Theoretische Elektrotechnik

Viele technische Aufgaben können im Prinzip durch Probieren gelöst werden, z. B. der Bau eines Elektromotors oder einer Verstärkerröhre oder einer Fernsprechverbindung. Beim Bau eines Transistors oder einer mikro- oder gar nanoelektronischen Schaltung in integrierter Technologie ist das jedoch nicht mehr so einfach und kann bei fehlerhaften Ergebnissen hohe Kosten verursachen. Wendet man die ”Probiermethode“ an und erfüllt das erste Gerät nicht die gewünschten Bedingungen, ist z. B. die Leistung des Elektromotors nicht ausreichend oder zeigen sich irgendwelche anderen Mängel, dann wird man ein zweites Gerät herstellen und versuchen, durch Abänderungen diese Mängel zu beseitigen, und es ist wahrscheinlich, dass man bei Verwertung der dabei gemachten Erfahrungen nach einer gewissen Anzahl von Versuchen schließlich zu einem brauchbaren Gerät kommen wird. Dieses empirische Verfahren ist in der Tat das Verfahren, das in der Technik, besonders in der Anfangszeit neuer Zweige der Technik, häufig angewendet wurde und noch angewendet wird. Heute wird in der Entwurfsphase meistens keine praktische Realisierung mehr durchgeführt, sondern die Systemeigenschaften werden mit Hilfe von Rechnersimulationen optimiert. Offensichtlich erfordert es aber zumindest große Aufwendungen an Hilfsmitteln und an Zeit. Sie lassen sich um so mehr verringern, je genauer man die Vorgänge kennt, die sich in der betreffenden Einrichtung abspielen.

In der Einleitung zu diesem Buch wurde zunächst einmal versucht, die Gegenstände etwas näher zu charakterisierten, die im folgenden betrachten werden sollen. Jedoch hat Ludwig [162] bereits im ersten Band seiner

Einführung in die Theoretische Physik

darauf hingewiesen, dass es zumindest schwierig wenn nicht gar unmöglich ist, eine Wissenschaft und insbesondere die Theoretische Physik – wir können das wohl letztlich auch auf die Theoretische Elektrotechnik übertragen – inhaltlich zu charakterisieren, ohne dasjenige detailliert zu schildern, was diejenigen wirklich tun, welche in der Disziplin arbeiten. Dem ist kaum etwas hinzuzufügen, denn auch Küpfmüller hat bei der Konzeption der ersten Ausgabe seines Buches ”Eine Einführung in die Theoretische Elektrotechnik“ mit Hilfe von Motivationen, theoretischen Ausführungen und vorgerechneten Beispielen gezeigt, wie ein theoretischer Elektrotechniker arbeitet. Er hat die ”Theoretische Elektrotechnik“ zwar nicht erfunden, denn Vorlesungen und Lehrstühle dieser Art gab es schon lange (z.B. vertrat W. Kohlrausch an der TH Hannover ab 1886 das Lehrgebiet

Grundzüge der Elektrotechnik und Theoretischen Elektrotechnik

und H. Hertz hielt an der TH Karlsruhe im Studienjahr 1885/86 eine Vorlesung

Theoretische Grundlagen der Elektrotechnik

), aber er hat genauer präzisiert, was ”Theoretische Elektrotechnik“ bei sich wandelnder Technologie bedeutet.

In der Physik gibt es zahlreiche Systeme, deren Verhalten im

Ortsraum

bzw.

Konfigurationsraum

als ”lokalisiert“ angesehen werden kann, wobei sich der Ortsraum eines solchen Systems nur in einfachen Fällen durch einen dreidimensionalen Punktraum repräsentieren lässt; vgl. auch Anhang A.1. Das Verhalten solcher Systeme lässt sich dann für jeden Zeitpunkt in sehr guter Näherung durch einen Punkt im zugehörigen Orts- und Konfigurationsraum darstellen. Das wichtigste Beispiel ist die Newtonsche Punktmechanik, im Rahmen derer man die Bewegung von Punktmassen unter dem Einfluss von Kräften diskutieren kann. Dabei wird die Dynamik im Raum durch Ortsund Geschwindigkeitsgrößen charakterisiert; zusammengenommen handelt es sich um die Zustandsgrößen der Newtonschen Mechanik – auch klassische Mechanik genannt. Solche Punktmassensysteme sind offensichtlich im obengenannten Sinne lokalisiert. Sie dienten als Vorbild für viele andere physikalische Systeme. Die Dynamik elektrischer Netzwerke, die durch Ströme und Spannungen beschrieben werden, ist ein weiteres Beispiel dafür, dass der Konfigurationsraum i. a. eine Dimension höher als drei besitzt.

