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Erschienen in:

2011 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Grundlagen der Quantenmechanik

verfasst von : Gilbert Brands

Erschienen in: Einführung in die Quanteninformatik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Nach einer Einführung in die Axiome der Quantenmechanik werden in diesem Kapitel verschiedene Repräsentationssysteme sowie für die Quanteninformatik wesentliche allgemeine Schlussfolgerungen diskutiert. Die Mathematik wird dabei von der physikalischen Seite her im notwendigen Umfang entwickelt. Die Darstellungsart orientiert sich an den Notwendigkeiten, einen Informatiker in die Thematik einzuführen, ist aber sicher im hinteren Teil auch für Vertreter anderer Disziplinen anspruchsvoll genug. Doch zunächst noch einige quasiklassische Gedanken, welchen Rahmen eine quantenmechanische Theorie ausfüllen muss.

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Nächstes Kapitel Lichtquanten und Verschlüsselung

Eine Umkehrung dieses Prinzips wird sogar in der Elementarteilchenphysik erreicht. Zum Nachweis der verschiedenen Bestandteile der klassischen quantenmechanischen Teilchen Elektron, Proton und Neutron werden haushohe und tonnenschwere Detektoren benötigt.

Bei dieser Beschreibung handelt es sich um ein reines Gedankenexperiment, das in dieser vereinfachten Form nicht durchführbar ist, da die Wechselwirkungen zwischen Elementarobjekten subtiler sind als die zwischen klassischen Systemen. Die Kernaussage bleibt aber trotzdem korrekt. Wenn Sie ein besser vorstellbares Modell bevorzugen, denken Sie an die Positionsbestimmung einer Billardkugel auf einem Tisch, wobei Ihnen zur Messung nur weitere Kugeln zur Verfügung stehen, die Sie quer über den Tisch schießen können. Kommt eine Kugel nicht genau am gegenüber liegenden Punkt an, haben Sie die Koordinate gefunden, an der die Kugel aneinander gestoßen sein. Aber wo sind die Kugeln dann?

Das mag etwas verwirrend klingen. Natürlich ist insofern eine Ortsabhängigkeit gegeben, als die Eigenschaft nur gemessen werden kann, wenn auch ein Teilchen vorhanden ist. Die Eigenschaft selbst ist jedoch eine absolute Größe und nicht von irgendwelchen äußeren Bedingungen abhängig, auch nicht vom Raum.

Eine Ausnahme ist die Quantenkryptografie, doch bei der kommt man tatsächlich ohne Wellenfunktionen aus.

Beispielsweise kann das ,,Messgerät“ selbst ein quantenmechanisches System sein, das durch eine Wellenfunktion beschrieben wird, was unter bestimmten Umständen zu einer solchen Differenzierung Anlass gibt. Meist ist das jedoch nicht so, so dass die Mathematik etwas einfacher wird.

Wenn Sie ein anschauliches Beispiel benötigen, betrachten Sie sich selbst. Ob Sie nun Hunger haben oder schlechte Laune, ist sicher eine Funktion von Zeit und Ort, ob Sie aber Männlein oder Weiblein sind, ist völlig unabhängig davon eine gegebenen Konstante (zumindest, wenn man sich auf das genetische Geschlecht beschränkt und medizinische Umbauversuche mal außen vor lässt).

,,Reproduzierbar“ bedeutet hier und im Folgenden, dass der Erzeugungsvorgang wiederholt werden kann und identische Systeme liefert, an denen der Messvorgang wiederholt werden kann, nicht aber eine wiederholte Messung an ein und demselben Teilchen!

Die Aussage ist so nicht ganz korrekt, da Eigenfunktionen auch entartet sein können, d. h. zu einem bestimmten Eigenwert existieren mehrere verschiedene Eigenfunktionen. Wir wollen das hier aber nicht unnötig verkomplizieren, da es für die folgenden grundsätzlichen Betrachtungen keine Rolle spielt.

Schrödinger hat dieses Paradoxon durch seine berühmte Katze in die Diskussion eingeführt. Selbige sitzt in einer hermetisch verschlossenen Kiste, in der beim radioaktiven Zerfall eines ebenfalls dort vorhandenen Atoms ein tödliches Gift freigesetzt wird. Da das ein völlig zufälliges Ereignis darstellt, ist die Katze für den externen Beobachter weder lebendig noch tot, solange die Kiste nicht geöffnet wird (sie könnte beispielsweise noch Junge bekommen und sich dann nach dem Tod zersetzen, also bei der Messung beide Eigenschaften präsentieren). Für ein besseres Verständnis der philosophischen Aussage dieses Gedankenexperiments versetzt man sich am besten vermöge einer größeren Menge Bier ebenfalls in den Zwischenzustand der Katze.

