Vollständige Induktion

Beispiele und Aufgaben bis zum Umfallen

verfasst von: Florian André Dalwigk

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dein Professor spricht vom Beweisen mit vollständiger Induktion, aber du verstehst nur Bahnhof? Du willst endlich wissen, was es damit auf sich hat – und vor allem, wie du das in der Klausur hinkriegen sollst? In diesem Buch erfährst du es! Dabei ist es ganz egal, ob die Prüfung schon kurz bevor steht und du eine Rettung in letzter Sekunde suchst, oder ob du etwas mehr Zeit für die theoretischen Details und Hintergründe aufbringen kannst.

Du wirst hier keine unverständlichen Floskeln finden, sondern Unterstützung auf Augenhöhe – von einem erfahrenen Tutor, der genau weiß, wo die größten Schwierigkeiten beim Verständnis und beim Lösen von Induktionsaufgaben liegen. Und nicht nur das: Neben einer anschaulichen Erklärung des Beweisschemas findest du in diesem Buch zahlreiche Beispiele und über 100 Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade – jeweils mit ausführlicher Schritt-für-Schritt-Lösung. So bekommst du Routine und wirst optimal auf die Klausur vorbereitet. Und falls doch noch Fragen offen sein sollten: In den FAQs werden die typischen Fragen von Studierenden zu Induktionsbeweisen verständlich beantwortet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Der studentenfreundliche Einstieg in die vollständige Induktion

Zusammenfassung

Dieses Kapitel ist ein Schnelldurchgang durch die Welt der Induktionsbeweise und als Last-minute-Crashkurs kurz vor der Klausur anzusehen. Vertieft wird diese Thematik in dem folgenden Kap. 2 „Die Theorie hinter der vollständigen Induktion“. Auf den nächsten Seiten bekommst du alles Wichtige zu dieser Beweistechnik in komprimierter Form präsentiert.

Florian André Dalwigk

2. Die Theorie hinter der vollständigen Induktion

Zusammenfassung

Warnung:

Dieses Kapitel ist für Eilige aufgrund seiner Länge und Tiefe nicht geeignet! Wenn du also morgen die Klausur schreibst und der Prokrastination geschuldet jetzt erst mit dem Lernen beginnst, solltest du den weitaus kürzeren Weg des „Studentenfreundlichen Einstiegs“ (Kap. 1) wählen. Wenn der Klausurtermin allerdings noch in ferner Zukunft liegt oder du einfach tiefer in das Thema vollständige Induktion eintauchen willst, ist dieses Kapitel ein absolutes Muss! Neben dem Induktionsalgorithmus und dem „Klassiker“ unter den Induktionsbeweisen, lernst du in diesem Kapitel, woher das Induktionsprinzip stammt und auf welchen mathematischen Axiomen es beruht. Doch damit nicht genug: Gleich zu Beginn tauchst du ein in die faszinierende Welt der Unendlichkeit – ein Begriff, um den sich viele Mythen ranken, die dringend einer Klärung bedürfen. Der Unendlichkeitsbegriff lädt nicht nur zu fachlich, sondern auch philosophisch spannenden Fragestellungen ein.

Florian André Dalwigk

3. Die Klassiker unter den Induktionsbeweisen

Zusammenfassung

Es gibt Fragestellungen, die hochschulübergreifend in den ersten Semestern eines jeden MINT-Studiengangs auftauchen. Oft werden die Beweise dieser wichtigen Sätze nur kurz behandelt, schnell (und unverständlich) an die Tafel gepinselt oder mit einem Verweis auf das Vorlesungsskript übersprungen. Das folgende Kapitel soll diesem Problem Abhilfe schaffen, indem zunächst die Wichtigkeit der jeweiligen mathematischen Errungenschaften herausgestellt und anschließend Schritt für Schritt der Beweis durch vollständige Induktion geführt wird.

Um welche Klassiker geht es?

binomischer Lehrsatz,
Mächtigkeit der Potenzmenge,
Anzahl der Permutationen von \(n\) Elementen,
Geometrische Summenformel.

Im Studium wirst du besonders in den Fächern Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und Diskrete Mathematik mit diesen Sätzen konfrontiert.

Am Ende dieses Kapitels wirst du wissen, was sich hinter jedem dieser Schlagwörter verbirgt und wie man mathematisch sauber die damit verbundenen Aussagen beweist.

