Theoretische Elektrotechnik

Viele technische Aufgaben können im Prinzip durch Probieren gelöst werden, z. B. der Bau eines Elektromotors oder einer Verstärkerröhre oder einer Fernsprechverbindung. Beim Bau eines Transistors oder einer mikro- oder gar nanoelektronischen Schaltung in integrierter Technologie ist das jedoch nicht mehr so einfach und kann bei fehlerhaften Ergebnissen hohe Kosten verursachen. Wendet man die „Probiermethode“ an und erfüllt das erste Gerät nicht die gewünschten Bedingungen, ist z. B. die Leistung des Elektromotors nicht ausreichend oder zeigen sich irgendwelche anderen Mängel, dann wird man ein zweites Gerät herstellen und versuchen, durch Abänderungen diese Mängel zu beseitigen, und es ist wahrscheinlich, dass man bei Verwertung der dabei gemachten Erfahrungen nach einer gewissen Anzahl von Versuchen schließlich zu einem brauchbaren Gerät kommen wird.

In der Einleitung zu diesem Buch wurde zunächst einmal versucht, die Gegenstände etwas näher zu charakterisierten, die im folgenden betrachten werden sollen. Jedoch hat Ludwig [169] bereits im ersten Band seiner

Einführung in die Theoretische Physik

darauf hingewiesen, dass es zumindest schwierig wenn nicht gar unmöglich ist, eine Wissenschaft und insbesondere die Theoretische Physik – wir können das wohl letztlich auch auf die Theoretische Elektrotechnik übertragen – inhaltlich zu charakterisieren, ohne dasjenige detailliert zu schildern, was diejenigen wirklich tun, welche in der Disziplin arbeiten.

In der Physik gibt es zahlreiche Systeme, deren Verhalten im

Ortsraum

bzw.

Konfigurationsraum

als „lokalisiert“ angesehen werden kann, wobei sich der Ortsraum eines solchen Systems nur in einfachen Fällen durch einen dreidimensionalen Punktraum repräsentieren lässt; vgl. auch Anhang A.1. Das Verhalten solcher Systeme lässt sich dann für jeden Zeitpunkt in sehr guter Näherung durch einen Punkt im zugehörigen Orts- und Konfigurationsraum darstellen.

Elektrische und elektronische Schaltungen gehören zu den wichtigsten physikalischen Systemen, die auf elektromagnetischen Eigenschaften basieren und daher grundsätzlich mit der Theorie elektromagnetischer Felder behandelt werden müssten. Eine mathematische Modellierung und Beschreibung mit Hilfe elektromagnetischer Felder ist jedoch aufgrund der hohen Komplexität solcher Schaltungen – d. h. der großen Anzahl von Bauelementen – und der damit zusammenhängenden komplizierten geometrischen Struktur zumeist ausserordentlich schwierig, wenn nicht gar unmöglich.

Im Rahmen dieses Abschnittes soll auf einige grundlegende elektrische Schaltungen eingegangen werden. Zunächst behandeln wir Schaltungen aus Kondensatoren bzw. Spulen und Widerständen, wobei wir deren Verhalten nicht nur mit den Methoden der Theorie elektrischer Netzwerke aus dem letzten Abschnitt 4 analysieren wollen, sondern auch das zugrundeliegende physikalische Verhalten im Sinne der Theorie elektromagnetischer Felder betrachten. Man beachte, dass die im Rahmen der Netzwerktheorie verwendeten Begriffe Strom, Spannungen, elektrische Leistung, usw.

Elektrostatische Anziehungskräfte eines mit einem Wolltuch geriebenen Bernsteins (griech. electron) waren bereits den Griechen bekannt waren (Thales von Milet; 626 – 547 v. Chr.), aber erst Benjamin Franklin schlug die Bezeichnungen „negativ“ und „positiv“ für die beiden elektrischen „Fluida“ vor, mit denen Körper bestimmter Art – beispielsweise auch Metalle – beaufschlagt werden können.Man wusste auch, dass sich Körper mit unterschiedlichen elektrischen Fluida anziehen, während sie sich bei gleichartigen Fluida abstoßen.

Eine wesentliche Grundlage für den Aufbau einer Theorie des statischen elektrischen Feldes war die in Abschnitt 6 näher betrachtete elektrostatische Kraftwirkung, die man schon seit langer Zeit kannte. Wir sagen demnach, dass die Umgebung einer Ladung mit einem elektrischen Feld erfüllt ist. Die auf eine Punktladung im elektrischen Feld ausgeübte Kraft ist nach Gl.

