Verteilungsklassen – statistische Modelle

Dieses Kapitel behandelt dominierte Verteilungsklassen und einige Eigenheiten von dominierten statistischen Modellen. Dominierte Verteilungsklassen lassen sich durch die im Vergleich zu Wahrscheinlichkeitsmaßen viel einfacheren Wahrscheinlichkeitsdichten beschreiben. Dieses führt auch in der Statistik zu starken Vereinfachungen und erweiterten Möglichkeiten zur Konstruktion von statistischen Verfahren (z.B. Maximum-Likelihood-Schätzer). Mittels geeigneter Metriken auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße zeigen sich einige Zusammenhänge der Dominiertheit zur Separabilität dieses metrischen Raumes. Diese Zusammenhänge erweisen sich als grundlegend für die Entwicklung von einfachen Suffizienzkriterien in Kapitel 4. Abschätzungen der Metriken führen zu f.s. Konsistenzaussagen und zu 0-1-Gesetzen auf unendlichen Produkträumen. Wichtige Beispielklasse für dominierte Modelle sind die Exponentialfamilien. Wir beschreiben einige ihrer analytischen Eigenschafte und Gesetzmäßigkeiten. Abschließend führen wir Gibbsche Maße ein und diskutieren ihre Verwendung bei der Bildrekonstruktion mit Hilfe des Simulated Annealing Algorithmus.