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Erschienen in:

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

12. The Group Determinant Problem

verfasst von : Thomas Hawkins

Erschienen in: The Mathematics of Frobenius in Context

Verlag: Springer New York

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Abstract

This and the following three chapters are devoted to Frobenius’ greatest mathematical achievement, his theory of group characters and representations. The first two chapters consider how he was led to create the basic theory. Then a chapter is devoted to other lines of mathematical thought that led other mathematicians to independently discover at least a part of Frobenius’ results—yet another example of multiple discovery involving Frobenius. The fourth chapter discusses further work by Frobenius on the theory and application of representation theory as well as the contributions made by his best student, I. Schur, and by Schur’s student R. Brauer.

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The matrix σ(R) is a permutation matrix. It has a 1 in its (P, Q) entry if and only if T _R(Q) = P, i.e., if and only if R Q = P. Thus \(R = P{Q}^{-1}\), and so \(x_{R} = x_{P{Q}^{-1}}\), which means that \(\sum x_{R}\sigma (R) = (x_{P{Q}^{-1}})\).

See Frobenius, Abhandlungen 2, 565–573, 632–694.

The present location of the Dedekind–Frobenius correspondence is given in the preface.

This is the letter containing Kronecker’s “Jugendtraum theorem” on abelian extensions of imaginary quadratic fields. See [149, p. 30].

Probably Dedekind was referring to Frobenius’ simple (and abstract) proof [193] of the more general result that if p ^ν divides the order of a group, then it contains a subgroup of order p ^ν. Frobenius’ proof is sketched in Section 9.4.

In modern versions of the theory, Gauss’ determinant D is replaced by the discriminant of F, which is equal to 4D.

Dedekind explicitly states this fact in Supplement X of the 2nd and later editions of Dirichlet’s lectures: [137, p. 399], [138, p. 407], [139, p. 408].

Gauss gave a list of the forms representing each of the 16 classes of \(\mathfrak{F}_{1}(D)\) for \(D = -161\) and divided them into genera by their characters [244, Art. 231].

On the introduction of ideal class groups, see Sections 9.1.2 and 9.1.5.

Letter to Frobenius dated 7 August 1896. The quoted portion is reproduced in Dedekind’s Werke 2, p. 434.

This according to Dedekind’s letter to Frobenius dated 8 July 1896. This portion of the letter is included in Dedekind’s Werke 2, 433–434.

See Muir’s history [449, v. 2, 401–412, v. 3, 372–392, v. 4, 356–395].

The following is based upon Dedekind’s computations in the manuscript [116, p. 10r] but is presented in the notation he subsequently adopted. He also communicated these computations to Frobenius in a letter of 13 July 1896. The portion of the letter containing these calculations is contained in Dedekind’s Werke 2, 437–441.

Letter to Frobenius dated 13 July 1896. The quoted portion is reproduced in Dedekind’s Werke 2, 440.

Letter of 12 February 1895. A portion of this letter containing the above quotation was published in Dedekind’s Werke 2, 420.

The letter was published as [371]. Regarding Dedekind’s concern to omit parts of the letter, and more generally his relations with Kronecker, see Edwards’ article [145, pp. 370–372].

It was eventually published there as [118].

Letter dated March 22, 1896.

Letter dated 25 March 1896. The portion of the letter containing the above quotation as well as those that follow was published in Dedekind’s Werke 2, 420–421.

There are hundreds of pages of unpublished manuscripts concerning groups by Dedekind in the archives of the Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek in Göttingen. In the archives of the library of the Technical University at Braunschweig, Germany, there are 86 pages by Dedekind dealing with groups. Scharlau [511] has analyzed Dedekind’s unpublished algebraic work from the period 1855–1858.

The letter is dated 31 March–3 April 1896. The portion of the letter discussed below was published in Dedekind’s Werke 2, 421–423.

Although in his publications, Frobenius mentioned the analogy with this polynomial, he also made clear his indebtedness to Dedekind and in particular noted Dedekind’s priority in envisioning the importance of group determinants for the theory of groups [212, pp. 38–39].

