Theoretische Physik: Relativitätstheorie und Kosmologie

Die Gesetze der klassischen Mechanik sind invariant gegenüber Galilei-Transformationen, die der Elektrodynamik sind es nicht. Umgekehrt sind die letzteren invariant gegenüber Lorentz-Transformationen, nicht jedoch die Gesetze der klassischen Mechanik. Diese Diskrepanz mußte zwangsläufig zu Widersprüchen führen, zumal sich jedes irdische Labor wegen der Eigenrotation und Rotation der Erde um die Sonne nacheinander in Bezugssystemen befindet, die gegeneinander zum Teil nicht unerhebliche Relativgeschwindigkeiten aufweisen. DieseWidersprüche werden durch die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) aufgelöst. Dabei korrigiert diese die in der Newtonschen Mechanik benutzten „klassischen“ Begriffe von Raum und Zeit, hält aber an der Euklidizität des Raumes fest. Die Korrektur des Raum-Zeit-Begriffs ist von der Art, daß die Elektrodynamik ihre von Maxwell gefundene Form beibehält, während die Newtonsche Mechanik abgeändert werden muß

J.C. Maxwell hat mit den Maxwell-Gleichungen nicht nur der Theorie des Elektromagnetismus ihre heutige Gestalt gegeben (1861), sondern aus diesen auch selbst schon eine elektromagnetische Theorie des Lichts abgeleitet. 1888 gelang H. Hertz deren experimentelle Bestätigung, indem er mit Hilfe eines elektrischen Stromkreises elektromagnetische Wellen erzeugte und zeigte, daß diese die Eigenschaften von Licht aufweisen.

Die Newtonsche Mechanik ist galilei-invariant, d. h. es gilt (3.27) mit V=∞; sie kann daher nicht lorentz-invariant sein, weil dazu (3.27) mit V=c gelten müßte. Wir haben uns Einsteins Überlegungen folgend auf den Standpunkt gestellt, daß die Maxwell-Theorie des Elektromagnetismus genauer auf ihre Richtigkeit überprüft ist als die Mechanik, und werden später sehen, daß sie lorentz-invariant ist. Um das alle Naturgesetze umfassende Relativitätspostulat erfüllen zu können, fordern wir daher im Rahmen der SRT, daß alle Naturgesetze lorentz-invariant sein müssen. Dies bedeutet, daß die Mechanik abgeändert werden muß.

Eine der wesentlichen Grundlagen der SRT ist das Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Die Ausbreitung von Licht im Vakuum ist eine spezielle Anwendung der Maxwell-Theorie, und wir können daher zu Recht erwarten, daß die diesen Vorgang beschreibende Wellengleichung lorentz-invariant ist. Daraus folgt aber nicht zwangsläufig die Kovarianz der ganzen Maxwell-Theorie. Wir werden im folgenden sehen, daß diese tatsächlich besteht. Nach dem ersten der in Abschn. 3.6.3 bewiesenen Sätze wäre dafür ausreichend, daß die Maxwell-Gleichungen als Beziehungen zwischen Vierervektoren oder Tensoren formuliert werden können. Davon, daß das möglich ist, überzeugen wir uns zunächst anhand des Falles reiner Vakuumfelder (Abschn. 5.1 und 5.2); anschließend befassen wir uns mit der relativistischen Formulierung der Maxwell-Gleichungen in homogener und isotroper Materie (Abschn. 5.3). Desweiteren untersuchen wir in diesem Kapitel die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen durch geladene Punktteilchen und die relativistische Bewegung geladener Teilchen in elektromagnetischen Feldern. Das wird uns auf das Problem der Strahlungsdämpfung der Bewegung beschleunigter Ladungen führen, mit dem sich Abschn. 5.10 und Abschn. 5.11 (Lorentz-Dirac-Gleichung) befassen.