Elektrische und elektronische Schaltungen gehören zu den wichtigsten physikalischen Systemen, die auf elektromagnetischen Eigenschaften basieren und daher grundsätzlich mit der Theorie elektromagnetischer Felder behandelt werden müssten. Eine mathematische Modellierung und Beschreibung mit Hilfe elektromagnetischer Felder ist jedoch aufgrund der hohen Komplexität solcher Schaltungen – d. h. der großen Anzahl von Bauelementen – und der damit zusammenhängenden komplizierten geometrischen Struktur zumeist ausserordentlich schwierig, wenn nicht gar unmöglich. Außerdem wird häufig die vollständige Kenntnis der elektromagnetischen Felder gar nicht benötigt, da fast alle Messgeräte, mit denen man elektrische und elektronische Schaltungen untersucht, nur bestimmte Aspekte und integrale Größen dieser Felder ermitteln. Es ist daher sehr zweckmäßig, eine eigenständige Theorie für solche Schaltungen zu entwickeln, die von Anfang an auf diesen integralen Größen aufbaut. Tatsächlich ist man physikhistorisch gesehen auf diese Weise vorgegangen. Noch lange bevor eine vollständige physikalische Theorie elektromagnetischer Felder existierte, haben Ohm und Kirchhoff sowie Helmholtz und andere eine eigenständige Theorie linearer Widerstandsnetzwerke entwickelt, die man als Modelltheorie für elektrische Schaltungen aus metallischen Drahtleitern verwenden kann.

Im Rahmen dieses Abschnittes soll auf einige grundlegende elektrische Schaltungen eingegangen werden. Zunächst behandeln wir Schaltungen aus Kondensatoren bzw. Spulen und Widerständen, wobei wir deren Verhalten nicht nur mit den Methoden der Theorie elektrischer Netzwerke aus dem letzten Abschnitt 4 analysieren wollen, sondern auch das zugrundeliegende physikalische Verhalten im Sinne der Theorie elektromagnetischer Felder betrachten. Man beachte, dass die im Rahmen der Netzwerktheorie verwendeten Begriffe Strom, Spannungen, elektrische Leistung, usw. eine solche physikalische Interpretation nicht benötigen, sondern sie werden dort axiomatisch eingeführt werden. Das führt zu einer abgeschlossenen mathematischen Theorie für elektrische Schaltungen, die aber die räumliche Ausdehnung der Bauelemente und der gesamten Schaltung vernachlässigt. Auch wenn die Netzwerktheorie in vielen Situationen sehr erfolgreich angewendet werden kann, handelt es sich um eine Näherungstheorie, deren Grenzen für den Anwender sichtbar bleiben müssen, um keine unnötig großen Fehler zu machen. Insbesondere bei der Modellierung integrierter Schaltungen, die im GHz-Bereich arbeiten und bei denen nanostrukturierte Bauelemente eingesetzt werden, ist inzwischen die räumliche Dimension der Teilschaltungen und Leitbahnen nicht mehr zu vernachlässigen; vgl. Mathis [177].

Elektrostatische Anziehungskräfte eines mit einem Wolltuch geriebenen Bernsteins (griech. electron) waren bereits den Griechen bekannt waren (Thales von Milet; 626 - 547 v. Chr.), aber erst Benjamin Franklin schlug die Bezeichnungen ”negativ“ und ”positiv“ für die beiden elektrischen ”Fluida“ vor, mit denen Körper bestimmter Art – beispielsweise auch Metalle – beaufschlagt werden können. Man wusste auch, dass sich Körper mit unterschiedlichen elektrischen Fluida anziehen, während sie sich bei gleichartigen Fluida abstoßen. Zwischen 1771 und 1789 entdeckten Henry Cavendish und Charles Augustin de Coulomb (vgl. Spektrum der Wissenschaft-Biographie von Maxwell [252]) die Gesetzmäßigkeit dieser Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Einzelheiten zur Frühgeschichte der Elektrizität findet man in dem 1772 erschienenen Werk von Priestley [220] und u. a. auch bei Simonyi [248].

Eine wesentliche Grundlage für den Aufbau einer Theorie des statischen elektrischen Feldes war die in Abschnitt 6 näher betrachtete elektrostatische Kraftwirkung, die man schon seit langer Zeit kannte. Wir sagen demnach, dass die Umgebung einer Ladung mit einem elektrischen Feld erfüllt ist. Die auf eine Punktladung im elektrischen Feld ausgeübte Kraft ist nach Gl. (6.1) und (6.4)

F

=

Q

E

.

