – December 1894, in particular that of 24 December 1894, and that of Enriques to Castelnuovo of 26 December 1894 (Bottazzini et al. 1996, 160).

108

For this, and on the relationships between the three mathematicians, see the chapter by Paola Gario in this present volume, see also Conte (1994) and Gray (1994).

109

See BMP-Segre, Quaderni. 6.

110

C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 13 September 1894: tu (e l'Enriques) renderai in pochi mesi antiquato ciò che ora si potrebbe fare […]. Così sarebbe forse utile un po’ di studio delle singolarità delle superficie… non fosse che per vedere fino a qual punto si possono cacciare via.

111

C. Segre to G. Castelnuovo (Gario 1991, 166): Quanto al mio corso, finché si tratta di singolarità ordinarie o straordinarie facili, metto insieme le curve e le superficie. Ma quando passerò alle singolarità superiori dovrò far la separazione: prima le curve e poi le superficie. E a dirtela in confidenza non son sicuro che avanzi poi tempo per queste ultime! The first part of this course was published with a few additions and modifications in Segre (1898).

112

Archival documents show that Beppo Levi earned a score of 30/30 and Alessandro Padoa 22/30. See Registro dei verbali degli esami di Geometria superiore, 1882–1901 ASUT, Facoltà di Scienze fisiche, matematiche e naturali, Verbali degli esami speciali, Esame di Geometria superiore X.D 145.

113

See Gario (1997) and Corrispondenza con Max Noether, ANL-Castelnuovo, in Gario (2010).

114

Actually, Picard had already shown an earlier interest in the research of the Italian geometers when he published the article “Sur la théorie des surfaces algebriques”, which appeared in the Revue générale des sciences pures et appliquées, 5 (1894): 945–959. See E. Picard to G. Castelnuovo, Paris 7 July 1894 (Bottazzini et al. 1996, 659).

115

Votre résumé si remarquable des Math. Annalen m’est extrêmement utile, et je puis maintenant admirer en connaissance de cause vos recherches dont l’ensemble est vraiment splendide. Vous avez fait là, tous les deux, une oeuvre considérable. See E. Picard to G. Castelnuovo, Paris 23 March 1897 (Bottazzini et al. 1996, 662–663).

116

F. Enriques to G. Castelnuovo, s.l. 15 March 1900 (Bottazzini et al. 1996, 451): è destinato a farci una grande réclame.

117

Segre corresponded with Picard and presented an excerpt of a letter by him for the publication in the Atti dell’Accademia delle Scienze di Torino. See Appendix 5 at the end of this article.

118

F. Enriques to G. Castelnuovo, [Bologna] 14 April 1899 (Bottazzini et al. 1996, 409).

119

The course was attended by seven students, three of whom sat for the examination that year; see Annuario accademico per l’anno 1896–97, Università di Torino, 1897, p. 184, and Registro dei verbali degli esami di Geometria superiore, 1882–1901, op. cit.

120

Segre (1897b). Here Segre also makes some observations on the two works of 1888 and 1889 by Pasquale Del Pezzo, observations that became the starting point for a rather lively polemic between the two mathematicians, see (Gario 1989b). See also Ciliberto and Sallent (2013).

121

For more on this, see the letter that Segre addressed to both Enriques and to Castelnuovo, Turin 30 December 1896 (Gario 1991, 176–180) and the essay by Gario in this present volume.

122

ASUT, Verbale dell’esame di laurea di Beppo Levi. Torino, 6 luglio 1896. Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali, Verbali degli esami di laurea, X D 193, p. 97.

123

C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 30 December 1896.

124

C. Segre to G. Castelnuovo, Ancona 9 August 1899; see also C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 13 February 1900 and C. Segre to V. Volterra, Ancona 11 August 1899, ANL-Volterra. In regard to this, see also Terracini (1961, 12), Gario (1991, 178), Giacardi (2001a, 150–151).

125

On the reasons why this treatise was never carried out, see the essay by Gario in the present volume and that by Luciano and Roero.

126

See BMP-Segre, Quaderni. 11. There were 19 students enrolled in the course, of whom 10 sat for the examination, including Alberto Tanturri, Umberto Perazzo, Tommaso Boggio, Luigia Viriglio and Modesto Panetti; see Annuario accademico per l'anno 1898–99, Università di Torino, 1898, p. 258 and Registro dei verbali degli esami di Geometria superiore, 1882–1901, op. cit.

127

C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 22 October 1897: Non mi occupo d’altro che di studiare i gruppi, e di farmi un programma del corso. Trovo che la materia è molta, mentre le lezioni sono poche: e mi trovo nell’imbarazzo della scelta. Quanto al metodo, trovo difficoltà qualche volta nel veder chiaro nei ragionamenti e calcoli di Lie; e vorrei rendere la trattazione più luminosa. Vi sono dei bei teoremi anche negli ultimi capit ⁱ sì del 1° che del 3° vol. dell’opera di Lie: se mi spingo fino ad esporre quelli, farò in tempo ad esporre anche le cose sui gruppii algebrici di superficie, varietà …? Vorrei, essere un po' breve nella trattazione dei gruppi projettivi, affini,…, perché a farla completa se ne andrebbe tutto l’anno: potrei qualche volta enunciare i risultati dopo d’aver dato il modo di ottenerli.

128

C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 19 December 1897: Nel corso sui gruppi sono ancora alla parte introduttoria cioè sulle proprietà generali, dei gruppi continui e discontinui. Ho anche dedicato qualche lezione al Programma di Klein. E dovrò pur perdere qualche tempo cogl’iperspazi.

129

C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 26 January 1898: Ho trattato nel mio corso i gruppi d’ordine finito di projettività in modo che mi pare soddisfacente per semplicità ed eleganza. Ora i giovani conoscono un po’ in generale i gruppi. Sto parlando d’iperspazi e loro projettività ecc.: poi verrò in special modo a Lie. See also C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 17 May 1898.

130

Noi cercheremo poi di dare veste piuttosto geometrica alla teoria; perché molti ragionamenti sono più chiari espressi in modo geometrico. (Youngs’ Notebook 1, p. 3, see Appendix 3 at the end of the present article).

