Theoretische Elektrotechnik

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung

Auch dieser Band beginnt mit charakteristischen Beispielen, die in übersichtlicher Form das Anliegen der Buchserie aufzeigen. Es sind technische Problemstellungen, die als Variationsproblem modelliert werden können.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 2. Prinzipien in der Technik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden zwei bedeutungsvolle Prinzpien der Technik, das Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip) und das Kompensationsprinzip (Ausgleichsprinzip) vorgestellt.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 3. Grundlagen

Zusammenfassung

Das älteste Differentialprinzip der Mechanik ist das Prinzip der virtuellen Arbeit. Es findet in der Statik seine Anwendung und beschreibt das Kräftegleichgewicht über die virtuellen Verrückungen \(\delta \vec q\). In Analogie zur Elektrotechnik sollen nun Massepunkte betrachtet werden, die sich in einer Lagekoordinate bewegen können, da sich Zweipole in der Elektrotechnik ebenfalls in einem Zweig befinden.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 4. Zur Topologie von Netzwerken

Zusammenfassung

Im Kapitel 1 charakterisieren die Fundamentalmaschenmatrix und die Fundamentalschnittmengenmatrix eines Systems den topologischen Aufbau des elektrischen bzw. magnetischen Teils. Das wurde am Beispiel des Aufbaus einer Gleichstromklingel gezeigt, wobei konzentrierte Bauelemente vorausgesetzt wurden. Man erkennt, daß der mathematische Zusammenhang zwischen Zweigspannung und Zweigstrom (magnetischer Spannungsabfall und magnetischer Fluß) an den Bauelementen nicht in den aufgeführten Matrizen vorkommen. Ihre Elemente haben nur die Werte +1, −1 und 0. Quellen, gleich welcher Natur und Art, fehlen ebenfalls.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 5. Die dissipative Zustandsfunktion L und die dissipativen Impulse

Zusammenfassung

Es soll nun eine Funktion ℒ (dissipative Zustandsfunktion) gefunden werden, die bei Anwendung der Legendreschen Transformation genau die erweiterte Hamilton-Funktion gemäß (3.51) ergibt.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 6. {L, D}-Modelle von Bauelementen

Zusammenfassung

Anliegen der Ähnlichkeitstheorie ist es, verschiedene physikalische oder technische Sachverhalte auf gemeinsame Eigenschaften hin zu untersuchen und so eine möglichst allgemeine und einheitliche mathematische Behandlung der verschiedensten Phänomene zu ermöglichen. Dies ist ein umfangreiches Gebiet, dessen ausführliche Behandlung den Rahmen dieses Buches sprengen würde. Deshalb soll an dieser Stelle nur ein kurzer Überblick über die grundlegenden Sachverhalte gegeben werden, der zum Verständnis der folgenden Darlegungen nötig ist.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 7. Der Riemannsche Raum

Zusammenfassung

In diesem Kapitel soll gezeigt werden, wie sich diskrete, d.h. aus einzelnen Bauelementen bestehende technische Systeme tensoriell behandeln lassen. Wenn man ein System (z.B. ein elektrisches Netzwerk) in seine Elemente zerlegt und die Zwangsbedingungen außer acht läßt, so kann jedes Element sich in seinen Freiheitsgraden bewegen. Im Falle elektrischer Zweipole hat jedes Element einen Freiheitsgrad, nämlich den Zweigstrom oder die Zweigspannung. Dieses von den Zwangsbedingungen (der Netzwerktopologie) „befreite“ System hat zunächst so viele Freiheitsgrade wie die Summe m aller Einzelfreiheitsgrade f _i der k Elemente

$$m = \sum\limits_{i = 1}^k {f_i.} $$

(7.1)

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 8. Elemente höherer Ordnung und ihre Anwendungen

Zusammenfassung

Die Ziele dieses Kapitels bestehen darin, den Leser in die Theorie der Elemente höherer Ordnung einzuführen, und eine Eingliederung der bekannten Zweipolelemente von Elektrotechnik und Mechanik in diese Theorie vorzunehmen.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 9. {L, D}-Modelle für Elemente höherer Ordnung