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gesehen, dass der Fluss des D-Feldes gleich der Ladung der Elektroden ist. Somit kann das Verhältnis des D-Feldes zum E-Feld experimentell untersucht werden. Hierzu kann z.B. eine Anordnung nach Abb. 8.1 dienen. Zwei ebene parallele Metallplatten stehen sich mit der Fläche

A

in einem kleinen Abstand

d

gegenüber. Im Zwischenraum befindet sich der zu untersuchende Nichtleiter. An die beiden Elektroden kann mit Hilfe eines Schalters

S

eine Spannungsquelle gelegt werden; sie erzeugt an den Elektroden eine Potenzialdifferenz

U

, die durch das Voltmeter

V

angezeigt wird. Der Strom fließt dabei durch ein ballistisches Galvanometer

G

, dessen Maximalausschlag anzeigt, wie groß die Elektrizitätsmenge

Q

ist, die die Platten aufgenommen haben. Diese Elektrizitätsmenge ist gleich dem Fluss des D-Feldes zwischen den Platten.

Bringt man in ein elektrisches Feld, z. B. das Feld zwischen den beiden Elektroden A und B, Abb. 9.1, einen isolierten Leiter C, so entsteht in diesem Leiter unter der Einwirkung der elektrischen Feldkräfte eine Wanderung der Elektronenwolke, bis im Inneren

E=0

ist. Als Resultat dieser Wanderung von Elektronen befinden sich auf der Oberfläche des Leiters elektrische Ladungen. Auf der Leiteroberfläche steht das E-Feld senkrecht, denn eine tangentiale zur Oberfläche auftretende Komponente des E-Feldes Etang könnte Ladungen verschieben. Da in der Elektrostatik keine Ladungsbewegungen auftreten, muss gelten

E

tang

=

0

.

Zur Bestimmung eines E-Feldes müssen die Grundgleichungen der Elektrostatik gelöst werden, die in Form von Algebro-Differentialgleichungen (6.7) formuliert werden können. Alternativ lassen sich die Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen (6.11), (6.12) angeben, so dass Algebro- Integralgleichungen zu lösen sind. Da sich diese Gleichungen nur selten direkt lösen lassen, wird zunächst die Differentialgleichung für das elektrische Potenzial

φ

abgeleitet und unter Hinzunahme von Randwerten eine entsprechende Lösung analytische oder numerisch ermittelt. Anschließend lassen sich daraus E-Feld und D-Feld durch Gradientenbildung bzw. Multiplikation mit

ε

bestimmen. In sehr einfachen Anordnungen von idealen Leitern lässt sich das E-Feld zumindest näherungsweise erraten, in dem man die Randbedingung für ideale Leiter nutzt und zusätzlich Symmetrieüberlegungen anstellt. Ein Beispiel dafür ist der Plattenkondensator, wenn man bei ausgedehnten ebenen und parallelen Platten das E-Feld in Punkten wissen möchte, die von den Plattenrändern weit entfernt sind. Die Feldlinien des E-Feldes sind dann orthogonale, auf den Platten stehende Linien. In grober Näherung wird diese Vorstellung auf sämtliche Punkte der Platten angewendet. Auf dieser Grundlage lassen sich eine Reihe von Feldproblemen in guter Näherung zumindest qualitativ diskutieren. Ein schönes Beispiel ist die Elektronenoptik, wie sie bei der Braunschen Röhre verwendet wird; Anwendungen findet man bei Fernsehger äten und Oszilloskopen. Wir gehen darauf in Abschnitt 14.5 näher ein.

Die Feldberechnungsmethoden in Abschnitt 10 beruhten wesentlich auf der Anwendung der feldmäßigen Darstellung der elektrischen Ladungsdichte ρ mit Hilfe des D-Feldes ”Das Oberflächenintegral des D-Feldes über eine geschlossene Fläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung“, der Wirbelfreiheit des E-Feldes, was in differentieller Form durch die Einführung des elektrischen Potenzials berücksichtigt wird ”Das E-Feld kann als negativer Gradient des elektrischen Potenzials notiert werden“ und dem linearen Materialgesetz ”Das D-Feld ist proportional zum E-Feld“.