Florian André Dalwigk

4. Die Problemklassen

Zusammenfassung

Behauptungen, die durch vollständige Induktion bewiesen werden können, lassen sich in verschiedene Problemklassen unterteilen. Durch diese Strukturierung gewinnst du einen besseren Überblick über Aufgaben, mit denen du dich möglicherweise in Klausuren konfrontiert siehst. Zudem wird dadurch die Möglichkeit geschaffen, für jede der Klassen eine speziell dafür optimierte Lösungsstrategie zu entwickeln. Wie du in diesem Kapitel feststellen wirst, gibt es für jeden Aufgabentyp Besonderheiten, auf die man achten muss, und Tricks, die dir das Leben spürbar erleichtern werden. Zudem wirst du erkennen, dass jede Klasse durchaus ihre Berechtigung besitzt, auch wenn man das anfangs gar nicht so recht glauben mag. Insbesondere bei den „Teilbarkeitszusammenhängen“ sehen viele nicht direkt konkrete Anwendungsfelder oder Benefits, die sich z. B. aus der Erkenntnis, dass \(n^{2}+n\) für alle natürlichen Zahlen \(n\) immer eine gerade Zahl ist, ergeben. Sieh dieses Kapitel als das an, was es ist: eine Sammlung (fast) aller möglichen Induktionsbeweisklassen und als Planungsinstrument für eine erfolgreiche Klausurvorbereitung!

Florian André Dalwigk

5. Übungsaufgaben zur vollständigen Induktion

Nun ist es an der Zeit, das über die letzten vier Kapitel gesammelte Wissen einzustudieren, um bestmöglich auf die Klausur vorbereitet zu sein. Vielleicht findest du hier sogar Aufgaben, die so (oder so ähnlich) in deiner Klausur drankommen. Die Fragestellungen sind pro Problemklasse (Kap. 4) in verschiedene Schwierigkeitsgrade unterteilt, nämlich Einsteiger, Fortgeschrittene und Profis:Noch ein paar Worte zu den Lösungen: Die einzelnen Schritte sind sehr ausführlich beschrieben. Der Hintergedanke ist, dass man auch als Zeichenlegastheniker den Gedankengängen leicht folgen kann. Das Wort ist dabei überhaupt nicht abwertend gemeint. Es ist nun einmal ein unumstrittener Fakt, dass sich die Sprache der Mathematik deutlich von der natürlichen Sprache, die wir im Alltag sprechen, unterscheidet, und deshalb bedarf es (wie bei jeder anderen Sprache auch) gut ausgebildeter Dolmetscher, die den Übersetzungspart übernehmen. Die Lösungen bieten eine Mischung aus (viel) Text und (ebenso vielen) Zeichen. Der Text ist eine Beschreibung dessen, was als nächster Schritt in der Beweisführung sinnvoll wäre, und die Zeichen repräsentieren die mathematische Kurzfassung des Textes. Während einer Klausur musst du für gewöhnlich keine langen Begründungstexte wie im Deutschunterricht schreiben. Deshalb ist jede Lösung optisch so aufgebaut, dass du theoretisch nur den zentrierten Formelteil von oben nach unten abschreiben musst und damit einen einwandfreien Beweis ablieferst. Und selbst bei diesen Schritten kannst du weitere Punkte weglassen, da die Philosophie „eine Umformung pro Zeile“ gelebt wird. Neben dem Vereinfachen, Ausmultiplizieren und Ausklammern von Termen bzw. Termbestandteilen bekommst du außerdem gezeigt, wie du Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen kannst. In jeder Zeile wird dabei (im Regelfall) nur eine Umformung vorgenommen (sei es z. B. auch nur das Vertauschen von Summanden). Manchmal bleibt es aber nicht bei einer einzigen Lösungsskizze. An geeigneten Stellen werden alternative Beweisideen (auch ohne vollständige Induktion) aufgezeigt, um dir ein Gefühl dafür zu vermitteln, wann ein Induktionsbeweis ganz oben im mathematischen Werkzeugkasten liegen sollte und wann er völlig ist.

Florian André Dalwigk

Backmatter

Titel: Vollständige Induktion
verfasst von: Florian André Dalwigk
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-58633-4
Print ISBN: 978-3-662-58632-7
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-58633-4