Man liest manchmal die Behauptung, das Zwillingsparadoxon könne nicht im Rahmen der SRT behandelt werden, da deren Gültigkeit auf Inertialsysteme eingeschränkt sei und der langsamer alternde Zwilling sich vorübergehend in beschleunigten Bezugssytemen aufhalte. Dieser Ansicht liegt ein doppelter Irrtum zu Grunde. Einmal kann das Zwillingsparadoxon vollständig im Inertialsystem des zurückbleibenden Zwillings diskutiert werden. Außerdem gibt es keinen Grund dafür, warum man die SRT nicht auch auf beliebige und insbesondere beschleunigte Koordinaten umschreiben können sollte. Man kann die Newtonsche Mechanik z. B. in einem rotierenden Bezugssystem, aber auch in jedem beliebigen anderen Koordinatensystem formulieren, und dabei ändert sich nichts an deren physikalischem Inhalt. Dasselbe gilt natürlich auch für die SRT. Dabei muß man allerdings darauf achten, daß sich die gewählten Koordinaten möglicherweise nicht als Längen und Zeiten deuten oder mit Markierungen auf bewegten Körpern identifizieren lassen.¹

In diesem Kapitel verschaffen wir uns einen Überblick über die Grundideen, die der ART zugrunde liegen, teilweise mit einem kurzen Blick auf die historische Entwicklung dieser Ideen.Diese erfolgte zumTeil schon lange, bevor Einstein seine ART formulierte. Es war das Verdienst Einsteins, den Zusammenhang der verschiedenen Entwicklungslinien erkannt und sie in einer einheitlichen Theorie zusammengefaßt zu haben. Schon in diesem Kapitel werden wir aus diesen Ideen qualitativ eine Reihe physikalischer Konsequenzen ableiten können. Im nächsten Kapitel werden wir dann die mathematischen Grundlagen für die ART bereitstellen.

Viele Gesetze der Physik lassen sich als Beziehungen zwischen Skalaren, Vektoren oder Tensoren formulieren.¹ In diesem Kapitel werden die aus der SRT geläufigen Definitionen dieser Größen so verallgemeinert, daß mit ihnen in riemannschen Räumen unter Benutzung beliebiger Koordinaten gerechnet werden kann. Neben der Tensoralgebra wird uns dabei vor allem auch die Tensoranalysis interessieren. Ausdrücklich sei darauf hingewiesen, daß in diesem Kapitel nur das mathematische Werkzeug der ART bereitgestellt wird; an keiner Stelle werden neue physikalische Konzepte eingeführt.

Nach unserem Ausflug in die Mathematik mit seinem ausgiebigen Training im Heben und Senken von Indizes sowie dem Verjüngen von Tensoren kehren wir nun zur Physik zurück. In diesem Kapitel wollen wir herausfinden, wie die Grundgesetze der Physik in der ART lauten. Dabei ergibt sich eine deutliche Zweiteilung. In den meisten Naturgesetzen — denen der Mechanik, Elektrodynamik usw. — taucht die Raum-Zeit-Metrik nur quasi als Begleiterscheinung auf, d. h. sie wird durch jene nicht festgelegt. Wir können uns bei der Formulierung dieser Gesetze in den Abschnitten 10.2–10.5 daher auf den Standpunkt stellen, daß die metrischen Koeffizienten g _μυ vorgegebene Funktionen der Koordinaten x ^μ sind. Andererseits muß es aber ein Naturgesetz geben, das die g _μυ (x) und damit das Schwerefeld festlegt. Zu diesem Zweck formulierte Einstein die heute nach ihm benannten Feldgleichungen. In diesen muß natürlich eine entscheidende Rolle spielen, wie die Materie bzw. die dieser äquivalente Energie im Raum verteilt ist. Da sich diese Verteilung aber aufgrund der übrigen Naturgesetze zeitlich verändert, muß zwischen den letzteren und den Feldgleichungen eine Kopplung bestehen. Es ist eine Überraschung besonderer Art, wie diese Kopplung in den Feldgleichungen realisiert wird.

Wegen der Nichtlinearität der Einsteinschen Feldgleichungen ist es im allgemeinen sehr schwierig, für diese Lösungen zu finden. Für hinreichend schwache Felder kann man durch Linearisieren Näherungslösungen erhalten. Exakte Lösungen der vollen Gleichungen kann man finden, wenn diese aufgrund von Symmetrien besonders einfach werden. Das wichtigste Beispiel hierfür bildet räumliche Kugelsymmetrie, also die Symmetrie, die man für das Gravitationsfeld in der Umgebung eines kugelförmigen Himmelskörpers erwartet. Dies ist auch der erste Fall, der exakt gelöst wurde (Schwarzschild 1916), und er bildet den hauptsächlichen Gegenstand dieses Kapitels (Abschn. 11.1).

