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2018 | Buch

Theoretische Physik 1 | Mechanik

verfasst von: Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das beliebte Buch Theoretische Physik wird jetzt erstmalig in korrigierter und ergänzter Form in Einzelbänden angeboten. Das ermöglicht den Studierenden, die handlichen Bände zum Lernen, Aufgabenlösen und zum schnellen Nachschlagen leichter mitnehmen und nutzen zu können. Gleichzeitig wird die gesamte theoretische Physik des Bachelorstudiums (und darüber hinaus) in den vier Bänden aufeinander abgestimmt präsentiert. Das vorliegende Buch ist der erste Teil der vierbändigen Reihe und deckt den Lehrstoff der Bachelorvorlesung zur Theoretischen Mechanik großer Universitäten in Deutschland, Österreich und der Schweiz möglichst umfassend ab.

Die besondere Stärke dieser Reihe liegt darin, den Leser mit einer Vielzahl von didaktischen Elementen beim Lernen zu unterstützen:

-Alle Kapitel werden mit grundsätzlichen Fragen eingeleitet

-Wichtige Aussagen, Formeln und Definitionen sind übersichtlich hervorgehoben

-Beispiele regen zum Aktivwerden an

-Selbstfragen helfen dem Leser, den behandelten Stoff zu reflektieren

-„So geht’s weiter“-Abschnitte, beispielsweise über den Lense-Thirring-Effekt oder Determinismus und Chaos ermöglichen einen Blick über den Tellerrand und geben Einblicke in aktuelle Forschung

-Anhand ausführlich gelöster Aufgaben kann das Gelernte überprüft und gefestigt werden

-Mathematische Boxen sind zum schnellen Nachschlagen herausgehoben

-Alle Bände sind durchgehend vierfarbig und mit übersichtlichen Grafiken gestaltet.

Die Autoren haben ihre langjährige und vielfach hervorragend bewertete Lehrerfahrung in das Werk einfließen lassen. Darüber hinaus gelingt es ihnen, die Zusammenhänge in der Theoretischen Physik auch bandübergreifend klar werden zu lassen.

Der Inhalt

Die Newton’schen Axiome – Koordinationstransformationen und beschleunigte Bezugssysteme – Systeme von Punktmassen – Starre Körper – Lagrange-Formalismus und Variationsrechnung – Schwingungen – Hamilton-Formalismus – Kontinuumsmechanik – Spezielle Relativitätstheorie – Relativistische Mechanik

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Die Newton’schen Axiome

Zusammenfassung

Das vorliegende Kapitel liefert eine Einführung in die grundlegenden Konzepte der klassischen, nichtrelativistischen Mechanik. Ein wichtiges Fundament dieser Theorie ist das physikalische Verständnis der Begriffe „Raum“ und „Zeit“, „Körper“ und „Masse“, „Kraft“ und „Inertialsystem“. Auf der Basis dieser Größen werden wir die Newton’schen Axiome kennenlernen und erarbeiten. Sie bestimmen, auf welchen Bahnkurven sich Punktmassen bewegen. Zusätzlich werden wir zahlreiche mathematische Begriffe definieren und Techniken kennenlernen, die ein tieferes Verständnis der Mechanik überhaupt erst ermöglichen.

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

2. Koordinatentransformationen und beschleunigte Bezugssysteme

Zusammenfassung

Die Untersuchung des Verhaltens eines physikalischen Systems unter einer Koordinatentransformation ist ein zentraler Punkt in der gesamten theoretischen Physik. Wird ein physikalisches System nach einer Koordinatentransformation durch dieselben Gleichungen beschrieben wie vorher, so heißt es symmetrisch unter dieser Transformation.

Symmetrien spielen in der Physik eine herausragende Rolle, was in Kap. 5 herausgearbeitet wird. Das Interesse an den Symmetrieeigenschaften physikalischer Systeme ist deswegen so wichtig, da Symmetrien in der Regel auf Erhaltungsgrößen führen. Beispiele hierfür sind die Energieerhaltung aufgrund der Zeittranslationsinvarianz (Symmetrie unter Verschiebung des Zeitnullpunktes) oder die Impulserhaltung aufgrund der Homogenität des Raumes (Symmetrie unter räumlichen Translationen). Wir werden darauf in Kap. 5 genauer eingehen.

