Statistische Mechanik

Wir beschreiben ein klassisches mechanisches System in der Hamilton’schen Formulierung der Mechanik (siehe dazu Straumann (2015), speziell Kapitel 5).

Für ein isoliertes makroskopisches System mit der Gesamtenergie E können wir die Werte von makroskopischen Observablen in einem Gleichgewichtsszustand nach unserer Grundannahme als Erwartungswerte bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes μE darstellen.

Wir schreiben Gleichung (2.13) in der Form.

Wir charakterisieren nun die Gleichverteilung auf der Energiefläche durch ein Extremalprinzip.

Wir kehren nochmals zum klassischen monoatomaren Gas zurück.

Wir betrachten nun wieder, wie beim Beweis der Additivität der Entropie in Kapitel 3, zwei Systeme im Wärmekontakt, siehe Abbildung 6.1. Diesmal sei aber N ₁ ≪ N ₂ , V ₁ ≪ V ₂ ; wir untersuchen also das Verhalten eines Systems 1 in thermischem Kontakt mit einem Wärmebad.

Nun wollen wir den Anschluss an die Thermodynamik herstellen.

Gibt es einen vernünftigen Zugang zur kanonischen Gesamtheit ohne den Umweg über die mikrokanonische Gesamtheit, welche wir ja letztlich auch nicht befriedigend begründen können? (Außerdem ist ein wirklich isoliertes System eine Fiktion, siehe Aufgabe I.10.).

Wir haben gesehen, dass der kanonische Zustand ein System im Gleichgewicht beschreibt, welches mit seiner Umgebung Energie, aber keine Teilchen austauschen kann. Nun wollen wir den Gleichgewichtszustand eines Untersystems ermitteln, dass auch hinsichtlich der Teilchenzahl offen ist.

Nach (9.14) gilt im großkanonischen Zustand für die relativen Schwankungen.

Zum Schluss dieses grundlegenden Teil wollen wir noch einmal das Wichtigste festhalten.

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator mit der Hamilton-Funktion.

In diesem Kapitel führen wir einige wichtige Modellsysteme ein, welche wir im Folgenden näher untersuchen werden.

Das eindimensionale Ising-Modell lässt sich auf verschiedene Weisen sehr einfachlösen. Wegen ihrer allgemeinen Bedeutung benutzen wir hier die Methode der Transfermatrix.

Wir diskutieren nun ein exakt lösbares Modell, welches einen Phasenübergang beschreibt. Dieses ist zwar etwas künstlich, erlaubt es uns aber, gewisse allgemeine Gesichtspunkte zu illustrieren.

Die Molekularfeldnäherung (MFN) wurde zuerst von Pierre Weiss eingeführt. Sie ist ein einfaches, aber nützliches Werkzeug zum Studium von Phasenübergängen. Ihre Gültigkeit hängt aber stark von der räumlichen Dimension ab: Für d > d _c (= obere kritische Dimension) ist die MFN sehr gut, und zwar bei allen Temperaturen; sie gibt die richtigen kritischen Exponenten und bildet den Ausgangspunkt für systematische Korrekturen.

Onsagers Lösung des zweidimensionalen Ising-Modells (aus dem Jahre 1944) gehört zu den Großtaten der mathematischen Physik. Ihr Einfluss auf die Entwicklung der SM kann nicht überschätzt werden.

Es wurde schon mehrfach betont, dass die Thermodynamik erst im Grenzfall unendlich vieler Freiheitsgrade aus der SM folgt.

Die zentrale Rolle von Konvexitätseigenschaften wurde bereits in der Thermodynamik (Straumann, 1986) betont. Wir zeigen nun, dass für das zuletzt betrachtete Modell (Abschnitt 18.2) die freie Energie f im thermodynamischen Limes tatsächlich konvex ist.

Das Peierls-Argument (aus dem Jahr 1936) für eine nicht-verschwindende spontane Magnetisierung des zweidimensionalen Ising-Modells in der strengen Ausgestaltung durch Griffith (1964) ist ein schönes Beispiel dafür, wie auf die Existenz von Phasenübergängen ohne Kenntnis der expliziten Lösung des Modells geschlossen werden kann.

Wir diskutieren in diesem Kapitel die einfachen Korrelationsungleichungen für Ising-ähnliche Systeme und einige ihrer wichtigsten Anwendungen.

In diesem Abschnitt zeigen wir, dass für Spinmodelle (O(n)-Modelle) in d ≥ 3 Phasenübergänge stattfinden, mit denen Symmetriebrechungen verbunden sind. In zwei Dimensionen ist dies nur für Ising-Spins der Fall, während es für Sn-1- wertige Spins mit n > 1 keinen Phasenübergang gibt. Dieses Theorem von Mermin und Wagner werden wir in Kapitel 36 auch für den quantenmechanischen Fall beweisen.