For an idea of the rich and complicated analytic theory of theta characteristics and its history, including some indications of Frobenius’ contributions, see the lengthy (131 pages) seventh chapter of Krazer’s treatise [350].

My brief summary of Frobenius’ paper is based on his own extensive overview [187, pp. 11–14].

For example, in the case g = 2, if \(A ={\biggl ( \begin{array}{cc} 1\! & \!0 \\ 1\! & \!1 \end{array} \biggr )}\) and \(B ={\biggl ( \begin{array}{ccc} 0\! & \!1 \\ 0\! & \!0 \end{array} \biggr )}\), then \((A)(B) = (-1)(+1)\not = + 1 = (AB)\), since by (12.13) \(AB ={\biggl ( \begin{array}{ccc} 1\! & \!1 \\ 1\! & \!1 \end{array} \biggr )}\).

Frobenius [192, p. 171] stated the theorem more generally for a system \(\mathcal{S}\) of characteristics containing γ + 1 “essentially independent” characteristics as defined earlier [187, p. 15]. When \(\mathcal{S}\) is a subgroup \(\mathfrak{H}\) of \(\mathfrak{K}_{g}\), it takes the form given in Theorem 12.6.

46.

W. Burnside. On a property of certain determinants. Messenger of Mathematics, 23(2): 112–114, 1894.

113.

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116.

R. Dedekind. Gruppen-Determinante und ihre Zerlegung in wirkliche und übercomplexe Factoren. Niedersächsiche Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen, Cod. Ms. R. Dedekind V, 5, 1886.

118.

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129.

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130.

P. G. Dirichlet. Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression. Berichte über die Verhandlungen der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften, pages 108–110, 1837. Reprinted in Werke 1, 307–312.

131.

P. G. Dirichlet. Sur l’usage des séries infinies dans la théorie des nombres. Jl. für die reine u. angew. Math., 18:259–274, 1838. Reprinted in Werke 1, 357–374.

132.

P. G. Dirichlet. Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres. Jl. für die reine u. angew. Math., 19:324–369, 1839. Reprinted in Werke 1, 411–461.

133.

P. G. Dirichlet. Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres. Jl. für die reine u. angew. Math., 21:1–12, 134–155, 1840. Reprinted in Werke 1, 461–496.

134.

P. G. Dirichlet. Über eine Eigenschaft der Quadratischen Formen. Berichte über die Verhandlungen der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften, Jahrg. 1840, pages 49–52, 1840. Reprinted in Jl. für die reine u. angew. Math. 21 (1840), 98–100 and in Werke 1, 497–502.

137.

P. G. Dirichlet. Vorlesungen über Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig, 2nd edition, 1871. Edited and supplemented by R. Dedekind.

138.

P. G. Dirichlet. Vorlesungen über Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig, 3rd edition, 1879. Edited and supplemented by R. Dedekind.

139.

P. G. Dirichlet. Vorlesungen über Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig, 4th edition, 1894. Edited and supplemented by R. Dedekind.

145.

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149.

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186.

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187.

G. Frobenius. Über das Additionstheorem der Thetafunctionen mehrerer Variabeln. Jl. für die reine u. angew. Math., 89:185–220, 1880. Reprinted in Abhandlungen 2, 11–46.

188.

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189.

G. Frobenius. Über die Grundlagen der Theorie der Jacobischen Functionen. Jl. für die reine u. angew. Math., 97:16–48, 1884. Reprinted in Abhandlungen 2, 172–204.

191.

G. Frobenius. Über Gruppen von Thetacharakteristiken. Jl. für die reine u. angew. Math., 96:81–99, 1884. Reprinted in Abhandlungen 2, 130–148.

192.

G. Frobenius. Über Thetafunctionen mehrerer Variablen. Jl. für die reine u. angew. Math., 96:100–122, 1884. Reprinted in Abhandlungen 2, 141–171.

193.

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200.

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Titel: The Group Determinant Problem
verfasst von: Thomas Hawkins
Verlag: Springer New York
Buch: The Mathematics of Frobenius in Context
Print ISBN: 978-1-4614-6332-0

Electronic ISBN: 978-1-4614-6333-7

Copyright-Jahr: 2013
DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-6333-7_12

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Abstract

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