131

See Hawkins (2000), Chap. 1, “The geometrical origins of Lie Theory”. Segre refers to the following works: Lie (1888, 1890, 1893) and Lie (1893).

132

See the Introduzione by Simonetta Di Sieno to the two Segre’s notebooks Quaderni. 11 and Quaderni. 25 in Giacardi (2013). See also Raspanti 2014.

133

Hawkins (1994, 186).

134

Segre's report in the Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (1895–96, 623–624): L’illustre autore della teoria generale dei gruppi di trasformazioni, […] LIE, ha risolto quel problema pei primi casi che si presentano, facendo vedere come i suoi metodi si possano applicare ai gruppi proiettivi di qualunque spazio superiore. Però se quei metodi, che già per lo spazio ordinario hanno richiesto dal lie una ricerca un po’ minuta, si dovessero applicare agli spazi di quattro o più dimensioni, essi porterebbero a calcoli di una lunghezza eccessiva. Opportune considerazioni geometriche possono abbreviare ed anche illuminarla meglio. A questo concetto s’ispirano recenti lavori di geometri italiani, e in particolare la Memoria attuale del Fano. See also Rogora 2012.

135

Berzolari (1924, 532), Viglezio (1924, 2), Terracini (1968, 13).

136

See BMP-Segre, Quaderni. 12. There were 12 students enrolled in the course, of whom 9 sat for the examination, including Francesco Severi; see Annuario accademico per l'anno 1898–99, Università di Torino,1899, p. 258 and Registro dei verbali degli esami di Geometria superiore, 1882–1901, op. cit.

137

C. Segre to V. Volterra, Ancona 9 August 1898, ANL-Volterra; see also F. Enriques to G. Castelnuovo 14 April 1898 (Bottazzini et al. 1996, 365–368) and C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 23 October 1898.

138

See the Appendices 1, 2, 3 at the end of this article.

139

Notebook 3, p. 1; see the Appendix 3 at the end of this article, footnote 324.

140

See the Appendix 1 at the end of this article: Se lei e Suo marito desiderano che uno di questi giorni io venga a parlar Loro su qualche argomento geometrico di Loro interesse, favorisca scrivermi, indicandomi gli argomenti.

141

For example, this is particularly evident in Notebook 1: while the introductory part on groups occupies thirteen pages in Segre’s notebook of 1897–1898 (BMP-Segre, Quaderni.11), it occupies eighteen lessons and 104 pages of Notebook 1 of the Youngs.

142

See, for example, the Notebook 1, Determinazione dei gruppi d’ordine finito di proiettività binarie, o di sostituzioni lineari in una variabile (p. 104–134) and BMP-Segre, Quaderni.11, p. 13 and 14.

143

See, for example, Notebook 1, p. 11, 34, 85; Notebook 2, p. 101, 105; Notebook 3, p. 238, 239, 331; Notebook 4, p. 35, 105; Notebook 5, p. 42, 59, 72, 88, 99, 110, 137.

144

See, for example, Notebook 4, p. 105.

145

See Notebook 3, p. 300, 301, [304], Notebook 4, p. 47 (evening lecture), p. 210.

146

Oggi quando il giovane prende un argomento della scienza alta non può mettere la scusa che non capisce l’inglese o il tedesco, non parlo del francese e del latino, bisogna mettersi a studiare […] Quando si sta studiando un argomento qualsiasi bisogna consultare das Jahrbuch der Fortschritte der Mathematik. Questo è diviso secondo l’argomento. Ci vuole pazienza di prende[re] i volumi di 10 anni e consultarli (Notebook 3, p. 11, 13).

147

See Appendix 3 at the end of this article, Notebook 5.

148

See Chisholm Young (1898‐99), Young (1898‐99).

149

See below the Section 6.

150

BMP-Segre, Quaderni. 13 and the introduction by Aldo Brigaglia in Giacardi (2013). See also C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 4 October 1899.

151

See Segre (1897–98, 1898, 1900).

152

ASUT, Verbale dell’esame di laurea di Alberto Tanturri. Torino, 8 luglio 1899. Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali, Verbali degli esami di laurea, X D 193, p. 152.

153

Segre to G. and W. Young, 30 November 1899 (see the Appendix 1 at the end of this article): All’Università quest’anno tratto […] la geometria numerativa. Vi sono da 15 a 20 studenti, fra cui 3 signore Vi sono anche 5 dottori. Spero che alla fine dell’anno mi troverò contento del profitto di questo uditorio.

154

ASUT, Verbale dell’esame di laurea di Giovanni Zeno Giambelli. Torino, 4 novembre 1901. Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali, Verbali degli esami di laurea, X D 193, p. 225.

155

La risoluzione del problema in generale appariva difficile, e costituiva tuttora un desiderio dei geometri. Essa è data in questa Memoria dal D ^r giambelli, con una formola, che, grazie ad un ingegnoso simbolismo, e per quanto lo permette la natura complicata del problema, riesce relativamente semplice ed elegante. La cosa è evidentemente di tale importanza che noi crediamo di poterci dispensare da altre considerazioni e vi proponiamo senz’altro l’accoglimento di questo lavoro fra le Memorie dell’Accademia (Segre's report in the Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino 1901–02c, 733).

156

See ASUT, Verbale dell’esame di laurea di Francesco Buonaccorso Severi. Torino, 30 giugno 1900. Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali, Verbali degli esami di laurea, X D 193, p. 177.

157

See Segre’s report in the Atti dell’Accademia delle Scienze di Torino (1900–1901b). Segre would also be the referee of two other papers by Severi published in the Memorie (Segre, report 1901–1902b; 1902–1903b).

158

Meritano menzione anche gli strumenti adoperati dal signor Severi: i quali consistono spesso in ingegnose applicazioni del principio di corrispondenza sulla curva di genere p; e invece, per talune questioni relative allo S ₅ , nel metodo funzionale, già usato dal Cayley nel caso più semplice delle curve di S ₃ , e qui per spazi superiori agevolato dall’A. per mezzo dell’integrazione preliminare di un’ampia classe di equazioni funzionali che si presentano in varie ricerche di geometria numerativa (Segre, report 1900–1901b, 381).

