3. Spektraldarstellung

In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass sich jeder stationäre Prozess approximativ als Summe von harmonischen Schwingungen (mit zufälligen und unkorrelierten Amplituden) darstellen lässt. Das heißt, man kann den Prozess (punktweise in t) beliebig genau durch einen harmonischen Prozess approximieren. Der Grenzwert dieser Summen führt zu einer Integraldarstellung, der sogenannten Spektraldarstellung von stationären Prozessen. Diese Spektraldarstellung ist eine Verallgemeinerung der Fourierdarstellung von deterministischen Folgen auf stationäre Prozesse. Sie ist von zentraler Bedeutung für die Theorie stationärer Prozesse und für die Interpretation. Die Spektraldarstellung definiert einen isometrischen Isomorphismus zwischen dem Zeitbereich und dem sogenannten Frequenzbereich des Prozesses. In diesem Frequenzbereich können lineare dynamische Transformationen von stationären Prozessen (siehe Kap. 4) besonders einfach durchgeführt und interpretiert werden. Die der Spektraldarstellung des Prozesses entsprechende Fourierdarstellung der Kovarianzfunktion erlaubt eine äquivalente Beschreibung der linearen Abhängigkeits-Struktur des Prozesses.

Wir zeigen hier die wesentlichen Beweisschritte der Spektraldarstellung stationärer Prozesse. Obwohl die Struktur des Beweises wesentliche Einblicke gibt, kann der Leser beim ersten Lesen technische Einzelheiten überspringen.