Im Abschnitt 11 haben wir uns mit der Berechnung des elektrischen Potenzials

φ

befasst, wobei neben der Poisson-PDgl. und der dazu notwendigen Vorgabe einer Ladungsverteilung – ggf. gleich Null – auch Randbedingungen in Form von Potenzialwerten oder Ableitungen des Potenzials, idealer Leiter oder sonstiger Grenzflächen vorzugeben sind. Wenn wir das Potenzial bestimmt haben, lassen sich alle anderen Feldgrößen, wie das E- oder D-Feld in einfacher Weise berechnen. In diesem Sinne spielt das elektrische Potenzial die Rolle einer Zustandsgr öße, mit der das elektrostatische Verhalten solcher Systeme ableiten lässt. Allerdings ist diese skalare Feldgröße

φ

nicht eindeutig bestimmt, da sich dieselben physikalisch messbaren Feldgrößen – im Fall der Elektrostatik handelt es sich um das E- und das D-Feld – auch aus einem Potenzial ableiten lassen, dem eine additive Konstante hinzugefügt wurde.

Bringt man einen kleinen geladenen Körper, z.B. eine kleine Metallkugel, die mit der Ladung

Q

versehen ist, in ein elektrostatisches Feld, so wird auf diesen geladenen Körper eine mechanische Kraft in der Richtung der E-Feldlinien ausgeübt. Die Kraft ist bestimmt durch das E-Feld, das

vor dem Einbringen

des geladenen Körpers in das elektrische Feld an der betreffenden Stelle vorhanden war; sie hat den durch Gl.(7.1) gegebenen Wert. Voraussetzungen für die Gültigkeit dieser Beziehung ist, dass die Abmessungen des geladenen Körpers so klein sind, dass das ursprüngliche Feld in seiner Umgebung als homogen angesehen werden kann. Bewegt man den geladenen Körper, so bleibt die Kraft durch das gleiche Gesetz bestimmt. Man erhält dann eine mechanische Arbeit, die positiv oder negativ sein kann, je nach der Richtung der Bewegung gegenüber der Richtung der E-Feldlinien. Die Arbeit, die beim Durchlaufen eines kleinen Längenelementes ds des Weges auf die geladene Kugel übertragen wird, ergibt sich, wenn die in die Wegrichtung fallende Komponente

F

s

der Kraft

F

, Abb. 13.1, mit der Länge des Wegelementes multipliziert wird. Unter Wegrichtung ist dabei die Richtung der Bewegung des geladenen Körpers zu verstehen.

In Abschnitt 6 wurden die Coulombschen Kräfte als Ausgangspunkt für die Einführung des elektrischen Feldes gewählt. Die auf eine Punktladung im elektrischen Feld ausgeübte Kraft ist nach Gl. (6.4)

F

=

Q

E

.

In den Abschnitten über die statische Näherung des elektrischen Feldes wurde angenommen, dass sich die Ladungen und Ladungsdichten ortsfest im Raum befinden und somit keine zeitabhängige Verschiebung erfahren. Im Rahmen der Näherung des stationären elektrischen Strömungsfeldes werden solche zeitlichen Veränderungen der Ladungen und Ladungsdichten in die Betrachtungen einbezogen, die zu einer zeitlich konstanten ”Strömung“ der elektrischen Ladungen führen.

Nach der allgemeinen Einführung der Grundgesetze des elektrischen Strömungsfeldes im letzten Abschnitt wollen wir noch einige elementare Überlegungen anfügen, die der besseren Veranschaulichung des stationären elektrischen Strömungsfeldes dienen sollen. Dazu gehen wir von einem langgestreckten zylindrischen Leiter aus gleichförmigem Material aus. In diesem Leiter breitet sich ein konstanter elektrischer Strom um so genauer gleichmäßig über den ganzen Querschnitt aus, je größer die Leiterlänge im Vergleich zu den Abmessungen des Querschnitts ist. Denkt man sich den Querschnitt in kleine, unter sich gleiche Flächenelemente zerlegt, so fließt durch jedes dieser Flächenelemente in der Zeiteinheit die gleiche Elektrizitätsmenge. Die Stromstärke je Flächeneinheit ist überall im Querschnitt konstant; sie ist für beliebige Flächenelemente des Querschnitts gleich dem Gesamtstrom dividiert durch die Fläche des Leiterquerschnittes. Eine solche gleichmäßige Stromverteilung bildete die Voraussetzung der Gl. (4.1).

Wir haben bereits im Abschnitt 11 darauf hingewiesen, dass man zur analytischen und numerischen Lösung der Potenzialgleichung des stationären Strömungsfeldes grundsätzlich alle Methoden verwenden kann, die wir im Fall des ladungsfreien elektrostatischen Feld kennengelernt haben. Im Unterschied zur Elektrostatik wird die Laplacesche Differentialgleichung ”natürlicherweise“ als Neumannsches Randwertproblem gestellt, da man die Stromdichte

J

(bzw. den Strom

I

) vorgibt. Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes zeigt man, dass das gerade einer Vorgabe der Ableitung des elektrischen Potenzials entspricht. Daher soll das elektrische Strömungsfeld nur anhand einiger ausgewählter Beispiele diskutiert werden. In der Monographie von Lehner ([153], S. 251ff) findet man ein ausführlich gerechnetes und illustriertes Beispiel, bei dem die Potenzialgleichung mit gemischten Randwerten mit Hilfe eines Separationsansatzes gelöst wird.