159

See Relazioni in Giacardi (2013) Appendix 5 at the end of this article.

160

Here is how Hilbert himself stated Problem 15: Détermination rigoureuse des nombres de la Géométrie énumérative, et cela en fixant d’une manière plus précise les limites de leur validité, et, en particulier, des nombres que Schubert a trouvés en s’appuyant sur le principe de son calcul énumératif dit de la position spéciale ou de la conservation du nombre, in Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, tenu à Paris du 6 au 12 août 1900. Procès-Verbaux et Communications, Paris: Gauthier-Villars, 1902, 58–114, on p. 95.

161

See the essays in Pompeo Faracovi (2004) and Giacardi and Tealdi (2015).

162

See, for example, the long letter of F. Severi to G. Castelnuovo, Padua 15 Juillet 1913. See also several letters of the 1930s which highlight the difference in character between the two mathematicians (Babbit and Goodstein 2009 and 2011).

163

These debates have been discussed several times. See, for example, the most recent papers (Avellone et al. 2002, Sect. 3; Luciano 2006, Sect. 5).

164

See Ramorino (1897) and C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 28 January 1893. Ramorino devoted part of the second section of this memoir to Segre’s contributions to complex projective geometry.

165

See C. Segre to V. Volterra, Turin 6 July 1901, ANL-Volterra.

166

See Appendix 5 at the end of this article.

167

Viriglio earned her degree under Segre’s advisement with a thesis “Sui gruppi di ordine finito di sostituzioni lineari” on 9 December 1904.

168

Concerning the mathematicians of Peano’s entourage, see Luciano and Roero (2010).

169

See the end of Section 6. See also Segre’s [Indirizzario] in Uto-ACS, II.

170

On Pieri’s relationships with the two Schools, see Marchistotto and Smith (2007, Chaps. 1 and 2), Brigaglia (2009‐2011).

171

Segre, writing to Castelnuovo about Pieri’s works, praised the variety of his methods, and the clarity and rigour of the exposition; see C. Segre to G. Castelnuovo, Ancona 25 October 1896. There exist five letters from Segre to Pieri dating from 1887 to 1911; these are published in Arrighi (1997, 113–116).

172

C. Segre to V. Volterra, Turin 21 October 1887, ANL-Volterra and footnote 56.

173

See footnotes 24–25 in this present article, and C. Segre to M. Pieri, Turin 11 October 1887 (Arrighi 1997, 113). See also (Marchisotto and Smith 2007, Chap. 2).

174

[…] un piano di lavoro ben preciso, indicato appunto da Segre e ben distinto da quello di Peano. « Trattare tutta la geometria di posizione da sé, senza introdurre concetti metrici che le sarebbero estranei », così aveva scritto Segre nell’Introduzione alla Geometrie der Lage e così aveva indicato ai suoi allievi estendendo lo stesso concetto […] alla geometria degli iperspazi. (Brigaglia 2009‐2011, 27).

175

See Segre's reports in the Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (1897–98a, 1898–99b, 1904–05a).

176

See Segre (1889–90), Segre (1890–91). See also the essay by Aldo Brigaglia in this present volume.

177

Ad aver più giovani da far lavorare c’è l’inconveniente che non si ha più il tempo per lavorare noi! (C. Segre to M. Pieri, Turin, 20 November 1901, in Arrighi (1997, 115).

178

The official course register shows eight students enrolled; see Annuario della R. Università di Torino, 1903–04, Stamperia Reale di Torino, 1904, p. 209.

179

See Gario (1989a, 192) where there are in fact various references to works by German authors such as Bernhard Riemann and Klein, while the Italian authors include Giuseppe Battaglini, the principal disseminator of non-Euclidean geometry in Italy, and Eugenio Beltrami, author of the famous Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868). In particular, in the folder whose cover bears the title “Lettere a scienziati (1882–84)”, there are several pages of undated notes that might have been intended to reach Beltrami via D’Ovidio, containing several “considerations on the surfaces of constant curvature and on the non-Euclidean plane’ (Gario 1989a, 195).

180

C. Segre to F. Klein, Turin 30 January 1890.

181

See Segre (1902–03). About this see Brigaglia (2010).

182

Bonola (1906, XVII): Prima di affidare la modesta opera al giudizio dei benevoli lettori, sento il dovere di ringraziare vivamente il mio amato maestro, prof. federigo enriques, per i preziosi consigli con cui mi ha soccorso per la disposizione e pel contenuto critico della materia; il prof. corrado segre, che gentilmente ha posto a mia disposizione il manoscritto di un Corso di lezioni sulla Geometria non-euclidea, da lui dettato, or son tre anni, nell’Università di Torino.

183

BMP–Segre, Quaderni. 17. The official register shows eight students enrolled in the course; see Annuario della R. Università di Torino, 1904–05, Stamperia Reale di Torino, 1905, p. 201.

184

See also Alcune indicazioni bibliografiche, in BMP-Segre, Quaderni. 17, p. 3.

185

Coolidge (1903‐04, 1904‐05). The first note was presented by Segre at the session of 20 December 1903 and the second at that of 8 January 1905. See Appendix 5 at the end of this article.

186

See Struik (1955, 671). For more on this, see the chapter by Aldo Brigaglia in this present volume and Zappulla (2009).

187

See C. Segre to Olga Michelli Segre, Airolo, 15 August 1904 (UTo-ACS, II): “it was very satisfying to me to see the attention paid to my lecture by eminent men such as Klein, Noether, Zeuthen and many others I won’t name” (fu molto soddisfacente per me il vedere attenti alla mia conferenza uomini sommi come Klein, Noether, Zeuthen e tanti altri che non ti nomino).

188

See UTo-ACS, VII.

189

G. B. Guccia to C. Segre, 27 July 1904, quoted in Brigaglia (2013, 473): Altri nomi non faccio e ti prego di non farne. O te o nessuno!. See also C. Segre to G. Castelnuovo, 5 November 1905, where Segre expressed his wish that the winner might be an Italian mathematician.

