Systemanalyse und Regelkreissynthese

Die ältesten Überlieferungen über technische Regelsysteme gehen auf die Zeit des Hellenismus im 2. vorchristlichen Jahrhundert in Alexandrien zurück [49]. Aus einer Sekundärquelle kennt man Wasseruhren des zu seiner Zeit berühmten Mechanikers Ktesibios, die wahrscheinlich ein Regelprinzip enthielten. Die Beschreibung in der erhaltenen Sekundärquelle ist leider unklar, so daß die Deutungen zum Teil auseinandergehen. Die Aufgabe der Apparatur war es, den Zeitverlauf zwischen Sonnenauf- und -untergang zu messen und in zwölf gleiche Abschnitte zu unterteilen. Bild 1.1 zeigt eine Rekonstruktion. Die Ausflußgeschwindigkeit bei E hängt von der Wasserhöhe im Gefäß BCDE ab. Um eine konstante Ausflußgeschwindigkeit und damit eine gleichmäßige Zeitunterteilung zu erhalten, muß die Wasserstandshöhe im Gefäß konstant gehalten werden. Dies geschieht über den Schwimmer G, der mit seiner Unterseite den Wasserstand mißt und mit der konischen Oberseite den Zulauf über die freigegebene Querschnittsfläche steuert. Ein Schwimmer P im Auffanggefäß bringt die integrierte Größe, d. h. die ausgeflossene Wassermenge, über einen Zeiger auf eine in gleichmäßigen Abständen markierte Walze STUV zur Anzeige. Um die jahreszeitlichen Schwankungen der Tageslänge zu berücksichtigen, war diese Walze drehbar und mit nichtlinearen empirischen Kennlinien I bis XII versehen.

In diesem Kapitel soll der Leser in das weite Feld der Systemdynamik eingeführt werden, wobei das Gesamtgebiet untergliedert und der im weiteren zu behandelnde Themenkreis eingegrenzt wird (Abschn. 2.1.1 und 2.1.2). In Abschn. 2.1.3 wird exemplarisch an Beispielen aus der Praxis vorgeführt, wie durch Näherungsannahmen für komplexe Systeme physikalisch vereinfachte Modelle gewonnen werden können, die den wesentlichen Kern der Problemstellung noch enthalten, aber einer Behandlung mit relativ einfachen Methoden zugänglich sind. In Abschn. 2.1.4 werden dann für eine Reihe von technischen Systemen lineare mathematische Modelle abgeleitet, die den weiteren Untersuchungen zugrunde liegen sollen. Diese linearen Differentialgleichungen werden später zur Systemanalyse und Regelkreissynthese herangezogen. Es zeigt sich, daß einerseits sehr unterschiedliche Systeme auf dieselbe mathematische Beschreibung führen und daß andererseits dasselbe System je nach Art der verwendeten Zustandsvariablen (Meßgrößen) durch einen anderen Satz von Differentialgleichungen beschrieben werden kann. Ein Elektrokarren, der einen unten um eine Achse drehbar gelagerten Stab balanciert, wird als Standardbeispiel näher diskutiert.

Im Kapitel 2 ist der Begriff der Übertragungsfunktion abgeleitet und die Übertragungsfunktion als analytische Funktion im Komplexen diskutiert worden. Dabei wurden verschiedene Darstellungsarten ausgiebig behandelt, deren Vorteile für die Regelkreissynthese im vorliegenden Kapitel offenkundig werden. Neben der einfachen Bestimmung der Zeitantworten von Systemen, die in Abschn. 2.3 besprochen wurde, ist es vor allem die einfache Möglichkeit zur Ausnutzung der Ergebnisse aus Abschn. 2.4 zur Auslegung rückgekoppelter Systeme, die das Konzept der Übertragungsfunktion so wirksam macht. In Abschn. 3.1 wird zunächst der Aufbau zusammengeschalteter Teilsysteme verfolgt und das Vorgehen zur Umwandlung entsprechender Blockschaltbilder in einfachere Grundarten besprochen. Abschn. 3.2 gibt eine Charakterisierung von Übertragungsfunktionen anhand einiger Kenngrößen und in Abschn. 3.3 werden jene Methoden abgeleitet und mit den Ergebnissen von Abschn. 2.4 verknüpft, die ab Kapitel 4 das Handwerkszeug zur Regelkreissynthese sein werden.

In diesem Kapitel werden die bisher behandelten Verfahren eingesetzt, um mit den Komponenten des offenen Kreises ein System mit geschlossenem Regelkreis zu erstellen, das vorgegebenen Spezifikationen bezüglich des dynamischen Antwortverhaltens genügt bzw. ihnen möglichst nahe kommt. Zur Erreichung dieses Zieles können meist verschiedene Zustandsgrößen gemessen oder Signale manipuliert und gemischt werden. Letztere Operationen werden im sogenannten „Regler“ durchgeführt. Bei Eingrößenregelungen mit einem besonders interessierenden Ausgangswert y, der trotz Störungen z an der Regelstrecke einem Sollwert y_s möglichst gleich sein soll, können der Regeleinrichtung neben dem Soll- und Istwert noch weitere Hilfsregelgrößen x_h zugeführt werden (Bild 4.1). Wenn x_h die Ableitung von y ist, ergibt sich im Bildbereich mit x_h = sy ein einfacher Zusammenhang und man spricht nach wie vor von einem Eingrößenregelkreis (mit Vorhaltsignal); ist x_h eine allgemeine Zustandsvariable, spricht man häufig bereits von einer Mehrgrößenregelung, obwohl man strenggenommen diese Bezeichnung Systemen mit mehreren Soll-, Steuer- und Ausgangsgrößen vorbehalten sollte.

In diesem Kapitel werden einige Gesichtspunkte systematisch zusammengestellt, die beim Systementwurf zu beachten sind. Die Bedeutung dieser Forderungen ist je nach Anwendung verschieden und es können noch zusätzliche spezifische Auflagen hinzukommen; diese können so unterschiedlicher Art sein, daß es schwierig ist, sie allgemein zu fassen. Zunächst werden die Gesichtspunkte in mehr qualitativer Art aufgelistet; einzelnen wichtigen Punkten sind dann Unterkapitel gewidmet: Abschn. 5.1 der Stabilität, Abschn. 5.2 dem Führungs- und Störverhalten sowie Abschn. 5.3 der Parameterempfindlichkeit, die beiden letzteren speziell bei Beobachterreglern. Im Abschn. 5.4 werden zusammenfassend die Beziehungen zwischen Beobachterreglern und klassischen Kompensationsgliedern diskutiert.

Für umfangreichere Mehrgrößensysteme sind die Zustandsraumverfahren das angemessene Untersuchungsinstrumentarium [3, 17, 35, 39, 64, 70, 79], wobei auch hier der Bildbereich mit den Verallgemeinerungen der Übertragungsfunktion auf Übertragungsvektoren und -matrizen gute Dienste leisten kann und kompakte Beschreibungen ermöglicht. Die Reglerauslegung geschieht dann meist mit Matrixmethoden auf Digitalrechnern. Kailath [35] behandelt das Gesamtgebiet linearer Systeme in einer vereinheitlichten Schau im Zeit- und Frequenzbereich.