Es ist bereits von griechischen Naturgelehrten berichtet worden, dass es Anziehungs- und Abstoßungskräfte zwischen bestimmten Materialien gibt. Man fand diese ”Steine“ in der Nähe der griechischen Stadt Magnesia und daher wurden sie als ”Magneteisensteine“ bezeichnet; wir nennen sie im folgenden kurz

Magnete

. In ihrer Umgebung werden Kräfte auf andere Magnete ausgeübt. Auch wenn derartige Experimente bis zum heutigen Tage zur Illustration dieser Kräfte verwendet werden, sind sie als Startpunkt für eine mathematische Modellierung magnetischer Felder nur wenig geeignet. Das hat vor allem zwei Gründe:

1. Wir wissen heute, dass ein volles Verständnis magnetischer Eigenschaften von Materialien nur mit Hilfe der Quantenmechanik erreicht werden kann; vgl. z. B. Wijn und Dullenkopf [290].

2. Die bei bestimmten Materialien in natürlicher Weise auftretenden magnetischen Felder sind meistens inhomogen und daher mathematisch nicht in einfacher Weise beherrschbar.

Wie mit dem Vorhandensein elektrischer Ladungen immer ein elektrisches Feld verbunden ist, so tritt immer ein magnetisches Feld auf, wenn elektrische Ströme fließen, wenn sich also elektrische Ladungen bewegen. Ein

stationäres

magnetisches Feld entsteht, wenn es sich um Gleichstrom handelt, der also hinsichtlich der Stromdichte

J

bzw. des Stromes

I

zeitkonstant ist. Daher sprechen wir in diesem Fall von Stationarität. Das magnetische Feld kann wie das elektrische durch Feldlinien veranschaulicht werden. Von dem Verlauf dieser Linien geben die bekannten, erstmals im Jahre 1821 von Seebeck [24] durchgeführten Versuche mit Eisenspänen eine Vorstellung. Auf langgestreckten Eisenspänen oder auf Magneten werden im magnetischen Feld mechanische Kräfte ausgeübt, die die Eisenspäne in eine bestimmte Richtung zu drehen versuchen. Dadurch wird die Feldlinienrichtung an jeder Stelle des B-Feldes definiert, das nach Abschnitt 18 die Kraftwirkungen des magnetischen Feldes charakterisiert. Diese Feldlinien bezeichnet man als

magnetische Induktionslinien, magnetische Feldlinien

oder hier als B-Feldlinien.

Alle Stoffe haben Einfluss auf das magnetische Feld. Das lässt sich mit Hilfe eines Zusammenhanges der krafterzeugenden Größe

B

des magnetischen Feldes und der magnetischen ”Erregungsgröße“

H

ausdrücken. Wir haben bereits erwähnt, dass das B- und das H-Feld unter bestimmten Umständen proportional sein können.

Wir wissen aus Abschnitt 18, dass sich das H-Feld unter Berücksichtigung des Nahwirkungsprinzips und des Helmholtzschen Satzes hinsichtlich seines divergenzfreien Anteils in folgender Weise ergibt rot

H

=

J

.

Zunächst werde mit Hilfe der Laplaceschen Formel das B-Feld auf der im Mittelpunkt eines stromführenden Drahtringes, Abb. 22.1, senkrecht zur Ringebene stehenden Achse berechnet.

In den letzten Abschnitten haben wir uns mit der Berechnung der Feldgrößen im stationären Magnetfeldes beschäftigt, wobei i. a. eine Stromdichteverteilung sowie bestimmte Randbedingungen vorgegeben sind. Dabei ist es in vielen Fällen zweckmäßig, wenn man dazu – zumindest im Prinzip – das Vektorpotenzial