Bei dem Zerfall muss man nicht gleich an Radioaktivität denken. Ein energetisch ungünstiger Zustand eines Teilchens wird nicht selten durch Aussenden eines Photons behoben; umgekehrt kann ein Photon, das Gegenstand eines Experiments ist, auch von einem Umgebungsatom ,,missbraucht“ werden, um seine Bilanz aufzubessern.

Diese Methode wird ,,Falsifikation“ genannt, was begrifflich nicht ganz stimmt, da eben die Unmöglichkeit eines gegenteiligen Ergebnisses das Nachweisziel der Aktion ist. Philosophisch ist dieses Prinzip mit dem indirekten Beweis der Mathematik identisch.

Gemeinsame Geheimnisse werden für Verschlüsselungszwecke benötigt. Ihre Vereinbarung kann unter verschiedenen Voraussetzungen erfolgen, wobei die allgemeinste davon ausgeht, dass die Partner vorab über keinerlei Informationen über den anderen verfügen.

Die betrogene Ehefrau von Bob? Nach der Konstruktion nicht ganz auszuschließen ;-), jedoch ist ,,Eve“ eine Abkürzung für ,,Eavesdropper“, was so viel wie Horcher oder Lauscher bedeutet.

Im Klartext: der Trennvorgang darf keinen Einfluss auf die zu messenden Zustände der Teilchen haben, ist also lediglich eine Wirkung auf die Ortskomponenten der Teilchen. Die zu messenden Zustände müssen nach dem Erzeugungsprozess konstant bleiben – und hier liegt, wie man sich leicht vorstellen kann, das Problem einer praktischen Realisierung des Modells.

Das ist eigentlich nicht weiter verwunderlich, denn ,,Lokalisierung“ eines Problems ist eine der Standardmethoden auf der Suche nach Lösungen. Außerdem erfordert das Phänomen, dass die verschränkten Eigenschaften keine Ortskoordinaten in der Wellenfunktion aufweisen, was ebenfalls unter klassischen Gesichtspunkten ungewöhnlich ist.

Eve liest in diesem Fall natürlich nur die Hälfte der ausgetauschten Informationen mit, aber es geht auch weniger um einen erfolgreichen Einbruch in eine Kommunikation als in die Demonstration der Wirkung der Superposition.

Die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor (oder Eigenfunktion) stammen tatsächlich aus der linearen Algebra in dem Sinn, dass diese Werte einer linearen Abbildung eigen sind, also charakteristisch für das System bzw. gewissermaßen Eigentum des Systems. Diese deutsche Formulierung aus dem 19. Jahrhundert ist so in die englische Bezeichnungswelt übernommen worden, aber aufgrund des gewandelten Sprachverständnisses selbst für Deutsche nicht so unmittelbar nachempfindbar.

Die folgenden Absätze sind mit einigen Begriffen der linearen Algebra gespickt. Sie erlauben Ihnen die Identifikation der mathematischen Theorieteile und definieren den Bewegungsrahmen der Quantenmechanik innerhalb der Mathematik.

Das ist eine rein formale Betrachtungsweise, denn im ,,Ernstfall“ benötigen wir dann auch eine physikalische Größe mit einem komplexen Messwert, und da hört der Spaß dann in der Regel auf.

Das gilt nur für Messungen, nicht für Wirkungen. In Operatoren, die Wirkungen vermitteln, sind komplexe Größen auch im Ergebnis durchaus zulässig.

In einer ersten Fassung des Manuskriptes hat mir die Aufnahme ,,mathematischer Trivialitäten“ die Bemerkung ,,er wolle wohl Seiten schinden“ eines Gutachters aus der Physik eingebracht. Der Umfang ist kritikgemäß stark geschrumpft. Die Physikergilde möge es mir aber bitte nachsehen, dass einige Trivialitäten im Interesse anderer Lesergruppen immer noch vorhanden sind.

Nach dem französischen Mathematiker Charles Hermite, 1822–1901.

Die Beziehung geht auf Max Planck zurück.

Der Feldstärkevektor schwingt somit entweder in einer senkrechten oder einer waagrechten Ebene um eine waagrechte Achse, die dem Richtungsvektor entspricht.

Die Schreibweise mit den geklammerten Indizes im letzten Ausdruck der zweiten Zeile soll verdeutlichen, dass dieser Tensor wenig mit dem Matrixbegriff zu tun hat.