Wir leiten in diesem Abschnitt für ψ(K) = −β f (darin ist f die freie Energie pro Gitterplatz im thermodynamischen Limes) die bemerkenswerte Beziehung.

In der Nähe kritischer Punkte von Phasenübergängen zweiter Art, bei denen die Kohärenzlänge im thermodynamischen Limes divergiert, zeigt sich eine Skaleninvarianz, auf der gewisse universelle Gesetzmäßigkeiten beruhen. Durch Beiträge einer Reihe von Autoren, zu denen in erster Linie Kadanoff (1966), Fisher (1974) und Wilson (1971) gehören, wurde dafür eine erfolgreiche Theorie unter den Stichworten Renormierungsgruppe (RG) und Renormierungsgruppen-Transformationen (RGT) entwickelt, die inzwischen zum festen Bestand der Physik der kondensierten Materie geworden ist.

Durch Spezialisierung der kinetischen Energie eines symmetrischen Kreisels erhält man für die kinetische Energie eines Rotators mit Trägheitsmoment I (siehe z. B. Straumann (2015), Abschnitt 11.6).

Die Verallgemeinerung der reinen Zustände auf Gemische wurde bereits in der Quantenmechanik (siehe Straumann (2013)) ausführlich behandelt. Letztere entsprechen den Maßen auf dem Phasenraum und werden mathematisch durch statistische Operatoren ρ mit den folgenden Eigenschaften beschrieben.

Ähnlich wie in der klassischen Theorie führen wir als Maß für die Ignoranz die Entropie S(ρ) eines Zustandes ein. Wir setzen.

Die klassische super-mikrokanonische Gesamtheit hat kein vernünftiges quantentheoretisches Gegenstück, da für endliche Systeme in einem endlichen Volumen die Energien i. Allg. diskret sind. Hingegen hat das mikrokanonische Maß (2.6) die folgende quantentheoretische Übersetzung.

Interpretieren wir S(ρ) als das Maß für die Ignoranz im Zustand ρ, so stellt sich natürlicherweise folgende Aufgabe.

Für die kanonische Gesamtheit ist nur der Mittelwert der Energie vorgegeben, und deshalb ist.

Wir betrachten im Folgenden nur eine Sorte von Fermionen oder Bosonen. (Die Verallgemeinerung auf mehrere Teilchensorten ist trivial.) $$ {\mathcal{F}} $$ bezeichne wie in (30.10) den zugehörigen antisymmetrischen bzw. symmetrischen Fockraum (siehe die Fußnote auf Seite 170).

Wir betrachten jetzt einen Bereich der Gesamtenergie eines Systems von N Atomen, bei dem diese sich im thermodynamischen Gleichgewicht im festen Zustand befinden.

Wir zeigen in diesem Abschnitt, dass die kanonische Zustandssumme in einer Entwicklung nach ћ in führender Ordnung gleich der in früheren Kapiteln benutzten halbklassischen Näherung ist (siehe z. B. Gleichung (6.7)). Wir zeigen dies über die sogenannte Bloch-Gleichung. (Für einen anderen Zugang siehe Huang (1987), Abschnitt 9.2.).

Für schwache Magnetfelder setzt sich die Magnetisierung des Elektronengases aus zwei unabhängigen Teilen zusammen.

Durch die Arbeiten von W. Adams war um 1925 eindeutig gesichert, dass Sirius B eine enorme Dichte von etwa 106 g/cm3 hat. Dank der damals neuen Quantenmechanik wurde sehr schnell klar, in welchem Zustand sich die Materie in einem Weißen Zwerg befindet.

Für Ising-Modelle wissen wir, dass für d ≥ 2 eine spontane Magnetisierung bei genügend tiefen Temperaturen auftritt. Entsprechend ist die Symmetrie Z₂ spontan gebrochen. In Kapitel 22 wurde gezeigt, dass klassische O(n)-Spinmodelle für d ≥ 3 unterhalb einer kritischen Temperatur ebenfalls eine spontane Magnetisierung aufweisen, dass dies aber in zwei Dimensionen für n > 1 nicht mehr der Fall ist (siehe Abschnitt 22.4).

Die Überlegungen dieses Abschnitts sind in der Theorie der Supraleitung und der Suprafluidität (3He, Neutronen in einem Neutronenstern) sehr wichtig.

Man zeige, dass die Entropie gemäß den Ausführungen in Kapitel 27 nicht negativ ist und genau dann verschwindet, wenn der Zustand ρ ein reiner Fall ist.

Dieser Anhang gibt einige Ergänzungen zu Kapitel 1.