In diesem Kapitel werden zahlreiche mathematische Werkzeuge eingeführt, um Koordinatentransformationen und beschleunigte Bezugssysteme beschreiben zu können. Dazu gehören z. B. die Drehmatrizen (Abschn. 2.1) sowie Zylinder- und Kugelkoordinaten (Abschn. 2.5). Des Weiteren wird ein Schwerpunkt auf die mit Koordinatentransformationen verbundene Physik gelegt. Beispielsweise lässt eine bestimmte Klasse von Koordinatentransformationen, den Galilei-Transformationen (Abschn. 2.2), die Newton’schen Bewegungsgleichungen invariant. Beschleunigte Bezugssysteme andererseits erfordern Erweiterungen der Bewegungsgleichungen, was letztlich auf die Zentrifugal- und Coriolis-Kräfte führt (Abschn. 2.3 und 2.4).

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

3. Systeme von Punktmassen

Zusammenfassung

Die beiden vorherigen Kapitel waren hauptsächlich der Ausarbeitung der physikalischen Grundlagen und der fundamentalen mathematischen Hilfsmittel gewidmet. In diesem Kapitel werden diese Methoden angewandt, um einige wichtige mechanische Systeme zu beschreiben und zu verstehen.

Abschn. 3.1 beschäftigt sich mit der Erweiterung der Erhaltungssätze auf Systeme von Punktmassen. Der extrem wichtige Spezialfall zweier Punktmassen unter dem Einfluss einer radialsymmetrischen Zentralkraft wird in Abschn. 3.2 diskutiert. Aufbauend darauf folgt die Lösung der Bewegungsgleichungen des Kepler-Problems in Abschn. 3.3. Damit ist es möglich, die Planetenbahnen zu charakterisieren.

Eine weitere Anwendung von großer Bedeutung sind Stöße zweier Punktmassen und die Streuung von Teilchen. Diese Themen werden in Abschn. 3.4 untersucht.

Es folgen zwei Abschnitte, die häufig nicht in Mechaniklehrbüchern zu finden sind: das reduzierte Dreikörperproblem und die Gezeitenkräfte in Abschn. 3.5 und 3.6. Das Kapitel wird in Abschn. 3.7 mit dem Virialsatz abgeschlossen, der vor allem für die statistische Physik von zentraler Bedeutung ist.

Dieses Kapitel bildet eine wichtige Grundlage für die Quantenmechanik in Bd. 3, wie dort bei der Diskussion des Wasserstoffatoms und der quantenmechanischen Streuung noch deutlich werden wird.

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

4. Starre Körper

Zusammenfassung

Starre Körper sind ausgedehnte Objekte ohne innere Freiheitsgrade, die für viele Bereiche der Physik ein wichtiges Modell darstellen. Die in Kap. 2 diskutierten orthogonalen Transformationen führten auf mathematische Gleichungen für die Änderungsgeschwindigkeit eines Vektors in rotierenden Bezugssystemen. Die dort erlernten Methoden werden hier verwendet, um die Dynamik starrer Körper zu beschreiben.

Wir werden sehen, dass die Bewegungsgleichungen starrer Körper zwar eine formale Ähnlichkeit mit dem zweiten Newton’schen Gesetz für Punktmassen aufweisen. Doch sind diese sogenannten Euler-Gleichungen aufgrund des darin auftauchenden Trägheitstensors anspruchsvoller und erlauben eine Vielzahl von Lösungen (z. B. für den symmetrischen oder schweren Kreisel), die teilweise der Intuition zu widersprechen scheinen.

Im Laufe des Kapitels werden Volumenintegrale, Tensoren und die Diagonalisierung von Matrizen diskutiert, die allesamt extrem hilfreiche mathematische Werkzeuge für die gesamte Physik darstellen. Das Gebiet der Kreisel ist sehr weitläufig und kann im Rahmen dieses Lehrbuches nur einführend besprochen werden. So verzichten wir beispielsweise auf eine Diskussion der Dynamik nichtsymmetrischer Kreisel.

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

5. Lagrange-Formalismus und Variationsrechnung

Zusammenfassung

In alltäglichen Situationen sind die Newton’schen Bewegungsgleichungen in ihrer bisherigen Form praktisch unbrauchbar, denn sogenannte Zwangsbedingungen (z. B. Bewegung auf einer schiefen Ebene) führen auf zunächst unbekannte Zwangskräfte, die nicht ohne Weiteres in den Bewegungsgleichungen berücksichtigt werden können (Abschn. 5.1). In diesem Kapitel werden Methoden entwickelt, diese Zwangsbedingungen mathematisch zu behandeln. Dies führt zunächst auf Erweiterungen der Newton’schen Gleichungen (Abschn. 5.2). Im Anschluss wird mit den Lagrange-Gleichungen eine koordinatenunabhängige Formulierung der Bewegungsgleichungen hergeleitet (Abschn. 5.3). Sie sind von entscheidender Wichtigkeit für die gesamte theoretische Physik und bilden die Grundlage für die modernen Feldtheorien wie Elektrodynamik oder Quantenfeldtheorie. In Abschn. 5.4 werden konkrete Beispiele zum Lagrange-Formalismus diskutiert.

