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Erschienen in:
2014 | OriginalPaper | Buchkapitel
49. V49 Schubmodulbestimmung aus Torsionsschwingungen
verfasst von : Eckard Macherauch, Hans-Werner Zoch
Erschienen in: Praktikum in Werkstoffkunde
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
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Zusammenfassung
Bei einem einseitig eingespannten Zylinder des Durchmessers 2R und der Länge L besteht zwischen Torsionsmoment M
t und Torsionswinkel φ der Zusammenhang
$$ {{M}_{\text{t}}}=G\frac{\varphi }{L}\int\limits_{0}^{R}{{{r}^{2}}}2\pi r\mathrm{d}r=\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi .$$
Ist der Zylinder sehr lang gegenüber seinem Durchmesser und wird sein unteres Ende mit einer zylindrischen Scheibe A verbunden, so führt das ganze System nach Wegnahme des äußeren Momentes Drehschwingungen aus. Es liegt ein Torsionspendel vor. Ist θ
0 das Massenträgheitsmoment des Systems bezüglich der Drahtachse und ist die Systemdämpfung hinreichend klein, so lautet die Bewegungsdifferentialgleichungbzw.
$$ {{\Theta }_{0}}\ddot{\varphi }=-{{M}_{\text{t}}}(\varphi )=-\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi =-D\varphi $$
$$ \ddot{\varphi }=-{{\omega }^{2}}\varphi .$$
Dabei ist D das sog. Direktionsmoment und ω die Kreisfrequenz des schwingungsfähigen Systems. Die Lösung dieser Differentialgleichung lautetmit der Schwingungsdauer
$$ \varphi ={{\varphi }_{0}}\cos \omega t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \nu t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \frac{t}{{{t}_{0}}}$$
$$ {{t}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{{{\Theta }_{0}}}{D}}=2\pi \sqrt{\frac{2L{{\Theta }_{0}}}{\pi G{{R}^{4}}}}.$$
Somit ergibt sich bei bekannten L, R und θ
0 durch Messung von t
0 der Schubmodul zu
$$ G=\frac{8\pi L{{\Theta }_{0}}}{{{R}^{4}}t_{0}^{2}}.$$