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2019 | Buch

Mengenalgebra Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Mathematik für Wirtschaftsinformatiker

Grundlagen und Anwendungen

verfasst von: Prof. Dr. Wolfgang Kohn, Dr. Ulrich Tamm

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch stellt mathematische Grundlagen für Studierende der Wirtschaftsinformatik bereit, die über die zwei klassischen Gebiete Analysis und lineare Algebra hinausgehen. Dabei wird ausführlich auf Anwendungen wie Kryptologie, Codierung und Analyse von Algorithmen eingegangen. Auch neue Entwicklungen, wie Blockchain, künstliche Intelligenz und Quantencomputer werden in diesem Zusammenhang vorgestellt.

Der leicht verständliche Text verzichtet größtenteils auf Beweise und ist mit vielen Beispielen sowie Übungen mit Lösungen ergänzt. Eine Umsetzung der beschriebenen Algorithmen ist durch Codes im Open-Source-Programm R direkt möglich.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen Mathematik

Frontmatter
Kapitel 1. Mengenalgebra
Zusammenfassung
Die Mengenlehre ist essenziell für die Mathematik. Mit ihr werden die Grundlagen zur Logik, den Relationen, den Zahlen und eigentlich fast der gesamten Mathematik geschaffen. Zum Beispiel werden die Zahlen mit Hilfe der Mengenlehre konstruiert, und letztlich basiert die gesamte moderneWahrscheinlichkeitsrechnung auf ihr.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 2. Logik
Zusammenfassung
Logik ist die Lehre vom folgerichtigen Denken, d. h. vom richtigen Schlussfolgern aufgrund gegebener Aussagen. Sie ist daher ein Teilgebiet der Philosophie. Im 20. Jahrhundert haben sich daraus wichtige theoretische Grundlagen der Informatik entwickelt, wie die Turing-Maschine als ein Modell für einen Rechner und die Programmierung für Computer.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 3. Zahlensysteme
Zusammenfassung
Im Computer werden Zahlen anders gespeichert, als wir es von der Mathematik mit dem Dezimalsystem her kennen. Dies liegt daran, dass im Computer pro Bit nur die zwei Zustände 0 und 1 (oder FALSCH undWAHR) gespeichert werden. Mehrere Bits werden zur Darstellung einer Zahl zusammengefasst.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 4. Gruppen, Ringe und Körper
Zusammenfassung
Die uns bekannten Zahlenmengen (wie die natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen oder reellen Zahlen) sind mit Gruppen, Ringen und Körpern konstruiert. In Abschnitt 6.3 gehen wir kurz über die Eigenschaft der Relation auf die Konstruktion der ganzen Zahlen ein. In diesem Kapitel erklären wir, was Gruppen, Ringe und Körper sind.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 5. Funktionen
Zusammenfassung
Eine Funktion dient zur Beschreibung der gegenseitigen Abhängigkeit mehrerer Faktoren. Sie ist eine Beziehung (auch Relation oder Abbildung genannt) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Mengen (x-Wert oder Argument) genau ein Element der anderen Menge (y-Wert oder Funktionswert) zuordnet.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 6. Relationen
Zusammenfassung
Will man verschiedene Mengen miteinander vergleichen, dann benötigt man eine Beziehung zwischen diesen. Eine einzelne Menge ist ohne Struktur, solange die einzelnen Elemente völlig beziehungslos zueinander sind. Hat man aber eine Beziehung (Relation), so entsteht aus dem Chaos eine Struktur. Die Untersuchung der Eigenschaften dieser Beziehungen ist eine der Hauptaufgaben der Mathematik.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 7. Restklassen
Zusammenfassung
Restklassen sind spezielle Relationen, die insbesondere für die Kryptologie (Kapitel 9) benötigt werden.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Anwendungen

Frontmatter
Kapitel 8. Kontrollcodierung
Zusammenfassung
Eine weitere Anwendung der modulo-Rechnung aus Kapitel 7 ist die Kontrollcodierung. Sie soll verhindern, dass Tippfehler in Nummern wie z. B. Bestellnummern aufgedeckt werden. Allerdings können nur bestimmte Tippfehler mit der Kontrollcodierung aufgedeckt werden.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 9. Kryptologie
Zusammenfassung
Mit der Caesar-Chiffre wurde schon sehr früh die Kenntnis der Restklassen in Kapitel 7 genutzt, um Informationen zu verschlüsseln. Allerdings weist die Caesar-Chiffre den großen Nachteil auf, dass auch der Schlüssel sicher transportiert werden muss.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 10. Hashfunktion und Blockchain
Zusammenfassung
Hashfunktionen sind neben den symmetrischen und asymmetrischen Kryptoverfahren der dritte wichtige Baustein zur Konstruktion von Algorithmen in der Kryptologie. So werden etwa bei digitalen Unterschriften die Hashwerte des zu unterschreibenden Textes signiert.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Diskrete Mathematik

Frontmatter
Kapitel 11. Enumerative Kombinatorik
Zusammenfassung
Die Kombinatorik ist die Grundlage vieler statistischer und wahrscheinlichkeitstheoretischer Vorgänge. Sie untersucht, auf wie viele Arten man n verschiedene Dinge anordnen kann bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, aus der Grundmenge von n Elementen m auszuwählen. Sie zeigt also, wie richtig „ausgezählt“ wird. Eine gute Darstellung steht ist etwa in [7].
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 12. Erzeugende Funktionen
Zusammenfassung
In Abschnitt 11.6 wurde der Begriff der erzeugenden Funktion bereits kurz eingeführt.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 13. Analyse von Algorithmen
Zusammenfassung
Mathematische Methoden werden in der Informatik oft benutzt, um die Laufzeit von Algorithmen zu analysieren. Dabei werden die einzelnen Rechenschritte gezählt, die ein Algorithmus zur Bewältigung der gestellten Aufgabe bei Eingabe einer gewissen Größe – oft mit n bezeichnet – benötigt.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 14. Einführung in neuronale Netze
Zusammenfassung
Üblicherweise erfolgt die Lösung eines Problems durch einen Computer, indem ein Algorithmus entworfen, programmiert und anschließend implementiert wird. Der Algorithmus wird dann für jede gewünschte Eingabe vom Computer schrittweise abgearbeitet, bis das Ergebnis ermittelt wurde.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Anhang

Frontmatter
Kapitel 15. Anhang A: Bäume, Graphen und deren Darstellung im Computer
Zusammenfassung
Bäume, Graphen und deren Darstellung im Computer
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Kapitel 16. Anhang B: Lösungen zu den Übungen
Zusammenfassung
Lösungen zu den Übungen
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für Wirtschaftsinformatiker
verfasst von
Prof. Dr. Wolfgang Kohn
Dr. Ulrich Tamm
Copyright-Jahr
2019
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-59468-1
Print ISBN
978-3-662-59467-4
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-59468-1

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