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2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

Symmetric Dyck Paths and Hooley’s \(\varDelta \)-Function

verfasst von : José Manuel Rodríguez Caballero

Erschienen in: Combinatorics on Words

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

Hooley [6] introduced the function
$$ \varDelta (n) := \max _{u \in \mathbb {R}}\# \left\{ d | n: \quad u < \log d \leqslant u+1 \right\} , $$
where \(\log \) is the natural logarithm. Changing the base of the logarithm from e to an arbitrary real number \(\lambda > 1\), we define
$$ \varDelta _{\lambda }(n) := \max _{u \in \mathbb {R}}\# \left\{ d | n:\quad u < \log _{\lambda } d \leqslant u+1 \right\} . $$
The aim of this paper is to express \(\varDelta _{\lambda }(n)\) as the height of a symmetric Dyck path defined in terms of the distribution of the divisors of n.

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Fußnoten
1
Höft described his own research as follows (personal communication, March 24, 2017): “My work in this context has been to find formulas, develop Mathematica code to compute the sequences and their associated irregular triangles, and use those to computationally verify conjectures for initial segments of some sequences. In addition, I tried to find ‘elementary’ arguments for conjectures stated in OEIS about the ‘symmetric representation of sigma’ and to prove in special cases that the area defined by two adjacent Dyck paths actually equals sigma (thus justifying the phrase used in OEIS in those cases)”.
 
2
Let k be a field and \(\mathcal {R}\) be a k-algebra. The codimension of an ideal I of \(\mathcal {R}\) is the dimension of the quotient \(\mathcal {R}/I\) as a vector space over k.
 
3
The function \(\varDelta _2(n)\) was introduced by Erdös and Nicolas [2], using the notation F(n), before Hooley’s paper [6].
 
Literatur
1.
Blondin-Massé, A., Brlek, S., Garon, A., Labbé, S.: Combinatorial properties of \(f\)-palindromes in the Thue-Morse sequence. Pure Math. Appl. 19(2–3), 39–52 (2008)MathSciNetMATH
2.
Erdös, P., Nicolas, J.L.: Méthodes probabilistes et combinatoires en théorie des nombres. Bull. Sci. Math. 2, 301–320 (1976)MATH
3.
Fine, N.J.: Basic Hypergeometric Series and Applications, vol. 27. American Mathematical Soc., Providence (1988)MATH
4.
Hall, R.R., Tenenbaum, G.: Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 90. Cambridge University Press, Cambridge (1988).
5.
6.
7.
Kassel, C., Reutenauer, C.: Counting the ideals of given codimension of the algebra of Laurent polynomials in two variables. arXiv preprint arXiv:​1505.​07229 (2015)
8.
Kassel, C., Reutenauer, C.: Complete determination of the zeta function of the Hilbert scheme of \(n\) points on a two-dimensional torus. arXiv preprint arXiv:​1610.​07793 (2016)
9.
Rodríguez Caballero, J.M.: On a function introduced by Erdös and Nicolas (To appear)
10.
Sloane, N.J.A., et al.: The on-line encyclopedia of integer sequences (2012)
Metadaten
Titel
Symmetric Dyck Paths and Hooley’s -Function
verfasst von
José Manuel Rodríguez Caballero
Copyright-Jahr
2017
Buch
Combinatorics on Words

Print ISBN: 978-3-319-66395-1

Electronic ISBN: 978-3-319-66396-8

Copyright-Jahr: 2017

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-66396-8_23