Wir betrachten in diesem Kapitel schwache Gravitationsfelder, die wir durch definieren. Es erscheint sinnvoll, die Einsteinschen Feldgleichungen in diesem Fall in den kleinen Größen h _μυ = g _μυ −η _μυ = g _μυ − η _μυ = h _μυ zu linearisieren und die dabei erhaltenen linearen Gleichungen als Näherung zu benutzen.

Nachdem wir uns bisher nur mit Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen im Vakuum befaßt haben, suchen wir in diesem Kapitel nach kugelsymmetrischen Lösungen in Anwesenheit von Materie. Solche Lösungen existieren auf jeden Fall, wenn die Materie kugelsymmetrisch verteilt ist. Da Sterne durch ihre eigene Schwerkraft zusammengehalten werden und mit guter Näherung kugelsymmetrisch sind, bilden sie ein gutes Anwendungsbeispiel. Ein weiteres interessantes Beispiel würde das Gravitationsfeld einer extrem konzentrierten kugelsymmetrischen Ladungsverteilung darstellen. Wir werden uns hier jedoch auf neutrale Materie und ausgedehnte makroskopische Objekte wie Sterne beschränken.

Kosmologie, die Lehre vom Kosmos, ist Physik unseres Universums als Ganzen. Sie unterscheidet sich in zwei wichtigen Aspekten von der üblichen Physik:

Bei der theoretischen Beschreibung des Universums wenden wir uns als erstes einer auf den Newtonschen Bewegungsgleichungen und dem Newtonschen Gravitationsgesetz basierenden Theorie zu, die 1934 von E.A.Milne undW.H. McCrea in Anlehnung an die ART-Kosmologie entwickelt und später von O. Heckmann und E. Schücking verfeinert wurde. Wir wählen diesen Einstieg, weil er zum einen auf sehr einfache Weise schon zu der von Friedmann aus der ART abgeleiteten Friedmann-Gleichung führt. Zum anderen erlaubt er auch eine sehr anschauliche Deutung von deren Lösungen, die allerdings bei der relativistischen Behandlung modifiziert werden muß.

In diesem Kapitel beginnen wir mit der ART-Kosmologie. Dieser liegen das kosmologische Prinzip und die Einsteinschen Feldgleichungen zugrunde. Die letzteren werden durch das kosmologische Prinzip stark vereinfacht, denn dieses hat sehr hohe Symmetrien zur Folge, welche die Zahl der zu bestimmenden metrischen Koeffizienten erheblich reduzieren. Eine derartige Reduktion ist auf heuristische Weise schon Friedmann gelungen, der die Metrik aus den Einsteinschen Feldgleichungen ableitete. Erst viele Jahre später, nach einer strengen Formulierung des kosmologischen Prinzips durch A.G. Walker, haben dieser und H. P. Robertson unabhängig voneinander fast gleichzeitig die Auswirkungen der im kosmologischen Prinzip enthaltenen Symmetrieforderungen an die Metrik systematisch untersucht, ohne die Feldgleichungen zu benutzen. Dabei konnten sie zeigen, daß die Geometrie des Universums schon weitgehend durch Symmetrien festgelegt wird. In diesem Kapitel werden die diesbezüglichen Überlegungen nachvollzogen. Diese sind mathematisch aufwendig und könnten Leser, die primär an den physikalischenAspekten interessiert sind, möglicherweise abschrecken. Das wesentliche Ergebnis sind die Gleichungen (16.38) und (16.41).Wer auf den Nachweis verzichtet, daß mit diesen Ergebnissen die Gesamtheit aller Lösungen ausgeschöpft ist, kann die nächsten Abschnitte überspringen und gleich zu Gleichung (16.41) gehen. Diese wird auf einfache Weise in einem Anhang zu Abschn. 16.3.4 verifiziert.