190

BMP-Segre, Quaderni. 21. The official register for the course show 10 students enrolled; see Annuario della R. Università di Torino, 1908–09, Stamperia Reale di Torino, 1909, p. 247.

191

See for example Terracini (1953a, 257–258), Ciliberto and Sallent (2013, Sect. 3.2.2).

192

BMP–Segre, Quaderni. 22, 23 e 24: the students officially enrolled in these courses were respectively, 9, 13 and 13: see Annuario della R. Università di Torino, Stamperia Reale di Torino, 1909–10 (p. 251), 1910–11 (p. 267) and 1911–12 (p. 275).

193

BMP–Segre, Quaderni. 23: Le F ₃ hanno avuto una notevole influenza sullo sviluppo della moderna Geom ^a alg ^a . Si prestano molto bene ad illustrare i metodi di questa, in vari indirizzi: configurazioni, singolarità, quistioni di realtà e forma, generazioni geometriche, rappresentazioni sul piano, problemi algebrici vari (p. 3).

194

Terracini (1953a, 259): Questo libretto sulle superficie cubiche, nonostante il carattere elementare e particolare dell’argomento, a me pare uno dei più belli, forse anche per l’indirizzo proiettivo in cui esso si svolge…Se si dovesse scegliere un libretto per la pubblicazione, penso che questo si segnalerebbe in prima linea.

195

ASUT, Verbale dell’esame di laurea di Alessandro Terracini. Torino, 5 luglio 1911, Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali, Verbali degli esami di laurea, 1902–1921, p. 141.

196

Stouffer had received his Ph.D. in 1911 from the University of Illinois under the advisement of Wilczynski. See, for example, The American Mathematical Monthly, 35 (1928): 331–334 and The Kansas City Times (1965, 26 November 1965): 50.

197

See for example V. Snyder to C. Segre, Ithaca 21 November 1922, UTo-ACS, VII.

198

See C. Sisam to Olga Michelli Segre, Colorado College 14 July 1924, UTo-ACS, II.

199

See Appendix 5 at the end of this article.

200

After receiving his degree, Terracini was assistant to Gino Fano and after a parenthesis due to World War I, he thaught at the University of Modena. In 1923–24 he was assigned to teach the course in analytical geometry at the University of Turin. The contract was renewed for the following year, but having won a competition, he transferred to Catania in March 1925. In 1925–26 he transferred back to Turin, to assume the chair in analytical geometry, which he would hold until he was forced to abandon it following the adoption of the racial laws in 1938. He also taught a course in higher geometry. He was reinstated to the chair in 1947–48.

201

Bompiani (1970, 11): la mentalità e i metodi di Corrado Segre si propagano e dominano nella ricerca del Terracini anche quando questa trova per essi fertile campo d’indagine negli indirizzi e nei problemi coltivati dal Bianchi a dal Fubini.

202

Segre, Castelnuovo and Enriques were members of the International Committee, Enriques gave a plenary lecture and Bompiani a communication on “Recenti progressi nella geometria proiettiva differenziale degli iperspazi”.

203

See Giacardi and Rinaldelli (2000) and Fondo Terracini. Quaderni in Giacardi (2013).

204

Coloro che in Italia hanno proseguito da quel momento nello studio della geometria algebrica (per nominare solo questi, Enriques, Castelnuovo e Severi) hanno dovuto servirsi di metodi diversi e più riposti. See Terracini (1934‐35, 3).

205

See Terracini’s letters to Bompiani in Paoloni (1991, 98–106). See also Sallent and Ciliberto (2012, Sect. 4).

206

See Appendix 5 at the end of this article.

207

C. Segre to E. Bompiani, Turin 7 January 1913, in Paoloni (1991, 67): ponderare tutto, molto, molto!.

208

All the quotations come from the letter of C. Segre to E. Bompiani, Turin 16 June 1913, in (Paoloni 1991, 78–88): […] sempre più espressivo che può, compatibilmente con la brevità […] Rediga i Suoi lavori due, tre …volte: finché tutto sia chiaro e bello…! Non sarà tempo sprecato! […] Ma a ciò devo aggiungere che manca pure qua e là quel senso artistico che fa lumeggiare le cose essenziali, mettere in ombra ciò che ha meno importanza, ecc. ecc. E anche questa volta mi scusi della mia sincerità.

209

ASUT, Verbale dell’esame di laurea di Eugenio Togliatti. Torino, 3 luglio 1912, Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali, Verbali degli esami di laurea, 1902–1921, p. 151.

210

In fact, in 1923–24 he taught the course in complementary mathematics, and in 1921–22 he taught an extracurricular course on hyperspatial geometry; in 1922–23 he also taught an extracurricular course on non-Euclidean geometry. The topics addressed in the course “Geometria iperspaziale” are the following: “1. Interpretazioni varie della geometria proiettiva astratta dello spazio a tre dimensioni. Geometria delle sfere. 2. Lo spazio S _n ad n dimensioni. Cenni storici. 3. La geometria metrica in S _n . 4. La geometria proiettiva in S _n . Corrispondenze proiettive. 5. Quadriche. 6. Curve razionali. 7. La geometria metrica in V _k in generale, specialmente V _k algebriche. 8. La V ₄ ² di S ₅ e la geometria della retta in S ₃ . 9. Geometria differenziale in S _n . Spazi a curvatura Riemanniana costante. 10. Determinazione metrica in una varietà a più dimensioni.” The topics addressed in the course “Geometria non euclidea” are the following: 1. Prime ricerche sull’indipendenza del postulato delle parallele. L’opera di Saccheri, Lambert, Legendre. L’opera di Gauss, Lobacefskj, Bolyai. 2. Costruzione della Geometria non Euclidea secondo l’indirizzo elementare di Lobacefskj e Bolyai: a) teoria generale delle parallele; b) geometria nella stella impropria; c) geometria e trigonometria iperbolica; d) geometria e trigonometria ellittica. 3.Interpretazione della geometria piana non Euclidea sulle superficie a curvatura costante non nulla. Spazî a curvatura costante. Ricerche di Beltrami, Riemann, Helmholtz. 4) L’indirizzo proiettivo di Cayley e Klein: subordinazione delle geometria metrica alla geometria proiettiva; determinazioni metrico-proiettive sulle forme fondamentali di 1 ^a e 2 ^a specie e nello spazio.5) La Geometria non Euclidea e la rappresentazione geometrica del mondo fisico. 6) Le metriche non Euclidee negli spazî a più dimensioni. ASUT Corrispondenza, Carteggio classificato, 1921, fasc. III.1 Programmi dei corsi liberi Corrispondenza, e Carteggio classificato, 1922, fasc. III.1 Programmi dei corsi liberi.

