Temperatur- und Kühlungsprobleme

Wenn in einem festen Körper eine beliebige Temperaturverteilung herrscht, findet eine Wärmeleitung statt, die in jedem Punkt gekennzeichnet ist durch einen Wärmestromdichtevektor (pro Zeiteinheit durch die Einheit der Fläche geleitete Wärmemenge) mit den drei Komponenten q₁, q₂, q₃, für die allgemein q _i geschrieben werde. Nach dem Fourierschen Wärmeleitungsgesetz ist 19.1(1)$${{q}_{i}}=-\lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}},$$ wo λ die Wärmeleitfähigkeit ist und x _i für die drei Koordinaten x_l, x₂, x₃ steht. Mit ϱ als Dichte und c als spezifischer Wärmekapazität ist die innere Energie eines Raumelementes dx_ldx₂dx₃ gegeben durch ϱcTdx_ldx₂dx₃, womit die Energiebilanz des Elementes $$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}d{{x}_{3}}=-\sum\limits_{i}{-\left\{ \left[ \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)d{{x}_{i}} \right]-\lambda \frac{\partial T}{\partial {{X}_{i}}} \right\}}d{{x}_{j}}d{{x}_{k}}$$ wird. Hierbei ist jeweils j ≠ i, k ≠ i. Aus dieser Gleichung folgt unmittelbar 19.1(2)$$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\sum\limits_{i}{\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right),$$ womit die allgemeine Wärmeleitungsgleichung für den wärmequellenfreien isotropen Körper gefunden ist. Wenn λ mit hinreichender Näherung unabhängig von der Temperatur ist und wenn die als Temperaturleitzahl bezeichnete Gruppe a = λ/ϱc eingeführt wird, geht Gl. 19.1(2) über in 19.1(3)$$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda }{\rho c}\sum\limits_{i}{\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial x_{1}^{2}}}=a{{\nabla }^{2}}T.$$ Bei stationärem Temperaturfeld und konstantem λ gilt also insbesondere 19.1(4)$$\sum{\frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}}}=0oder{{\nabla }^{2}}T=0,$$ woran bemerkenswert ist, daß hier kein Stoffwert mehr auftritt.