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2016 | Buch

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Stochastische Prozesse

Eine Einführung für Statistiker und Datenwissenschaftler

verfasst von: Karsten Webel, Dominik Wied

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses verständliche Einsteigerbuch stellt grundlegend die Theorie der stochastischen Prozesse vor. Nach einem allgemeinen Teil erläutert es wichtige Klassen stochastischer Prozesse wie Poisson-Prozesse, Markov-Prozesse, Martingale und Brownsche Bewegungen. Detaillierte Beweisführungen sowie zahlreiche Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen erleichtern das Verständnis, vertiefen und festigen das Gelernte.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung

Stochastische Prozesse spielten seit der Begründung ihrer Theorie in nahezu allen naturwissenschaftlichen Disziplinen eine wichtige Rolle. Zu den Paradebeispielen ihrer Anwendungsgebiete zählen das Wachstum von Populationen in der Biologie, die zeitliche und räumliche Verteilung verschiedener wetterbildender Komponenten in der Meteorologie, die Bewegung von Teilchen in Flüssigkeiten oder Gasen in der Physik und die Bewertung der Bonität von Schuldnern in den Wirtschaftswissenschaften. Sicherlich lässt sich diese kurze Auswahl mühelos um zahlreiche nicht weniger prominente Beispiele ergänzen. Man denke nur an die Anwendungsbereiche Astronomie, Chemie, Maschinenbau, Medizin oder Psychologie. Kurzum: Stochastische Prozesse treten überall dort in Erscheinung, wo das Studium von dynamischen, zufallsgetriebenen Phänomenen im Mittelpunkt des Interesses steht.

Karsten Webel, Dominik Wied

2. Allgemeine Theorie stochastischer Prozesse

Zusammenfassung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einigen allgemeinen Konzepten aus der Theorie der stochastischen Prozesse. So setzen wir uns in Abschnitt 2.1 nach der formalen Definition stochastischer Prozesse vorrangig mit ihrer Existenz sowie der Frage auseinander, wie sich ihre Verteilung charakterisieren lässt. In den darauffolgenden Abschnitten 2.2 und 2.3 stehen Begriffe wie Äquivalenz, Stationarität und Stetigkeit stochastischer Prozesse im Vordergrund.

Karsten Webel, Dominik Wied

3. Poisson-Prozesse

Zusammenfassung

Poisson-Prozesse gehören zu den Zählprozessen. Solche stochastischen Prozesse sind von recht einfacher Struktur, denn sie zählen schlicht und ergreifend, wie oft ein bestimmtes zufälliges Ereignis im Zeitverlauf eintritt. Zu einem Poisson-Prozess wird ein Zählprozess dann unter einer speziellen Verteilungsannahme. Bevor wir aber weiter ins Detail gehen, wollen wir zunächst Zählprozesse formal definieren und danach einige allgemeine Eigenschaften von ihnen diskutieren.

Karsten Webel, Dominik Wied

4. Markov-Prozesse

Zusammenfassung

Wir haben bereits ausgangs des letzten Kapitels darauf hingewiesen, dass Markov-Prozesse eine der zahlreichen Verallgemeinerungen von homogenen Poisson-Prozessen darstellen. Erinnern wir uns: Startend im Zustand 0 verweilt ein homogener Poisson-Prozess eine unabhängig von seinem aktuellen Zustand i ∊ ℕ₀ exponentialverteilte Zeit in diesem Zustand und wechselt dann in den nächsthöheren Zustand i+1. Markov-Prozesse verallgemeinern dieses Prinzip in dreifacher Hinsicht. Erstens starten sie in einem beliebigen Zustand. Zweitens dürfen die Parameter der Exponentialverteilungen ihrer Verweildauern von ihrem aktuellen Zustand abhängen.

Karsten Webel, Dominik Wied

5. Martingale

Zusammenfassung

Mit den Poisson-Prozessen im Speziellen und den Markov-Prozessen im Allgemeinen haben wir in den beiden vorangegangenen Kapiteln stochastische Prozesse mit einem höchstens abzählbaren Zustandsraum betrachtet. Dagegen wollen wir uns in diesem sowie im nachfolgenden Kapitel 6 stochastischen Prozessen mit einem überabzählbaren Zustandsraum zuwenden. Deren Studium beginnen wir nun mit den Martingalen.