A(r)

mit Hilfe der zugehörigen Vektor-Poissongleichung bestimmt und daraus sämtliche Felder des stationären Magnetfeldes bestimmt. Auf diese Weise kann man die Charakteristiken einer Problemstellung im Sinne der Theorie des stationären Magnetfeldes ermitteln, die eine Näherung der Theorie des elektromagnetischen Feldes darstellt. In Bezug auf die Integraldarstellung einer speziellen Lösung der Vektor-Poissongleichung für das Vektorpotenzial (21.21) sind die Geometrie eines Problems und die elektrische Stromdichte untrennbar miteinander verknüpft. Daher ist man gezwungen, zumindest das Vektorpotenzial datenmäßig zu erfassen, um ein Problem vollständig zu erfassen. Eine solche Datenmengen ist in vielen Anwendungen kaum zweckmäßig und häufig auch gar nicht notwendig. Man versucht daher, die Datenmenge durch Einführung integraler Größen zu reduzieren. Hinsichtlich des B-Feldes haben wir bereits in Abschnitt 18 den magnetischen Fluss

Φ

als integrale Größe eingeführt, die auf eine vorgegebene Fläche

A

bezogen wird und somit eine Reduktion der Datenmenge darstellt. Der magnetische Fluss hängt wiederum von Geometrie und elektrischer Stromdichte ab.

Die im magnetischen Feld aufgespeicherte Energie lässt sich wie die elektrische Energie durch die Feldgrößen ausdrücken. Allerdings stößt man bei der Ableitung des Ausdrucks für die magnetische Energie auf einen wichtigen Unterschied. Im elektrischen Feld konnte der Ausdruck für die elektrische Energie auf der Grundlage eines Gedankenexperimentes hergeleitet werden: Transport von Ladungen aus dem Unendlichen. Diese Überlegung setzt voraus, das man es mit einem energetisch abgeschlossenen System zu tun hat, was im Fall des elektrischen Feldes gegeben ist.

Analog zu den Verhältnissen im elektrostatischen Feld sind mit der Speicherung von Energie im stationären Magnetfeld mechanische Kraftwirkungen verknüpft, und zwar finden wir hier dreierlei mechanische Kräfte, nämlich solche zwischen den Stromleitern, Kräfte an den Grenzflächen von Stoffen verschiedener Permeabilität und Kräfte zwischen Stromleitern und magnetischen Stoffen; sie können physikalisch sämtlich auf Kräfte zwischen bewegten Ladungen zurückgeführt werden.

Bei den bisherigen Überlegungen wurden auf der Basis der Experimente von Coulomb sowie von Ørsted, Biot, Savart, Ampere und Laplace das elektrische und magnetische Feld als separate physikalische Systeme eingeführt. Lediglich die Tatsache, dass bewegte elektrische Ladungen – elektrische Ströme – in ihrer Umgebung eine magnetische Erregung erzeugen, die durch das H-Feld charakterisiert wird, gab Hinweise auf einen Zusammenhang des elektrischen und magnetischen Feldes. Im folgenden wollen wir zeigen, dass es weitere Hinweise auf einen solchen Zusammenhang gibt. Dazu betrachten wir wieder einmal die Mechanik des geladenen Probekörpers.

Bewegt man einen Leiter durch ein magnetisches Feld, so werden auch die Leitungselektronen im Inneren des Leiters mitgeführt. Die Elektronen erfahren daher Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung des Leiters und zur Feldlinienrichtung des Magnetfeldes. Wird z.B. ein Kupferstab, Abb. 27.1, mit der Geschwindigkeit v durch ein magnetisches Feld senkrecht zum B-Feld

B

bewegt, so wirken die magnetischen Feldkräfte auf die Elektronen entgegengesetzt zu der durch den Pfeil gekennzeichneten Richtung. Dadurch tritt an dem einen Stabende ein Überschuss, am anderen ein Mangel an Elektronen auf. Auf der Leiteroberfläche entsteht eine entsprechende Ladungsverteilung. Längs des Stabes stellt sich ein Potenzialgefälle ein, das die Elektronen in der Pfeilrichtung zu bewegen sucht. Im Gleichgewichtszustand halten sich die mit dem Potenzialgefälle verbundenen elektrischen Feldkräfte den magnetischen Feldkräfte die Waage. Das resultierende E-Feld im Leiter und an seiner Oberfläche ist Null.