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gesehen, dass der Fluss des D-Feldes gleich der Ladung der Elektroden ist. Somit kann das Verhältnis des D-Feldes zum E-Feld experimentell untersucht werden. Hierzu kann z.B. eine Anordnung nach Abb. 8.1 dienen. Zwei ebene parallele Metallplatten stehen sich mit der Fläche

A

in einem kleinen Abstand

d

gegenüber. Im Zwischenraum befindet sich der zu untersuchende Nichtleiter. An die beiden Elektroden kann mit Hilfe eines Schalters

S

eine Spannungsquelle gelegt werden; sie erzeugt an den Elektroden eine Potenzialdifferenz

U

, die durch das Voltmeter

V

angezeigt wird.

Bringt man in ein elektrisches Feld, z. B. das Feld zwischen den beiden Elektroden A und B, Abb. 9.1, einen isolierten Leiter C, so entsteht in diesem Leiter unter der Einwirkung der elektrischen Feldkräfte eine Wanderung der Elektronenwolke, bis im Inneren

(9.1)

$$ {\text {E}} = 0$$

ist. Als Resultat dieserWanderung von Elektronen befinden sich auf der Oberfläche des Leiters elektrische Ladungen.

Zur Bestimmung eines E-Feldes müssen die Grundgleichungen der Elektrostatik gelöst werden, die in Form von Algebro-Differentialgleichungen (6.7) formuliert werden können. Alternativ lassen sich die Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen (6.13), (6.14) angeben, so dass Algebro- Integralgleichungen zu lösen sind. Da sich diese Gleichungen nur selten direkt lösen lassen, wird zunächst die Differentialgleichung für das elektrische Potenzial φ abgeleitet und unter Hinzunahme von Randwerten eine entsprechende Lösung analytische oder numerisch ermittelt.

Die Feldberechnungsmethoden in Abschnitt 10 beruhten wesentlich auf der Anwendung der feldmäßigen Darstellung der elektrischen Ladungsdichte ϱ mit Hilfe des D-Feldes „Das Oberflächenintegral des D-Feldes über eine geschlossene Fläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung“, der

Wirbelfreiheit

des E-Feldes, was in differentieller Form durch die Einführung des elektrischen Potenzials berücksichtigt wird „Das E-Feld kann als negativer Gradient des elektrischen Potenzials notiert werden“ und dem linearen Materialgesetz „Das D-Feld ist proportional zum E-Feld“.

Im Abschnitt 11 haben wir uns mit der Berechnung des elektrischen Potenzials φ befasst, wobei neben der Poisson-PDgl. und der dazu notwendigen Vorgabe einer Ladungsverteilung – ggf. gleich Null – auch Randbedingungen in Form von Potenzialwerten oder Ableitungen des Potenzials, idealer Leiter oder sonstiger Grenzflächen vorzugeben sind. Wenn wir das Potenzial bestimmt haben, lassen sich alle anderen Feldgrößen, wie das E- oder D-Feld in einfacher Weise berechnen.

Bringt man einen kleinen geladenen Körper, z.B. eine kleine Metallkugel, die mit der Ladung

Q

versehen ist, in ein elektrostatisches Feld, so wird auf diesen geladenen Körper eine mechanische Kraft in der Richtung der E-Feldlinien ausgeübt. Die Kraft ist bestimmt durch das E-Feld, das

vor dem Einbringen

des geladenen Körpers in das elektrische Feld an der betreffenden Stelle vorhanden war; sie hat den durch Gl.(7.1) gegebenen Wert.

In Abschnitt 6 wurden die Coulombschen Kräfte als Ausgangspunkt für die Einführung des elektrischen Feldes gewählt.

In den Abschnitten über die statische Näherung des elektrischen Feldes wurde angenommen, dass sich die Ladungen und Ladungsdichten ortsfest im Raum befinden und somit keine zeitabhängige Verschiebung erfahren. Im Rahmen der Näherung des stationären elektrischen Strömungsfeldes werden solche zeitlichen Veränderungen der Ladungen und Ladungsdichten in die Betrachtungen einbezogen, die zu einer zeitlich konstanten „Strömung“ der elektrischen Ladungen führen.

Nach der allgemeinen Einführung der Grundgesetze des elektrischen Strömungsfeldes im letzten Abschnitt wollen wir noch einige elementare Überlegungen anfügen, die der besseren Veranschaulichung des stationären elektrischen Strömungsfeldes dienen sollen. Dazu gehen wir von einem langgestreckten zylindrischen Leiter aus gleichförmigem Material aus.