In der Robertson-Walker-Metrik (16.41), die in sich die Gesamtheit aller mit den Symmetrieforderungen der 2. Version des kosmologischen Prinzips verträglichen Metriken vereinigt (siehe Abschn. 17.1), sind nur noch die Größen k und a(t) unbestimmt geblieben. Aus den Einsteinschen Feldgleichungen ergeben sich an diese Bedingungen, die sie allerdings immer noch nicht eindeutig festlegen, so daß es weiterhin eine Auswahl zwischen verschiedenen Modellen des Universums gibt. Es ist allerdings möglich, wichtige physikalische Fragestellungen zu klären, ohne diese Bedingungen untersucht zu haben. Dieses Vorgehen, bei dem die Größen k und a(t) weiterhin offen gelassen werden, hat den Vorteil, daß die damit erzielten Ergebnisse von speziellen Annahmen (z.B. über die Form der zur Lösung der Feldgleichungen benutzten Zustandsgleichungen) oder von einer speziellen Parameterwahl zur Festlegung der Lösung unabhängig sind. Es handelt sich dabei um die als Kosmographie bezeichnete Untersuchung geometrischer Eigenschaften und physikalischer Prozesse wie der Bewegung von Teilchen oder der Ausbreitung von Licht. Diese kann bei vorgegebener Struktur der Raum-Zeit vorgenommen werden, weil Rückwirkungen auf die letztere vernachlässigt werden dürfen. Wir beginnen diese Untersuchung damit, uns zu überlegen, welche physikalische Bedeutung den in der Robertson-Walker-Metrik benutzten Koordinaten zukommt.

In diesem Kapitel werden hydro- thermo- und elektrodynamische Eigenschaften des kosmischen Substrats untersucht, die für die ART-Behandlung von dessen Dynamik benötigt werden.

Wir wollen in diesem Kapitel die dynamische Entwicklung des kosmischen Skalenfaktors a(t) untersuchen und werden dabei k weiterhin als offenen Parameter behandeln. Als erstes setzen wir die metrischen Koeffizienten der Robertson-Walker-Metrik und unsere Ergebnisse für den Energie-Impuls-Tensor in die Einsteinschen Feldgleichungen ein und vervollständigen so das System der bisher erhaltenen Gleichungen (nächster Abschnitt). In den anschließendenAbschnitten verschaffen wir uns einen Überblick über die Gesamtheit von dessen Lösungen.

In diesem Kapitel suchen wir aus der Vielfalt kosmologischer Lösungen der Feldgleichungen diejenigen heraus, die zur Beschreibung des realen Universums am geeignetsten erscheinen. Dabei geht es nicht nur um den Lösungstyp, sondern bei gegebenem Typ auch um die richtige Wahl von Lösungsparametern.

Die in Abschn. 20.3.4 vorgenommenen Einschränkungen des Parameterbereichs für die Lösungen der kosmologischen Gleichungen haben zwar viele Lösungen ausgeschlossen, aber dennoch zu keiner eindeutigen Festlegung des Lösungstyps geführt, denn es stehen noch alle drei Fälle k=−1, 0 und 1 zur Diskussion. Die Beantwortung der Frage, ob das Universum offen oder geschlossen ist, bleibt daher trotz der Favorisierung des Falls k=0 im Prinzip unbeantwortet. Die mit allen drei Fällen verträgliche Festlegung auf ein Modell mit Urknall hat allerdings wichtige Konsequenzen für die Evolution des Universums. Diese sollen in diesem Kapitel — wenn auch nur skizzenhaft — besprochen werden.

Das Thema dieses Kapitels wurde in der Fachliteratur nur stiefmütterlich und in der Lehrbuchliteratur fast gar nicht behandelt und wird hier daher besonders ausführlich untersucht.

Durch das Konzept des Urknalls wurde zwar eine Reihe kosmologischer Probleme gelöst (siehe Abschn. 20.6.1), es traten aber auch neue Probleme auf. Im folgenden Abschnitt werden diese aufgeführt und zum Teil ausführlicher vorgestellt. Sodann wird das Konzept der kosmischen Inflation eingeführt und ausgebaut. Dabei wird besprochen, wie sich die aufgeführten Probleme durch dieses lösen lassen. Nur das Strukturbildungsproblem kann aus Platzgründen im Rahmen dieser Einführung nicht behandelt werden.

Die kausale Struktur von Modellen des Universums ergibt sich aus dem Verlauf von Teilchen- und Ereignishorizontes sowie der Weltlinien (Trajektorien) von Elementen des kosmischen Substrats. Sie läßt sich besonders gut in Diagrammen erkennen, in denen die konforme Zeitη von Ereignissen gegen die mitbewegte Radialkoordinate χ aufgetragen ist. Diese als konforme Diagramme bezeichneten χ, η-Diagramme weisen große Ähnlichkeit mit Minkowski-Diagrammen auf, weil auch in ihnen die Lichtausbreitung durch Geraden dargestellt wird: Aus dem lokalen Lichtausbreitungsgesetz (17.10) ergibt sich für die radiale Ausbreitung (dσ=dχ) mit a=a ₀ x