Zusammenfassung

Um Systeme mit Elemente höherer Ordnung mit Hilfe des Lagrange-Formalismus beschreiben zu können, sind ihre {L, D}-Modelle herzuleiten. Zu einem solchen Modell gehören die Lagrange-Funktion und die Dissipationsfunktion des jeweiligen Elementes. Aus dem Kapitel 3.1 ist bekannt, daß dem Lagrange-Formalismus die Euler-Lagrange-Differentialgleichung zugrunde liegt. Durch die bekannte Euler-Lagrange-Differentialgleichung werden jedoch nur Elemente militer und erster Ordnung beschrieben. Das fordert: Um Elemente höherer Ordnung in den Lagrange-Formalismus einbeziehen zu können, muß die Euler-Lagrange-Differentialgleichung um Terme höherer zeitlicher Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten erweitert werden. Das führt wiederum auf ein hinsichtlich der Ordnung erweitertes Variationsproblem. Das Variationsproblem umfaßt jetzt die Ermittlung der Extremwerte des Funktionals:

$$\matrix{ {I = \int_{t_0 }^{t_1 } {f\left( {t,q_k ,\dot q_k ,\ddot q_k , \ldots ,\mathop q\limits^{\left( n \right)} _k } \right)dt\mathop = \limits^! {\rm{Extremum}}} } \hfill & {k = 1,2, \ldots ,f} \hfill \cr } $$

(9.1)

mit den Randbedingungen

$$\matrix{{q_k \left( {t_0 } \right) = q_{k0} ;} \hfill & {\dot q_k \left( {t_0 } \right) = \dot q_{k0} ;} \hfill & { \ldots ;} \hfill & {\mathop q\limits^{\left( {n - 1} \right)} \,_k \left( {t_0 } \right) = \mathop q\limits^{\left( {n - 1} \right)} _{k0} } \hfill \cr } $$

(9.2)

und

$$\matrix{ {q_k \left( {t_1 } \right) = q_{k1} ;} \hfill & {\dot q_k \left( {t_1 } \right) = \dot q_{k1} ;} \hfill & { \ldots ;} \hfill & {\mathop q\limits^{\left( {n - 1} \right)} \,_k \left( {t_1 } \right) = \mathop q\limits^{\left( {n - 1} \right)} \,_{k1}.} \hfill \cr } $$

(9.3)

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 10. Hamilton-Funktion für Systeme mit Elementen höherer Ordnung

Zusammenfassung

Eine weitere Möglichkeit zur Beschreibung allgemeiner Systeme neben dem Lagrange-Formalismus bieten die Hamilton-Funktion und die daraus folgenden kanonischen Bewegungsgleichungen. Erzeugt der Lagrange-Formalismus f Differentialgleichungen 2. Ordnung, so beruht der Hamilton-Formalismus mit seinen kanonischen Bewegungsgleichungen auf einem System von 2f Differentialgleichungen 1. Ordnung. Treten in Systemen nun Elemente mit höheren zeitlichen Ableitungen (Elemente höherer Ordnung) auf, so besteht auch hier prinzipiell die Möglichkeit des Aufsteilens der konservativen Hamilton-Funktion und den zugehörigen kanonischen Bewegungsgleichungen.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 11. Analyse von Systemen mittels Lagrange- und Hamilton-Formalismus

Zusammenfassung

In diesem Kapitel erfolgt die Berechnung elektrischer Systeme mit Elementen höherer Ordnung mittels Lagrange- und Hamilton-Formalismus. Bei den klassischen Berechnungsmethoden muß im Hinblick auf das zu wählende Verfahren nach linearem oder nichtlinearem Verhalten unterschieden werden. Sowohl der Lagrange- als auch der erweiterte Hamilton-Formalismus kennen keinen Unterschied hinsichtlich der Linearität bzw. Nichtlinearität beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 12. Technische Anwendungen für Elemente höherer Ordnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden mehrere technische Anwendungen für Elemente höherer Ordnung vorgestellt. Zum einen benutzt man diese Elemente zur besseren Beschreibung des Verhaltens von Schaltungen in der Kryoelektronik und zum anderen gewinnen die Elemente höherer Ordnung als spezielle Bauelemente in der Filtertechnik an Bedeutung.

Ute Diemar, Georg Michel

Kapitel 13. Umsetzung auf dem Computer

Zusammenfassung

Die Behandlung konkreter technischer Systeme, insbesondere elektromechanischer Systeme oder elektrischer Netzwerke erfordert einen zum Teil erheblichen Rechenaufwand. Deshalb wird nun ein Mathematica-Paket ¹ namens Lagrange’ ² vorgestellt, das die Aufstellung und Lösung der Bewegungsgleichungen automatisiert. Außerdem können weiterführende tensorielle Berechnungen unter Verwendung der gewonnenen Größen innerhalb Mathematica unmittelbar ausgeführt werden.

Ute Diemar, Georg Michel

Backmatter