Wir haben bereits im Abschnitt 11 darauf hingewiesen, dass man zur analytischen und numerischen Lösung der Potenzialgleichung des stationären Strömungsfeldes grundsätzlich alle Methoden verwenden kann, die wir im Fall des ladungsfreien elektrostatischen Feld kennengelernt haben. Im Unterschied zur Elektrostatik wird die Laplacesche Differentialgleichung ”natürlicherweise“ als Neumannsches Randwertproblem gestellt, da man die Stromdichte

J

(bzw. den Strom

I

) vorgibt.

Es ist bereits von griechischen Naturgelehrten berichtet worden, dass es Anziehungs- und Abstoßungskräfte zwischen bestimmten Materialien gibt. Man fand diese ”Steine“ in der Nähe der griechischen Stadt Magnesia und daher wurden sie als ”Magneteisensteine“ bezeichnet; wir nennen sie im folgenden kurz

Magnete.

Wie mit dem Vorhandensein elektrischer Ladungen immer ein elektrisches Feld verbunden ist, so tritt immer ein magnetisches Feld auf, wenn elektrische Ströme fließen, wenn sich also elektrische Ladungen bewegen. Ein

stationäres

magnetisches Feld entsteht, wenn es sich um Gleichstrom handelt, der also hinsichtlich der Stromdichte

J

bzw.

Alle Stoffe haben Einfluss auf das magnetische Feld. Das lässt sich mit Hilfe eines Zusammenhanges der krafterzeugenden Größe

B

des magnetischen Feldes und der magnetischen ”Erregungsgröße“

H

ausdrücken. Wir haben bereits erwähnt, dass das B- und das H-Feld unter bestimmten Umständen proportional sein können.

Wir wissen aus Abschnitt 18, dass sich das H-Feld unter Berücksichtigung des Nahwirkungsprinzips und des Helmholtzschen Satzes hinsichtlich seines divergenzfreien Anteils in folgender Weise ergibt

(21.1)

$${\rm{rot}}\,{\rm{H}} = {\rm{J}}{\rm{.}}$$

Es soll das B-Feld auf der im Mittelpunkt eines stromführenden Drahtringes, Abb. 22.1, senkrecht zur Ringebene stehenden Achse berechnet werden. Dazu könnte man vom Vektorpotenzial

A

(

r

) nach Gl. (21.46) ausgehen und dessen Rotation bilden. Auf der Symmetrieachse des Drahtringes kann man jedoch direkt von der Laplaceschen Formel ausgehen.

In den letzten Abschnitten haben wir uns mit der Berechnung der Feldgrößen im stationären Magnetfeldes beschäftigt, wobei i. a. eine Stromdichteverteilung sowie bestimmte Randbedingungen vorgegeben sind. Dabei ist es in vielen Fällen zweckmäßig, wenn man dazu – zumindest im Prinzip – das Vektorpotenzial

A

(

r

) mit Hilfe der zugehörigen Vektor-Poissongleichung bestimmt und daraus sämtliche Felder des stationären Magnetfeldes bestimmt.

Die im magnetischen Feld aufgespeicherte Energie lässt sich wie die elektrische Energie durch die Feldgrößen ausdrücken. Allerdings stößt man bei der Ableitung des Ausdrucks für die magnetische Energie auf einen wichtigen Unterschied. Im elektrischen Feld konnte der Ausdruck für die elektrische Energie auf der Grundlage eines Gedankenexperimentes hergeleitet werden: Transport von Ladungen aus dem Unendlichen.

Analog zu den Verhältnissen im elektrostatischen Feld sind mit der Speicherung von Energie im stationären Magnetfeld mechanische Kraftwirkungen verknüpft, und zwar finden wir hier dreierlei mechanische Kräfte, nämlich solche zwischen den Stromleitern, Kräfte an den Grenzflächen von Stoffen verschiedener Permeabilität und Kräfte zwischen Stromleitern und magnetischen Stoffen; sie können physikalisch sämtlich auf Kräfte zwischen bewegten Ladungen zurückgeführt werden.

Bei den bisherigen Überlegungen wurden auf der Basis der Experimente von Coulomb sowie von Ørsted, Biot, Savart, Ampere und Laplace das elektrische und magnetische Feld als separate physikalische Systeme eingeführt. Lediglich die Tatsache, dass bewegte elektrische Ladungen – elektrische Ströme – in ihrer Umgebung eine magnetische Erregung erzeugen, die durch das H-Feld charakterisiert wird, gab Hinweise auf einen Zusammenhang des elektrischen und magnetischen Feldes.

Bewegt man einen Leiter durch ein magnetisches Feld, so werden auch die Leitungselektronen im Inneren des Leiters mitgeführt. Die Elektronen erfahren daher Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung des Leiters und zur Feldlinienrichtung des Magnetfeldes. Wird z.B.