Templatetechniken sind Compilezeitoperationen, d. h. alles wird während der Programmübersetzung festgelegt und Sie können nicht später zur Laufzeit durch interaktive Eingabe wahllos Räume miteinander verknüpfen.Alternativ können Sie dies natürlich durch normale Objektorientierung realisieren, doch wird diese Variabilität hier nicht benötigt. Templatetechniken sind eleganter und führen auch zu effizienterem Code. Eine Einführung finden Sie im letzten Kapitel des Buches. Vergleichen Sie aber auch die nächste Fußnote.

Leider sind voll rekursive Makros noch ein Bestandteil von C++, weshalb eine entsprechende Anzahl einzelner Makros notwendig sind. Siehe z. B. Gilbert Brands, Das C++ Kompendium, 2. Aufl. im Kapitel ,,Objektfabriken“, oder A. Alexandrescu, Modern C++ Design.

Falls notwendig, können Sie die Basissystem und Notationen für eine durchschaubarere Darstellung auch geeignet anpassen.

Was natürlich nicht heißt, dass man so etwas auch ohne weiteres experimentell realisieren kann.

Entartete Eigenwerte erfordern in der Regel eine etwas aufwändigere Behandlung, treten in der Quanteninformatik jedoch recht selten auf, so dass wir auf eine intensivere Behandlung verzichten.

Diese Methodik, die Grundform auf eine mehr oder weniger triviale Art zu erweitern und die Einzelteile zu physikalischen Operatoren zusammen zufassen, wird uns noch häufiger begegnen.

Das heißt, das gemessene Teilchen wird nach der Messung, sofern es noch existiert, nun durch die Eigenfunktion des Operators beschrieben.

Eigentlich János von Neumann zu Margitta, österreichisch-ungarischer Mathematiker, der aber nach Emigration in die USA etwas an seinem Namen gefeilt hat.

In diesem und zum Teil auch in den folgenden Kapiteln untersuchen wir die Eigenschaften der Dichtematrix aus mathematischer Sicht. Die Grundlagen für die verwendeten Begriffe vertiefen Sie bitte in einem Lehrbuch der linearen Algebra, z. B. Falko Lorentz, Lineare Algebra I/II.

Nehmen Sie für die Lösung dieser Aufgabe zweckmäßigerweise ein Computeralgebra-Programm in Anspruch. Im Internet sind kostenlose Programme verfügbar, die mit diesen einfachen, aber händisch aufwändigen Aufgaben klarkommen.

Je nach Konstruktion der Wellenfunktion können einzelne Elemente der Dichtematrix schon einmal ihre Position mit einem anderen symmetrisch dazu angeordneten Element tauschen (z. B. können im Rechenbeispiel die Diagonalelemente ihre Position tauschen). Dies hängt damit zusammen, dass mit dem Bezugssystemwechsel konstruktionsbedingt auch ein Anschauungswechsel vorgenommen wurde, was oft nicht leicht zu durchschauen ist.

Letzteres gilt bei weitem nicht für alles Systeme. Photonen werden beim Messprozess in vielen Fällen vernichtet, d. h. mit Erhalt des Signals ist nichts mehr für eine weitere Messung vorhanden.

Überzeugen Sie sich, dass bei unseren Voraussetzungen über Photonenquelle und Detektor eine andere Interpretation ausscheidet.

Wahlweise können Sie auch von einem Zustand ausgehen, in dem ein Photon eine \(\pi/4\)-Polarisation aufweist oder nicht vorhanden ist. Ich bezweifle allerdings, dass diese Vorstellung hilfreicher ist.

Gerade für die Beziehung unitäre Transformation – Physik ist die Dynamik sehr wichtig. Ohne das dynamische Bild wird man vielfach mehr oder weniger außerhalb der Physik gefangen bleiben.

Zur Wellenfunktionsbeschreibung siehe Seite ff., zur Theorie z. B. L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Theoretische Physik Bd. 1 und Bd. 3.

Und natürlich sollten wir erwarten, hier auch klassische Erhaltungsgrößen wiederzufinden bzw. Operatorkonstruktionen zu überprüfen.

Zur Beachtung: die Unschärferelation gibt nur den Grenzwert für die erreichbare Genauigkeit an. Abhängig vom Messprozess kann die tatsächlich Unschärfe auch erheblich darüber liegen bzw. auch formal miteinander vereinbarbare Größen können sich aufgrund des Messprozesses ausschließen. Bei diesen Effekten handelt es sich nicht um eine physikalische, sondern eine technische Komplikation. Die Schrödinger-Gleichung wird meist für reine Systeme ohne Berücksichtigung des Messsystems aufgestellt und gelöst. Für die exakte Ermittlung der Grenzgrößen ist aber der vollständige Systemzustand notwendig, also Objekt- und Messsystem. Abgesehen von der damit steigenden Komplexität spezialisieren sich dadurch aber auch die Fragestellungen. Meist werden diese Effekte daher durch Abschätzungen und Messwertstatistiken berücksichtigt.