211

See BMP–Segre, Quaderni. 29 (1915–16) and Quaderni. 37 (1923–24).

212

See Appendix 5 at the end of this article.

213

See ASUT, 10 D 193, p. 155, and Annuari of the University of Turin.

214

ASUT, Facoltà di scienze MFN. Verbali degli esami di laurea e di Magistero dal 27.10.1902 al 16.11.1925, p. 114.

215

Ibidem, p. 127.

216

Ibidem, p. 214.

217

Il Maestro e lo Scienziato che in Lui armonicamente si fondevano hanno avuto parte notevolissima nell’odierno rigoglioso sviluppo della geometria italiana, tanto nel campo algebrico che in quello proiettivo-differenziale. (Onoranze a Corrado Segre 1930, 57).

218

See footnote 91.

219

See C. Segre to G. Castelnuovo, Ancona 20 July 1893. Segre is referring to (Amodeo 1893).

220

See the letter of F. Enriques to G. Castelnuovo, 30 May 1895, in Bottazzini et al. (1996, 195): Tengo sempre gli appunti delle lezioni di S[egre] prestatimi dal Fano; ti prego di scusarmi con lui e domandargli se posso ancora tenerli finché non abbia ancora ultimato di redigere le ultime litografie delle mie conferenze. See also Enriques (1894‐95): Segre is cited on pages 32, 37, 45, 87, 104, 105, 109, 129, 130.

221

Bertini (1907, V): gli estesi sunti manoscritti che il Segre stesso elabora annualmente per i suoi corsi.

222

See, for example, the footnotes 51 and 139.

223

See for example footnotes, 207–208 and (Terracini 1968, 13).

224

See Corrado Segre. Biographical Timeline in this present volume.

225

C. Segre to V. Volterra, Turin 4 November 1897 (ANL-Volterra): Ma sai già perché … io voglio limitarmi ad un corso solo per potermi dedicare a quell’unico corso con quella intensità, con quello zelo che occorrono negl’insegnamenti superiori perché riescano efficaci.

226

This refers to 561 cards conserved in the BMP-Segre, Scritti. 17.

227

The list of the sections of the card index is available in Appendix 4 at the end of this article.

228

Fano (1924‐25a, 219–225): Egli profuse cure infinite e tesori di sapere nei suoi 36 corsi di geometria superiore, i cui argomenti venivano da lui stesso esposti per iscritto, colla sua calligrafia chiara e nitida, in libretti ben noti ai suoi allievi antichi e recenti, redatti sempre con gran precisione e con numerose citazioni bibliografiche, con complementi che man mano gli sovvenivano, spesso con idee e vedute originali, coll’indicazione di argomenti di ulteriori ricerche, dai quali traeva i temi da proporre per dissertazioni di laurea.

229

See Lettere e Quaderni dell’Archivio di Guido Castelnuovo, ANL-Castelnuovo, in Gario (2010).

230

See BMP-Terracini, in Giacardi (2013).

231

See for example the notebook of Terracini Metodologia (1940), BMP-Terracini, Quaderni. 19, 1–9 and 49–57.

232

See for example the letters: C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 23 November 1891; Turin 10 February 1892; Ancona 25 October 1896.

233

ASUT, Fascicolo personale di Corrado Segre; see also Giacardi (2003), Furinghetti and Giacardi (2012).

234

BMP-Segre, Quaderni. 30.

235

BMP-Segre, Quaderni. 40.

236

Diciamo subito che questo 2° indirizzo ha una grande importanza, anche filosofica. Esso ha messo bene in evidenza che cosa è la matematica pura; ed ha contribuito molto a porre il rigore in varie parti della matematica. Ma, collo staccarsi dalla realtà, vi è il pericolo di finire con costruzioni, che pur essendo logiche, hanno troppa artificiosità, non possono avere importanza scientifica duratura (BMP-Segre, Quaderni. 40, 13–14).

237

[…] a ragionar bene; a non contentarsi di parole vacue; a trarre conseguenze dalle premesse, a riflettere e scoprire da sé; […] a parlare con precisione.(Ibidem, p. 42). […] non solo a dimostrare le verità già note, ma anche a fare le scoperte, a risolvere da sé i problemi; (Ibidem, p. 16). […] significa lo scorgere una verità spontaneamente, senza ragionamenti e senza esperienze, ma è frutto d’incoscienti ragionamenti od esperienze (Ibidem, p. 15).

238

[…] non può un ragazzo capire lo scopo di una serie di tali enunciati! (Ibidem, p. 20); definire al ragazzo con un lungo discorso delle cose che egli crede già di conoscere è annojarlo (Ibidem, p. 18).

239

For more on this, see Giacardi (2003) and a book in preparation by Alberto Conte and Livia Giacardi, where the text of the notebook [Appunti relativi alle lezioni tenute per la Scuola di Magistero] is also reproduced with notes and comments.

240

See for example Giacardi and Roero (1999).

241

BMP-Segre, Quaderni. 38.

242

From BMP-Segre, Quaderni. 38 and Quaderni. 39, and from ASUT, Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali, Scuola di Magistero, Registri delle lezioni e relazioni finali, we obtain the following data: 1887–1888: 9 men; 1888–1889: 12 men, 1 woman; 1889–1890: 12 men, 2 women; 1890–1891: 12 men, 1 woman; 1907–1908: 4 men, 13 women; 1921–1922: 2 men, 11 women; see also Conte et al. (2013, 92–94). From the Annuari we derive these data: 1908–1909: 1 man, 5 women; 1909–1910: 5 men, 1 woman; 1910–1911: 2 women; 1911–1912: 2 men; 1912–1913: 1 man, 7 women; 1913–1914: 5 men, 12 women; 1914–1915: 1 man, 1 woman; 1915–1921: no data.