Um Probleme der quasistationären elektromagnetischen Felder lösen zu können, werden Methoden zur Lösung von partiellen Vektor-Differentialgleichungen vom Diffusionstyp (vgl. Gl. (26.51))

28.1

$$ \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} = D \triangle\mathbf{u}. $$

benötigt, wobei

D

eine reelle Konstante ist. Im Fall spezieller Geometrien sind sogar analytisch Lösungen verfügbar. Betrachtet man den skalaren Fall, so hängt

u

nur von der Zeit und z. B. der Ortsvariablen

x

ab, so kann man die 1-dimensionale Diffusionsgleichung nach Einführung dimensionsloser Koordinaten

$$ \tau := t/Dl $$

und

$$ \xi := x/l $$

(

l

: charakteristische Länge) in folgender Weise darstellen

28.2

$$ \frac{\partial\tilde{u}}{\partial t} = \frac{\partial^2\tilde{u}}{\partial x^2}. $$

Befinden sich in einem magnetischen Wechselfeld elektrisch leitende Stoffe, so entstehen in diesen Stoffen nach dem Induktionsgesetz Wechselströme auf Bahnen, die mit den magnetischen Induktionslinien verkettet sind; man bezeichnet diese Ströme als

Wirbelströme

. In stromführenden Leitern überlagern sich die Wirbelströme dem Leiterstrom. Auch durch das magnetische Feld des Leiterstromes selbst werden Wirbelströme im Leiter hervorgerufen. Dadurch ergibt sich eine ungleichmäßige Verteilung des Stromes über den Leiterquerschnitt, die man als

Stromverdrängung

bezeichnet. Die Wirbelströme erzeugen selbst ein Magnetfeld und wirken daher auch auf das ursprüngliche Feld zurück, es scheint eine

Feldverdrängung

zu entstehen. Infolge der im Leiter entstehenden Stromwärme wird dem magnetischen Feld dabei Energie entzogen. Man bezeichnet als

Wirbelstromverluste

die Leistung, die infolge der Wirbelströme in Form von Wärme verlorengeht.

Elektrostatische Felder mit den im Abschnitt 6 besprochenen Eigenschaften setzen eine verschwindende Leitfähigkeit voraus. Wegen der endlichen Leitfähigkeit der Isolierstoffe stellt sich bei zeitlich konstanten Potenzialen in Wirklichkeit eine elektrische Strömung ein.

Die Potenzialverteilungen gehorchen bei konstanten Spannungen immer den Gesetzen des Strömungsfeldes.

Werden z.B. mehrere reale Kondensatoren hintereinander geschaltet an eine Gleichspannung gelegt, so verteilt sich die Spannung auf die einzelnen Kondensatoren im allgemeinen durchaus nicht umgekehrt wie die Kapazitätswerte, wie es unter der Voraussetzung elektrostatischer Felder sein müsste, sondern im Endzustand immer entsprechend den Isolationswiderständen, die ganz andere Verhältnisse haben können.

Das zeitlich konstante elektrische Feld ist immer ein elektrisches Strömungsfeld.

Bei der technischen Anwendung der Induktionswirkung kommen oft Anordnungen vor, deren Teile sich gegeneinander bewegen, z. B. in elektrischen Maschinen.

In Abschnitt 26.4 wurde den Gleichungen des elektromagnetischen Feldes, die nur das Induktionsgesetz berücksichtigen, noch der Term

∂

D

rotf

/

∂t

hinzugefügt, um die Konsistenz mit der Kontinuitätsgleichung der Ladungen herzustellen. Es konnte gezeigt werden, dass die Zustandsgleichungen des elektromagnetischen Feldes trotzdem vom Typ einer Diffusionsgleichung sind, d.h. physikalisch gesehen, dass der neue Anteil keine magnetischen Wirkungen erzeugt. Maxwell hat nun den obengenannten Gleichungen des elektromagnetischen Feldes eine solche Erweiterung – die

Maxwellsche Ergänzung

– hinzugefügt, so dass sich Zustandsgleichungen für das elektromagnetische Feld vom Typ einer

Wellengleichung

ergeben. In diesen Zustandsgleichungen ist auch eine zweite Zeitableitung enthalten. Es ist üblich, den neuen Term als

Maxwellschen Verschiebungsstrom

zu bezeichnen.

In einem veränderlichen elektromagnetischen Feld in quasistationärer Näherung ist der (quasistationäre) Verschiebungsstrom nach Abschnitt 30 definiert als die Zunahme des Flusses des D-Feldes geteilt durch die Zeit. Die Dichte dieses Verschiebungsstromes beträgt

$$ \partial\mathbf{D}_{rotf}/\partial t $$

und setzt sich mit der Leitungsstromdichte

J

in dem betreffenden Stoff zur Dichte

J

w

des sogenannten wahren Stromes in der quasistationären Näherung zusammen, Gl.(30.9),

33.1

$$ \mathbf{J}_w := \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}_{rotf}}{\partial t}. $$

Nach den vorherigen Abschnitten entsteht eine elektromagnetische Welle, sobald sich die Ströme oder Spannungen zeitlich ändern. Zeitlich

konstante

Spannungen und Ströme liegen vor, wenn sich Elektrizitätsmengen in Ruhe oder in

gleichförmiger

Bewegung befinden; Strom- und Spannungs

änderungen

werden durch ungleichmäßig bewegte Elektrizitätsmengen verursacht. Die einfachste elektromagnetische Welle wird sich daher ergeben, wenn eine punktförmige Elektrizitätsmenge in einem sonst von Ladungen und materiellen Körpern freien Raum ungleichförmig bewegt wird. Die bei allgemeinen Bewegungen von räumlich ausgedehnten Ladungen entstehenden Wellen lassen sich durch Überlagerung der von den einzelnen Ladungsteilchen ausgehenden Wellen darstellen.