Die Ergänzungen folgen aus der klassischen Elektrodynamik, siehe z. B. L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Theoretische Physik Bd. II.

Dies gilt ebenfalls für sehr viele Probleme der klassischen Physik, weshalb der Computer heute bei der Ermittlung von Lösungen kaum noch wegzudenken ist und man auch bereit ist, sehr schnell zu ihm zu greifen. Ist da nicht mit Blick auf das, was die Vor-Computer-Generationen mit viel mathematischem Verständnis und noch mehr persönlichem Fleiß bereits erreicht haben, ein wenig Hochachtung angebracht?

Bei Computerberechnungen im Raum \(\textstyle R\) oder darüber gelten bereits die elementaren Grundregeln der Mathematik, das Assoziativ- und das Distributivgesetz, nicht, so dass man für Rechnungen mit Zahlen eigentlich eine grundsätzlich andere Mathematik benötigt. Man begnügt sich zwangsweise mit einer ,,hinreichend genauen Näherung“, wobei die Kontrolle des ,,hinreichend genau“ oft komplizierter ist als die Basismathematik. Eine praktische Aufarbeitung aus der Programmiersicht findet sich z. B. in Gilbert Brands, Das C++ Kompendium.

Die Entartung gilt natürlich nur unter isotropen Bedingungen. In anisotropen Feldern oder unter Berücksichtigung weiterer Quantenzustände spalten die Energieniveaus auf.

Z. B. Franz Mandl, Graham Shaw, Quantenfeldtheorie, AULA-Verlag Wiesbaden.

,,Photon“ bezeichnet im Folgenden ein allgemeines elektromagnetisches Strahlungsquantum und nicht unbedingt sichtbares Licht.

Je nach Interpret werden diese Zweifel auch als feinsinnige und notwendige Konsistenzprüfung deklariert, die Zweiflern das Zweifeln verübeln sollte. Was nun stimmt, ist eigentlich ziemlich gleichgültig, da die Ergebnisse die Quantenmechanik als Theorie glänzend bestätigt haben und darüber hinaus praktischen Anwendungswert besitzen.

Wir müssten einzelne Photonenpaare mit einer bekannten Rate erzeugen und dann auch tatsächlich jedes Ereignis störungsfrei messen. Wie in Kapitel 4 im experimentellen Teil erläutert wird, ist man weit von diesen Bedingungen entfernt.

Zu experimentellen Details – Strahlenteiler, Detektoren, Photonenquellen – siehe Kapitel 4.

In einem realen Experiment muss natürlich wie immer von einer Störung dieser Statistik aufgrund einer teilweisen Aufhebung der Verschränkung durch die Umwelt ausgegangen werden. Aber das lässt sich durch diese Messung erfassen und dient dazu, den Störungsanteil aus den folgenden Messungen zu eliminieren.

Experimentell wurde zunächst mit drei verschränkten Kernspins in einem Molekül gearbeitet. Kernspinverschränkungen sind jedoch mit einigen Problemen behaftet (siehe Kapitel 6). Weitere Experimente arbeiten daher wieder mit verschränkten Photonentripeln, die aus zwei Photonenpaaren produziert wurden, siehe A. Zeilinger et al., Phys. Rev. Lett. 82 (1999), 1345–1349.

Wir müssen natürlich Eigenschaften betrachten, die mehr als einen Eigenwert aufweisen. Das Klonieren muss mit beliebigen Eigenwerten funktionieren.

Auch eine Teilkopie erfordert natürlich irgendeine Wechselwirkung des Originals \(|a\rangle\) mit einem Leerzustand \(|0\rangle\), die am Original nicht spurlos vorbeigeht und mit einer geeigneten Bellschen Messung nachgewiesen werden kann.

Eine interessante Studie dazu ist das Buch ,,Chaos und Anti-Chaos“ von Ian Stewart und Jack Cohen.

Z. B. Robert Ash, Information Theory, Interscience Publishers 1965.

Titel: Grundlagen der Quantenmechanik
verfasst von: Gilbert Brands
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Einführung in die Quanteninformatik
Print ISBN: 978-3-642-20646-7

Electronic ISBN: 978-3-642-20647-4

Copyright-Jahr: 2011
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-20647-4_3

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