Weiterhin werden Variationsprinzipien besprochen, mit denen eine äußerst kompakte und elegante Formulierung vieler physikalischer Gesetze erreicht werden kann (Abschn. 5.5). Symmetrien und Erhaltungssätze spielen eine zentrale Rolle in der Physik. Ihre systematische Untersuchung bildet den Abschluss dieses Kapitels (Abschn. 5.6).

Das vorliegende Kapitel ist wohl das wichtigste im Mechanik-Teil. Es ist auch das anspruchsvollste und erfordert vom Leser eine konzentrierte Mitarbeit und viel Übung.

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

6. Schwingungen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel beschäftigt sich genauer mit den für die Physik extrem wichtigen harmonischen Schwingungen. Sie sind deshalb von so grundlegender Bedeutung, da sich fast alle Kräfte lokal linearisieren lassen. Harmonische Schwingungen spielen beispielsweise auch in der Akustik und der Spektroskopie eine große Rolle.

In Abschn. 6.1 werden freie Schwingungen eines Systems mit nur einem einzigen Freiheitsgrad gründlicher untersucht. Die Erweiterung auf ein System mit Dissipation wird in Abschn. 6.2 besprochen. Von außen erzwungene Schwingungen werden anschließend in Abschn. 6.3 diskutiert. Dabei ist die sogenannte Resonanz ein wichtiger Effekt. In Abschn. 6.4 kommen wir auf Systeme zu sprechen, bei denen mehrere gekoppelte Freiheitsgrade gleichzeitig schwingen können. Dies erlaubt die Berechnung einiger realistischer Systeme mit vielen Freiheitsgraden (Abschn. 6.5).

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

7. Hamilton-Formalismus

Zusammenfassung

Bereits in Abschn. 5.3 wurde die Hamilton-Funktion eingeführt; sie spielte bisher aber keine zentrale Rolle in der Mechanik. Dies ändert sich hier nun grundlegend. Es wird in Abschn. 7.1 gezeigt, dass man – auf der Hamilton-Funktion aufbauend – einen weiteren Zugang zu mechanischen Problemen einschlagen kann, der sich vom Aufstellen der Newton’schen Bewegungsgleichungen und auch vom Lagrange-Formalismus unterscheidet. Als Ergebnis finden wir die kanonischen Bewegungsgleichungen.

Wir werden in Abschn. 7.2 sehen, dass Koordinaten und Impulse in der Hamilton’schen Mechanik gleichberechtigt sind und sogar ineinander transformiert werden können. Die sogenannten kanonischen Transformationen erlauben eine Vereinfachung der Bewegungsgleichungen.

Obwohl die hier vorgeführten Methoden keine wesentlichen rechnerischen Vereinfachungen für das Lösen mechanischer Probleme mit sich bringen, so ist dieses Kapitel doch von entscheidender Bedeutung für die weiteren Teile dieses Buches. Insbesondere die Quantenmechanik baut auf der Hamilton-Jacobi-Theorie auf, die in Abschn. 7.3 angesprochen wird. Auch die statistische Physik und die Theorie chaotischer Systeme profitieren von einer Formulierung ausgehend vom Hamilton-Formalismus.

Wie die Hamilton-Funktion die Entwicklung physikalischer Systeme im sogenannten Phasenraum bestimmt, wird im Kasten „Vertiefung: Phasenfluss und Liouville’scher Satz“ in Bd. 4, Abschn. 2.1 wieder aufgegriffen.

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

8. Kontinuumsmechanik

Zusammenfassung

Bisher haben wir uns entweder mit der Dynamik von Punktmassen oder von starren Körpern beschäftigt. Die dabei gelernten Methoden und Verfahren reichen für viele physikalische Anwendungen aus. In sehr vielen Problemen hat man es allerdings mit Systemen zu tun, die sich am zweckmäßigsten durch ein nichtstarres Kontinuum beschreiben lassen. Beispiele sind Flüssigkeiten und Gase (zusammengefasst auch als Fluide bezeichnet) oder elastische Festkörper wie Gummibänder oder Gitarrensaiten.