243

Here are the numbers regarding those who passed the examinations: 1907: 1 woman; 1908: 2 men, 5 women; 1909: 1 man, 5 women; 1910: 5 men, 1 woman; 1911: 2 women; 1912: 2 men; 1913: 1 man, 6 women; 1914: 6 men, 12 women; 1915: 1 man, 2 women; 1916: 13 women; 1917: 1 man, 4 women; 1918: 2 women; 1919: 11 men, 8 women; 1920: 5 men, 9 women; 1921: 1 man, 4 women; 1922: 1 woman, in ASUT, Facoltà di Scienze MFN. Verbali degli esami di laurea e di Magistero dal 27.10.1902 al 16 .11.1925, pp. 19–131.

244

Ginnasio and liceo were lower and upper secondary schools in which humanities played a key role; liceo moderno was an upper secondary school in which Greek was replaced with a modern language (German or English) and more attention was dedicated to the scientific subjects.

245

See Segre’s [Indirizzario] in UTo-ACS, II. At the moment of preparing this volume for print, Erika Luciano has just begun to study this community of teachers who were influenced by Segre’s educational thinking.

246

Fano n. d. [Appunti vari], f. 63v.

247

See for example Castelnuovo (1929), B. Segre (1933), Menghini (1986), Brigaglia and Ciliberto (1995), Giacardi (2001a), Brigaglia (2001) Brigaglia and Ciliberto (2004), Conte and Ciliberto (2004).

248

L’opera scientifica del Segre è delle più ammirevoli. Egli ha lasciato tracce del suo forte ingegno e della sua grande e continua operosità in vasti campi, in parte ancora inesplorati. […] Né è da tacersi un altro e principale merito del Segre: di avere, cioè, avviato il presente indirizzo italiano degli studi di Geometria sopra una curva ed una superficie, contribuendovi egli stesso efficacemente (Relazione sul concorso al Premio Reale per la Matematica, pel 1895, 1901, 367).

249

See the letters of Caporali to Segre 1884–1885, UTo-ACS, VII.

250

See Gario (1989a, 195, 196) e R. De Paolis a C. Segre, Pisa, 4 March 1887, Pisa 11 January 1888, Pisa 8 February 1892, UTo-ACS, VII and http://users.mat.unimi.it/users/gario/Segre-Ancona/lettereRicevute.pdf.

251

Maestro egli fu veramente nel più alto, nel più nobile senso della parola […] Nei primi anni della sua carriera, quando non aveva altre cure fuori della scienza e dell’insegnamento, egli teneva una corrispondenza estesissima e seguiva tutto ciò che in Italia e all’estero si produceva in campi affini al suo; suggeriva problemi, indicava metodi, segnalava errori, equanime sempre negli elogi e nelle critiche. In quell’epoca il Segre, giovanissimo, aveva assunto per unanime consenso, funzioni direttive nella scuola geometrica italiana, succedendo al Cremona. (Castelnuovo 1924b, 358).

252

“It is here that C. Segre enters the field, destined to acquire positions of eminence, even above all as maestro and head of a school” (È qui che entra in campo C. Segre, destinato acquistare posiz ^e eminente, anche soprattutto come maestro e caposcuola); (Fano 1930, 44). See also Sect. 1, footnotes 14, 21, 91; (Fano 1924–1925a, 220, 225; Fano 1924–25b, 75; Fano n. d. [Appunti vari], f. 1v).

253

See, for example, Enriques (1920, 3–4, 10). In their survey on the history of geometry from the antiquity to the first decades of the twentieth century, Enriques and Fano mention Segre’s School of geometry four times (Enriques and Fano 1932).

254

La tradizione cremoniana […] era quasi dovunque degenerata, presso parecchi degli epigoni deficienti di genio creativo, in tic tac geometria, secondo il pittoresco mot d’esprit di Enrico D’Ovidio […] A costituire la desiderata scuola […] valse appunto in primissima linea l’opera possente di Corrado Segre (Severi 1957, VI).

255

See for example Berzolari (1924, 532), Scorza (1932, 130–131), B. Segre (1961), B. Segre (1964, 18–19).

256

Corrado Segre era stato ed era un grandissimo geometra; uno degli incontrastati fondatori della cosiddetta scuola geometrica italiana (Terracini 1968, 14). He also wrote: Con Corrado Segre la geometria algebrica trovò in Italia un grande maestro e un nuovo caposcuola (Italian algebraic geometry had in Corrado Segre a great Maestro and a new leader) (Terracini 1961, p. 11). See also Terracini (1926, 244).

257

See B. Segre (1964, 18).

258

Terracini (1934‐1935, 1–3).

259

Ma se ha posto dei limiti alla sua opera, del resto vastissima, ha immensamente favorito l’attività della scuola che da lui prende il nome (Castelnuovo 1924b, 358).

260

See Volterra (1909, 64), Boggio (1927-28, 318–319).

261

See for example (Berzolari 1924, 532), Fano (1824–25a, 225), Boggio (1927‐28, 319), Fuà Segre (1952, 125), Terracini (1968, 13).

262

See J. Coolidge to O. Michelli Segre, Cambridge 20 September 1924, UTo-ACS, II.

263

See footnote 92.

264

Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians (1913, 49–50).

265

See C. Segre to F. Klein, 16 April 1884; C. Segre to D. Montesano, Turin 17 May 1888 (BMFI-Montesano); C. Segre to V. Volterra, 27 October 1897 (ANL-Volterra); C. Segre to O. Michelli Segre, Heidelberg 10 August 1904 (UTo-ACS, II); C. Segre to O. Michelli Segre, Rome 27 September 1906 (UTo-ACS, II); E. Study to O. Michelli Segre, Umhausen Oetzthal 6 August 1924 (UTo-ACS, II); C. Segre to V. Volterra, n. d. (ANL-Volterra).