Karsten Webel, Dominik Wied

6. Brownsche Bewegungen

Zusammenfassung

Viele der bisher in diesem Lehrbuch behandelten stochastischen Prozesse haben die Gemeinsamkeit, dass ihre Pfade unstetig sind. In diesem Kapitel wollen wir uns nun mit einem pfadstetigen stochastischen Prozess beschäftigen, nämlich mit der Brownschen Bewegung. Obwohl sie augenscheinlich relativ unspektakulär über normalverteilte Zuwächse definiert ist, besitzt die Brownsche Bewegung doch viele interessante und zum Teil auch merkwürdige Eigenschaften. Beispielsweise sind ihre Pfade zwar überall stetig, jedoch nirgendwo differenzierbar. Wir gehen in Abschnitt 6.1 zunächst auf die wichtigsten Definitionen und einige sich aus ihnen ergebene Schlussfolgerungen ein. Danach analysieren wir in Abschnitt 6.2 die zentralen Eigenschaften Brownscher Bewegungen. In Abschnitt 6.3 befassen wir uns schließlich mit der Brownschen Brücke, hinter der sich eine umskalierte Brownsche Bewegung verbirgt.

Karsten Webel, Dominik Wied

7. Stochastische Integration

Zusammenfassung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Integration von bzw. nach stochastischen Prozessen. Diese Technik ist etwa in den Finanzwissenschaften weit verbreitet. Zur Motivation wollen wir demonstrieren, wie man Gewinne von Handelsstrategien modellieren kann.

Karsten Webel, Dominik Wied

8. Anhang A – Mathematische Grundlagen

Zusammenfassung

Dieser Anhang stellt überblicksartig die für das allgemeine Verständnis dieses Buchs wichtigsten mathematischen Grundlagen bereit. Dazu zählen hauptsächlich wahrscheinlichkeitstheoretische Definitionen und verschiedene Konvergenzaussagen. Letztere werden wir allerdings ebenso wie die weiteren hier zitierten Sätze nur in Ausnahmefällen beweisen, denn dieser Anhang soll letztlich nur als Gedächtnisstütze für den ”Notfall“ dienen. Für entsprechende Beweise verweisen wir daher auf die einschlägige Literatur. So geben etwa Bauer (2001), Dehling und Haupt (2004) und Klenke (2008) ausführliche Einführungen in die Wahrscheinlichkeitstheorie an. Davidson (1994) befasst sich mit stochastischer Asymptotik, während man eine umfassende Darstellung der Maß- und Integrationstheorie beispielsweise bei Elstrodt (2009) findet. Weitere Informationen zur schließenden Statistik lassen sich bei Lehmann und Casella (1998) und Lehmann und Romano (2005) nachlesen.

Karsten Webel, Dominik Wied

9. Anhang B – Lösungen

Zusammenfassung

In diesem Anhang stellen wir für alle Aufgaben aus den Kapiteln 2 bis 7 Lösungsvorschläge vor. Da der ausführliche Quellcode zu den Software-Aufgaben auf unserer Internetseite eingesehen werden kann, geben wir hier an den entsprechenden Stellen nur Skizzen an, die mit dem Statistik-Programm R (R Core Team, 2015) erzeugt wurden. Dabei beschränken wir uns auf die Darstellung des notwendigen Quellcodes und verzichten etwa auf Befehle zur schöneren grafischen Darstellung. Vor Simulationen werden die Startwerte generell durch den Befehl set.seed festgelegt.

Karsten Webel, Dominik Wied

Backmatter

Titel: Stochastische Prozesse
verfasst von: Karsten Webel
Dominik Wied
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-13885-1
Print ISBN: 978-3-658-13884-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-13885-1

Springer Professional

Über dieses Buch

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

2. Allgemeine Theorie stochastischer Prozesse

3. Poisson-Prozesse

4. Markov-Prozesse

5. Martingale

6. Brownsche Bewegungen

7. Stochastische Integration

8. Anhang A – Mathematische Grundlagen

9. Anhang B – Lösungen

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