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2015 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Spectral Representation of Stationary Processes

verfasst von : Anders Lindquist, Giorgio Picci

Erschienen in: Linear Stochastic Systems

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Abstract

In this chapter we review the spectral representation of stationary processes. This representation theory is useful for at least two reasons. First it leads to concrete representation results of stationary processes in terms of white noise. These representations are basic for filtering and prediction and also for state-space modeling of random signals. Second, spectral representation theory provides a functional calculus for random variables and processes in terms of functions of a complex variable, much in the same spirit as the Fourier transform for deterministic signals. Unfortunately the Fourier transform of a stationary process cannot be defined in a deterministic pathwise sense. For it is well-known that the sample paths of a discrete-time stationary Gaussian process of, say, independent random variables (discrete time white noise) are neither in ℓ 2 nor uniformly bounded with probability one, and hence as functions of time they do not admit a Fourier transform [129].

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Fußnoten
1
The family \(\mathcal{R}\) is a semi-ring of sets, see [130, p. 22]. A semi-ring is sometimes also called a decomposable class of sets. More generally, a stochastic orthogonal measure could be defined on an arbitrary semi-ring of sets.
 
2
Recall that all stationary processes considered in this book will have finite second-order moments.
 
3
This is equivalent to assuming y mean-square continuous.
 
4
In other words such that \(\int _{-\pi }^{\pi }[\hat{N}(e^{i\theta }) - N(e^{i\theta })]dF_{y}(e^{i\theta })[\hat{N}(e^{i\theta }) - N(e^{i\theta })]^{{\ast}} = 0\).
 
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Metadaten
Titel
Spectral Representation of Stationary Processes
verfasst von
Anders Lindquist
Giorgio Picci
Copyright-Jahr
2015
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Linear Stochastic Systems

Print ISBN: 978-3-662-45749-8

Electronic ISBN: 978-3-662-45750-4

Copyright-Jahr: 2015

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-45750-4_3

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    Bildnachweise