266

C. Segre to E. Bompiani, Turin 16 June 1913, quoted in (Paoloni 1991, 78–88): quel senso artistico che fa lumeggiare le cose essenziali, mettere in ombra ciò che ha meno importanza. All the cited articles and books concerning Segre and the Italian School of algebraic geometry highlight the specificity of the Italian style, but already earlier Eugenio Beltrami had underlined the “Italianness” of a certain manner of exposition of the subject: see E. Beltrami to E. Cesaro, Rome 22 January 1894, in Palladino and Tazzioli (1996, 350). On the questions of style in mathematics see Mancosu (2009), Cogliati (2015).

267

Il metodo di Segre (se così lo si può chiamare, dato che esso consisteva nel non seguire un metodo analitico determinato) ha i suoi propri vantaggi: soprattutto quello di condurre costantemente a risultati geometricamente interessanti senza correre il pericolo che l’algoritmo possa prevalere sullo scopo al quale esso è dedicato (Terracini 1958, VI–VII).

268

Il metodo costantemente seguito da Corrado Segre nelle Sue ricerche poggia su di un abilissimo, elegante e suggestivo intreccio di considerazioni sintetiche e di sviluppi algebrici, questi ultimi essendo ristretti al minimo e condotti in guisa da rilevare appieno il contenuto geometrico dei risultati, alle volte perfino dei singoli passaggi, e da fornire opportuni controlli nei punti più delicati (B. Segre 1961, VIII–IX).

269

Ce que Vous me dites sur l’effet que Vous font les raisonnements synthétiques de géométrie à n dimens. ne me surprend pas; c’est seulement en vivant dans S_n, en y pensant toujours, qu’on devient familier avec ces raisonnements. See C. Segre to F. Klein, Turin 11 May 1887.

270

See Sect. 1 and footnote 9. On the role of geometric intuition in the Italian School of algebraic geometry see, for example, Severi (1950), Gray (1994), Mumford (2011), Schappacher (2015), Rogora (2015).

271

See, for example, C. Segre to F. Klein, Turin 28 November 1889; Turin 17 October 1890, (Segre 1891a, 52; Segre 1904, 453).

272

See for example C. Segre to F. Klein, Turin 4 October 1893; C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 20 July 1891.

273

La severità è un principio generale, che uso anche contro di me stesso, e che deriva da ragioni elevate relative alla serietà della scienza e dell’insegnamento (C. Segre to F. Amodeo, Turin 4 November 1891, in F. and N. Palladino (2006, 181).

274

Particular evidence of this fact emerges from his letters to Volterra and to Castelnuovo. ANL-Castelnuovo and ANL-Volterra.

275

[…] lavori che fin ora erano in quel periodico molto sacrificati o almeno trattati con poca giustizia distributiva: E. Caporali to C. Segre, 13 September 1885, in UTo-ACS, VII and http://users.mat.unimi.it/users/gario/Segre-Ancona/lettereRicevute.pdf.

276

See Appendix 5 in this present article and the section Relazioni in Giacardi (2013). In particular, he presented 16 papers by Fano, 13 by Severi, 5 by Giambelli, 10 by Beppo Levi, 5 by Giambelli, 4 by Tanturri, 7 by Terracini, 3 by Togliatti, as well as those of other members of the School and those of visiting foreigners, 3 by the Youngs, 2 by Coolidge and 1 by Sisam.

277

About 90 articles by his Italian students appeared in the journals of the Academy of Lincei, more than 50 in the Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 25 in the Annali and not counting those that were published in other Italian and foreign journals.

278

[…] perché quando si dovrà citare la tua scoperta si dovrebbe nominare un periodico estero? Gli stranieri si abituino a leggere le nostre raccolte. C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 26 September 1893.

279

Sono pienamente del tuo avviso sul criterio principale dell’insegnante: quello di farsi capire dagli uditori. Col passare degli anni me ne son sempre più persuaso: e su questo criterio mi guido […] E trattandosi poi di allievi-ingegneri hai anche ragione a non volerli obbligare a studiare tante cose che non sono di prima necessità. Se un giorno io ritornassi ad insegnare nel 1° biennio limiterei di molto il mio programma obbligatorio; ma (e qui sta la differenza con quanto fa Peano) farei pure varie lezioni complementari, facoltative, specialmente per gli studenti di matem. pure. (C. Segre to G. Castelnuovo, Turin, 10 February 1892).

280

Sono molto contento di quanto mi scrivi sull’impressione che hai fatto nei tuoi studenti: quella è la tua gran vittoria […]: mostrare che le tue attitudini didattiche non sono inferiori all’ingegno!.(C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 23 November 1891). See also, for example C. Segre to G. Castelnuovo, Turin 12 November 1902 and Turin 24 December 1904.

281

See for example C. Segre to G. Castelnuovo, Ancona 25 October 1896.

282

See for example BMP-Segre, Quaderni. 6, p. 112; Quaderni. 17, p 105; Quaderni. 34, p. 55.

283

[…]che tende ad allargarsi fuori dal proprio ambiente d’origine- (Enriques 1938, 181). On the process of internationalisation of the mathematical community in the period 1800–1945 see Parshall and Rice (2002).

284

The letter is contained in the Youngs’ Notebook 3 (D.140/19/5), p. 225. See the following Appendix 3.

285

See BMP-Segre, Quaderni. 12.

286

This postcard is addressed to “Herren W.H. Young und Frau, 11 Bergstrasse (oder Mathem. Seminar der Universität, Göttingen (Germania)”.

287

See Young (1898‐99), Chisholm Young (1898‐99).

288

Franceschino is Frank one of the Youngs’ sons, born in June 1897.

289

Adriana is Segre’s second daughter, born on 28 October 1897.

290

See BMP-Segre, Quaderni. 13.

291

On the first page, William wrote, “Keep this or send it back”.

292

See Tanturri (1900).

293

Eugenio Bertini (1846–1933) taught at the University of Pisa from 1892. Thanks to Segre’s interest Tanturri became his assistant in 1899–900.