Von fundamentaler Bedeutung für die Elektrotechnik ist die Tatsache, dass elektromagnetische Felder entlang metallischer Leiter geführt werden können. Beginnend mit der Frequenz null bis zu Frequenzen in den GHz-Bereich sind dafür Zwei- und Mehrdrahtleitungen geeignet. Hohlleiter können bis zu Frequenzen im Bereich mehrerer hundert GHz eingesetzt werden. Leitungen sind deshalb wichtige Hilfsmittel sowohl für die Energie- als auch für die Nachrichten übertragung.

Bei hohen Frequenzen kann elektromagnetische Energie im

Innenraum

von hohlzylindrischen Leitern übertragen werden. Die Leitungsverluste durch Stromwärme im Leitungsmaterial können dann sogar geringer sein als bei Drahtleitungen, wo die hohe Feldkonzentration an den Leitungsdrähten nach Gl.(29.117) hohe Verluste bedingt. Praktisch werden besonders Hohlleiter von kreisförmigen und von rechteckigen Querschnitten verwendet. Im folgenden wird als Beispiel die Theorie der Übertragung in

rechteckigen Hohlleitern

betrachtet, zugleich als weiteres Beispiel für die Anwendung der Feldgleichungen.

Den bisherigen Betrachtungen liegt die Vorstellung zugrunde, dass der konstante elektrische Strom durch ein gleichmäßiges Fließen von Elektrizitätsmengen in den elektrischen Leitern dargestellt wird. In dieser Vorstellung wird die Elektrizität als eine fein verteilte nicht zusammendrückbare Flüssigkeit aufgefasst, die die elektrischen Leiter ausfüllt wie Wasser den Hohlraum eines Leitungsrohres. Sobald diese Flüssigkeit in Bewegung kommt, ergeben sich Wärmewirkungen und magnetische Wirkungen, die den elektrischen Strom kennzeichnen. Diese einfache Vorstellung ist für die Lösung einer großen Gruppe von Problemen vollständig ausreichend. Einen vertieften Einblick in das Zustandekommen der elektrischen Erscheinungen hat die Erkenntnis gebracht, dass die Elektrizität wie die Materie Atomstruktur besitzt.

Dieser Abschnitt kann aus dem Internet als PDF-File geladen werden; Einzelheiten dazu findet man im Vorwort zu diesem Buch. Die Hinweise auf Abschnitte, Gleichungen und Abbildungen beziehen sich auf den vorliegenden Text. Die Seitennummern entsprechen der Vollversion des Buchmanuskripts, die sämtliche im Internet vorhandenen Unterabschnitten einbezieht und können somit leider nicht mit den Seitennummern der vorliegenden gedruckten Version des Buchmanuskriptes in Zusammenhang gebracht werden.

Die Funktionsweise des

pn

-Übergangs ist fundamental für das Verständnis aller Halbleiterbauelemente. Man betrachtet ihn zunächst im stromlosen Zustand (Abb. 39.1). Der Kristall sei an seinen Enden nicht angeschlossen, der Gesamtstrom ist gleich Null. Über den Übergang diffundieren, wie in Abschnitt 37.3.6 beschrieben, Löcher aus der p-Zone nach rechts in die n-Zone, das dabei entstehende Feld wirkt dagegen, es besteht Boltzmann- Gleichgewicht

J

Feld

=

J

Diff

.

Eine detaillierte Kenntnis der inneren Vorgänge in Halbleiterbauelementen wie dem Bipolartransistor oder dem Feldeffekttransistor, wie wir sie in Abschnitt 39 behandelt haben, ist für seinen Einsatz in Schaltungen oft ebenso wenig notwendig wie die detaillierte Kenntnis der Stromtransportvorgänge im Ohmschen Widerstand. Wichtig sind die Abhängigkeiten von Spannungen und Strömen an seinen Klemmen, die durch einfache Ersatzschaltungen oder Kennlinienfelder ganz brauchbar repräsentiert werden können.