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16.06.2018 | Original Paper | Ausgabe 2/2019

# Three questions of Bertram on locally maximal sum-free sets

Zeitschrift:
Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing > Ausgabe 2/2019
Autor:
Chimere Stanley Anabanti
Wichtige Hinweise
The author was supported by a Birkbeck Ph.D. Scholarship during the writing of this paper.

## Abstract

Let G be a finite group, and S a sum-free subset of G. The set S is locally maximal in G if S is not properly contained in any other sum-free set in G. If S is a locally maximal sum-free set in a finite abelian group G, then $$G=S\cup SS\cup SS^{-1}\cup \sqrt{S}$$, where $$SS=\{xy|~x,y\in S\}$$, $$SS^{-1}=\{xy^{-1}|~x,y\in S\}$$ and $$\sqrt{S}=\{x\in G|~x^2\in S\}$$. Each set S in a finite group of odd order satisfies $$|\sqrt{S}|=|S|$$. No such result is known for finite abelian groups of even order in general. In view to understanding locally maximal sum-free sets, Bertram asked the following questions:
(i)
Does S locally maximal sum-free in a finite abelian group imply $$|\sqrt{S}|\le 2|S|$$?

(ii)
Does there exist a sequence of finite abelian groups G and locally maximal sum-free sets $$S\subset G$$ such that $$\frac{|SS|}{|S|}\rightarrow \infty$$ as $$|G|\rightarrow \infty$$?

(iii)
Does there exist a sequence of abelian groups G and locally maximal sum-free sets $$S\subset G$$ such that $$|S|<c|G|^{\frac{1}{2}}$$ as $$|G|\rightarrow \infty$$, where c is a constant?

In this paper, we answer question (i) in the negative, then (ii) and (iii) in affirmative.

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