294

Luigi Berzolari (1863–1949) taught projective geometry and descriptive geometry with drawing at the University of Turin from 1893–1894 to 1898–1899.

295

Luigia Viriglio (1879–1955) received her degree under Segre’s advisement on 9 December 1904.

296

Elena is Segre’s eldest daughter, born in March 1894.

297

Segre refers to Chisholm Young (1898‐99).

298

Bordiga, Giovanni, Di alcune superficie del 5° e del 6° ordine che si deducono dallo spazio a sei dimensioni, Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, (6) 4 (1885–1886): 1461–1501.

299

A letter by Segre in the same vein, dated 9 November 1901, is reproduced in Italian with an English translation in [Recueil d'articles de périodiques publiés par William Henry Young et Grace Chisholm Young, constitué à partir de tirés à part de leurs écrits], [United Kingdom], 1863–1944, 5 vols, vol. I (EPFL, Bibliothèque de Mathématiques, 01YOU). Here we reproduce the English translation: Mr W. H. YOUNG spent the academic year 1898–1899 at Turin, and attended my course of Lectures on Higher Geometry. I had the pleasure in this way of making his personal acquaintance, and of having frequent mathematical discussions with him. I convinced myself that he is a very studious man, full of enthusiasm for the science; and that his scholarship (coltura) is not confined to a single branch but embraces the whole range of mathematics. He has acquired an extended knowledge of Italian Geometry thanks to his mastery of the Italian language, and to the relations he has formed with various mathematicians. In his scientific researches he proceeds, I consider, with rigour, and with seriousness of purpose: and l have recorded some of his results in my article on the geometry of hyperspaces, destined for the Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. I am of opinion that Mr Young would be of great service to a University, both by his lectures, and by the assistance he would give to students in research work in Geometry.

300

Young, William Henri, Chisholm, Grace, The Theory of Sets of Points, Cambridge: at the University Press, 1st Ed. 1906.

301

See Notebook 3, in the following Appendix 3.

302

In Notebook 3, on page 36 it is written “Nov. 30th” and on page 38 “Nov. 30th, 6th lecture”.

303

See Notebook 4, in the following Appendix 3.

304

In the Notebook 4 on page 122 we find “Aprile 3”, later corrected to “Maggio 3”.

305

See Notebook 4 in the following Appendix 3.

306

C.T. is for Cecilia Tanner. Rosalind Cecilia Hildegard Tanner (1900–1992) was the eldest daughter of Grace and William. She was in the habit of using the name Cecily.

307

See footnote 288.

308

See Young, William Henry, On systems of one-vectors in space of n-dimensions, Proceedings of the London Mathematical Society, XXIX (1897–1898): 478–487.

309

Graßmann, Hermann Günther, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, Leipzig: Otto Wiegand, 1844.

310

Young, William Henry, Chisholm, Grace, Ernst Christian Julius Schering, Nature 57.1479 (1898):416.

311

Giuseppe Veronese (1854–1917) at that time was teaching analytic geometry and higher geometry at the University of Padua. His most important research concerns the hyperspatial geometry and non-archimedean geometry.

312

Young, William Henry, Chisholm, Grace, The physical properties of crystals, Nature, 57.1492 (1898): 99–100.

313

See Young, William Henry, On flat-space coordinates, Proceedings of the London Mathematical Society, XXX (1898–1899): 54–69.

314

Guido Castelnuovo.

315

Luigi Bianchi (1856–1928) is well-known for his research in differential geometry.

316

Probably Young refers to Moncalieri, a town near Torino.

317

See Appendix 3 that follows, Notebooks 3 and 4.

318

See footnotes 308 and 313.

319

See Young (1928, xiii).

320

See Young (1898‐99).

321

See Appendix 2 here above.

322

The numbers of the lessons are indicated in the notebooks. The first are not dated, and the last, no. 44, is dated 3 March; the year 1898 can be deduced from the fact that, for example, on p. 173 we find written "26 Feb. 98 [Lezione 32^a]".

323

This Notebook is a continuation of the previous one. Some lessons are dated: the first lesson is dated March 16th 1898. The two Notebooks present an extension of the contents of the course of 1897–98 (See BMP-Segre, Quaderni. 11).

324

Although the Notebook is without a title page, its title can be deduced from the first lines, which say, “Visto la vastità della materia bisogna studiare molto. Proporrò di dare delle idee fuori di quelle della corso in una conferenza ogni settimana svilluppando le idee senza demonstrazioni così in un modo o l’altro, al fine del anno spero così di farle conoscere molte cose che tutti devono sapere, o almeno avere sentito. … Posso intitulare l’argumento delle lezioni che darò in quest’anno: Lezioni sulle curve algebriche dei vari spazi” (p. 1). N.b. The orthographic errors are contained in the original text.

325

See Appendix 2.1 here above.

326

By mistake, the page numbers go from 301 to 202 ff.

327

See Appendix 1 here above.

328

This notebook is a continuation of the previous one. See also here above, the Academic Diary of Grace Chisholm Young.

329

On p. 11 appears the note: “Lie è morto”. Sophus Lie died in February 1899.

330

On p. 47 there is a reference to an evening lesson on 6 March.

331

Alberto Tanturri, who received his degree in July 1899 defending a thesis on enumerative geometry written under Segre’s advisement.

332

The title page, in addition to the title, says, “W. H. and Chisholm Young, Turin 1899”. This in all likelihood contains the supplementary lessons that Segre gave to the Youngs, with reference to the courses of 1894–1895 and 1896–1897 (See BMP-Segre, Quaderni. 6 and Quaderni. 8) on the same topic, with new examples, applications and additions.

333

The list of the sections of the card index can be accessed at Giacardi (2013).

334

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Titel: Segre’s University Courses and the Blossoming of the Italian School of Algebraic Geometry
verfasst von: Alberto Conte
Livia Giacardi
Verlag: Springer International Publishing
Buch: From Classical to Modern Algebraic Geometry
Print ISBN: 978-3-319-32992-5

Electronic ISBN: 978-3-319-32994-9

Copyright-Jahr: 2016
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-32994-9_1

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