Um Probleme der quasistationären elektromagnetischen Felder lösen zu können, werdenMethoden zur Lösung von partiellen Vektor-Differentialgleichungen vom Diffusionstyp (vgl. Gl. (26.51))

(28.1)

$$\frac{{\partial}{\bold{u}}}{{\partial t}} = D\Delta {\bold{u}}.$$

Befinden sich in einem magnetischen Wechselfeld elektrisch leitende Stoffe, so entstehen in diesen Stoffen nach dem Induktionsgesetz Wechselströme auf Bahnen, die mit den magnetischen Induktionslinien verkettet sind; man bezeichnet diese Ströme als

Wirbelströme

. In stromführenden Leitern überlagern sich die Wirbelströme dem Leiterstrom.

Elektrostatische Felder mit den im Abschnitt 6 besprochenen Eigenschaften setzen eine verschwindende Leitfähigkeit voraus. Wegen der endlichen Leitfähigkeit der Isolierstoffe stellt sich bei zeitlich konstanten Potenzialen in Wirklichkeit eine elektrische Strömung ein.

Die Potenzialverteilungen gehorchen bei konstanten Spannungen immer den Gesetzen des Strömungsfeldes

.

Bei der technischen Anwendung der Induktionswirkung kommen oft Anordnungen vor, deren Teile sich gegeneinander bewegen, z. B. in elektrischen Maschinen.

In Abschnitt 26.4 wurde den Gleichungen des elektromagnetischen Feldes, die nur das Induktionsgesetz berücksichtigen, noch der Term

$$\partial {D_{rot\,f}}/\partial t$$

hinzugefügt, um die Konsistenz mit der Kontinuitätsgleichung der Ladungen herzustellen. Es konnte gezeigt werden, dass die Zustandsgleichungen des elektromagnetischen Feldes trotzdem vom Typ einer Diffusionsgleichung sind, d.h.

In einem veränderlichen elektromagnetischen Feld in quasistationärer Näherung ist der (quasistationäre) Verschiebungsstrom nach Abschnitt 30 definiert als die Zunahme des Flusses des D-Feldes geteilt durch die Zeit.

Nach den vorherigen Abschnitten entsteht eine elektromagnetische Welle, sobald sich die Ströme oder Spannungen zeitlich ändern. Zeitlich

konstante

Spannungen und Ströme liegen vor, wenn sich Elektrizitätsmengen in Ruhe oder in

gleichförmiger

Bewegung befinden; Strom- und Spannungs

änderungen

werden durch ungleichmäßig bewegte Elektrizitätsmengen verursacht.

Von fundamentaler Bedeutung für die Elektrotechnik ist die Tatsache, dass elektromagnetische Felder entlang metallischer Leiter geführt werden können. Beginnend mit der Frequenz null bis zu Frequenzen in den GHz-Bereich sind dafür Zwei- und Mehrdrahtleitungen geeignet. Hohlleiter können bis zu Frequenzen im Bereich mehrerer hundert GHz eingesetzt werden.

Bei hohen Frequenzen kann elektromagnetische Energie im

Innenraum

von hohlzylindrischen Leitern übertragen werden. Die Leitungsverluste durch Stromwärme im Leitungsmaterial können dann sogar geringer sein als bei Drahtleitungen, wo die hohe Feldkonzentration an den Leitungsdrähten nach Gl.(29.117) hohe Verluste bedingt.

Den bisherigen Betrachtungen liegt die Vorstellung zugrunde, dass der konstante elektrische Strom durch ein gleichmäßiges Fließen von Elektrizitätsmengen in den elektrischen Leitern dargestellt wird. In dieser Vorstellung wird die Elektrizität als eine fein verteilte nicht zusammendrückbare Flüssigkeit aufgefasst, die die elektrischen Leiter ausfüllt wie Wasser den Hohlraum eines Leitungsrohres.

Die Funktionsweise des

pn

-Übergangs ist fundamental für das Verständnis aller Halbleiterbauelemente. Man betrachtet ihn zunächst im stromlosen Zustand (Abb. 39.1). Der Kristall sei an seinen Enden nicht angeschlossen, der Gesamtstrom ist gleich Null.

Eine detaillierte Kenntnis der inneren Vorgänge in Halbleiterbauelementen wie dem Bipolartransistor oder dem Feldeffekttransistor, wie wir sie in Abschnitt 39 behandelt haben, ist für seinen Einsatz in Schaltungen oft ebenso wenig notwendig wie die detaillierte Kenntnis der Stromtransportvorgänge im Ohmschen Widerstand.