Wir werden hier untersuchen, wie sich verformbare Kontinua mathematisch beschreiben lassen und welche physikalischen Konsequenzen sich daraus ergeben. Zunächst wird der Kontinuumslimes durchgeführt. Dies erfordert die Einführung von sogenannten Feldern, die in der Elektrodynamik (Bd. 2) eine fundamentale Rolle spielen werden. Die einfachsten Beispiele sind die lineare Kette und die schwingende Saite in Abschn. 8.1 und 8.2.

Als mathematischer Exkurs werden die sogenannten Fourier-Reihen in Abschn. 8.3 diskutiert. Sie stellen ein wichtiges Hilfsmittel für viele Probleme in der Physik dar, z. B. für schwingende Kontinua.

Nach einer kurzer Einführung in den Lagrange-Formalismus für Felder in Abschn. 8.4 beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Elastizitätstheorie (Abschn. 8.5). Dabei taucht auch der sogenannte Spannungstensor auf, der in Feldtheorien eine bedeutende Rolle spielt.

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

9. Spezielle Relativitätstheorie

Zusammenfassung

Dass sich physikalische Wirkungen nie schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, ist heutzutage allgemein bekannt, obwohl es im Alltagsleben und auch für einen Großteil der Experimentalphysik keine bedeutende Rolle spielt. Aber allein die Tatsache der Existenz einer absoluten Grenzgeschwindigkeit unterminiert die Grundlage, auf der die Newton’sche Mechanik aufgebaut wurde, denn in dieser haben nur Beschleunigungen eine absolute Bedeutung, während Geschwindigkeiten relativ und damit beliebig sind.

Da das Licht selbst ein elektrodynamisches Phänomen ist, wird die spezielle Relativitätstheorie, in der die Lichtgeschwindigkeit paradoxerweise eine absolute Bedeutung bekommt, üblicherweise erst in einem fortgeschrittenen Stadium von Elektrodynamik-Vorlesungen behandelt. In diesem Buch wird die Relativitätstheorie dementsprechend auch erst in Bd. 2, Kap. 8 dazu herangezogen, die Elektrodynamik von einer höheren Warte aus zu betrachten. Das Studium des vorliegenden und des nächsten Kapitels kann daher auch auf diesen Zeitpunkt verschoben werden. Alternativ kann aber auch ganz ohne die Elektrodynamik bereits jetzt die relativistische Kinematik und (im folgenden Kapitel) die relativistische Mechanik studiert werden.

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

10. Relativistische Mechanik

Zusammenfassung

Wie wir in Kap. 9 gesehen haben, wird in der speziellen Relativitätstheorie der dreidimensionale euklidische Raum der Newton’schen Mechanik mit einer unabhängig definierten absoluten Zeit durch den vierdimensionalen Minkowski-Raum ersetzt. Die Zeit spielt zwar weiterhin eine besondere Rolle, aber Gleichzeitigkeit ist nun ähnlich relativ wie schon vor der Relativitätstheorie die Aussage, zwei separate Ereignisse fänden am selben Ort statt. Dem Einstein’schen Relativitätsprinzip und der Geometrie des Minkowski-Raumes wird man am besten durch die Verwendung von Vierergrößen anstelle der gewohnten dreidimensionalen Vektoren gerecht.

In diesem Kapitel, in dem die relativistische Mechanik begründet werden soll, werden wir daher in Abschn. 10.1 zuerst den Impuls eines Punktteilchens zu einer Vierergröße machen und damit in Abschn. 10.2 das zweite Newton’sche Axiom (Kraft als zeitliche Änderung des Impulses) neu formulieren. Dabei wird sich herausstellen, dass Energie und Impuls ähnlich zu kombinieren sind wie Zeit- und Raumkoordinaten. Als besonders folgenreicher neuer Aspekt stellt sich dabei heraus, dass die Masse nicht länger eine erhaltene Größe ist, sondern Energie in Masse und umgekehrt umgewandelt werden kann. Ohne auf die dafür notwendigen Wechselwirkungen eingehen zu müssen, werden in Abschn. 10.3 zunächst relativistische Streuprozesse diskutiert, bei denen Massen erhalten bleiben, und danach solche, bei denen Materie erzeugt oder vernichtet wird.

Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf

Backmatter

Titel: Theoretische Physik 1 | Mechanik
verfasst von: Matthias Bartelmann
Björn Feuerbacher
Timm Krüger
Dieter Lüst
Anton Rebhan
Andreas Wipf
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-56115-7
Print ISBN: 978-3-662-56114-0
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-56115-7