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Erschienen in:
Einführung: Kausale Aussagen und Prognosemodelle Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Zeitreihenanalyse und dynamische Modelle

verfasst von : Matthias-W. Stoetzer

Erschienen in: Regressionsanalyse in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung Band 2

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Zunächst beschreibt Abschn. 3.2 Formen und Merkmale von Zeitreihendaten (Längsschnittdaten). Abschn. 3.3 analysiert, inwieweit eine einfache OLS-Schätzung auf der Basis von Daten aus mehreren Perioden durchführbar ist. Die Abschn. 3.4, 3.5 und 3.6 veranschaulichen, welche speziellen Probleme bei der Regression auf der Basis von Zeitreihen auftreten. In diesem Kontext stellt Abschn. 3.4 das Problem der Autokorrelation dar, Abschn. 3.5 diskutiert die Exogenität der unabhängigen Variablen und Abschn. 3.6 erläutert die Stationarität von Zeitreihen. Darauf aufbauend zeigt Abschn. 3.7, wie die Bestimmung der Modellspezifikation (Lags bzw. Leads) erfolgt und fasst die praktische Vorgehensweise zusammen. Da hier nur eine kurze Einführung in die Grundlagen der Untersuchung von Zeitreihen gegeben wird, enthält abschließend Abschn. 3.8 eine Reihe von weiterführenden Hinweisen zu Prognosemodellen und Variablen mit gemeinsamen Trends.

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Fußnoten
1
Dies gilt bspw. für makroökonomische Werte, die sich auf Monate beziehen. Hier sind bei Produktionsdaten (BIP, Umsätze usw.) Kalenderbereinigungen durchzuführen, die unterschiedliche Zahlen der Arbeitstage in bestimmten Monaten (bspw. aufgrund von Feiertagen) berücksichtigen.
 
2
Für unser Pkw-Beispiel aus Band 1 (Stoetzer 2017) mit 15 Vertriebsregionen ist aber die Annahme, dass die Reihenfolge der Regionen keinerlei inhaltliche Bedeutung hat, nicht selbstverständlich. Räumlich nebeneinander liegende Verkaufsregionen könnten sich hinsichtlich der verkauften Pkw beeinflussen – bspw. durch reiche Konsumenten in einer Region, die in der Nachbarregion ihre Pkw-Käufe tätigen. Raum-Regressionsmodelle (Spatial Regression Models), die hier nicht behandelt werden, modellieren solche Einflüsse.
 
3
In der Literatur werden häufig für die Koeffizienten an Stelle des lateinischen Alphabets die griechischen Buchstaben α, β, λ usw. verwendet.
 
4
Eine genauere Darstellung der Zeitreihenanalyse bspw. auch von unbegrenzten Distributed-Lag-Modellen enthalten Pindyck und Rubinfeld (1998, S. 521–578), Kirchgässner et al. (2014) und Becketti (2013).
 
5
Unter bestimmten Annahmen kann ein Modell mit verteilten Verzögerungen (Distributed-Lag-Modell), wenn die verzögerten Wirkungen zeitlich unbegrenzt (unendlich) auftreten, in ein Modell mit einer verzögerten abhängigen Variable überführt werden: Aus der Gl. (3.5) wird dann: Yt = a0 + b0Xt + cYt−1. Dies ist die sogenannte Koyck-Transformation (Auer und Rottmann 2010, S. 570).
 
6
Zum Teil werden in der Literatur nur solche AR-Modelle als dynamische Modelle bezeichnet, FDL-Modelle dagegen nicht.
 
7
Zwei Vorteile sind relevant: Erstens wächst mit zunehmendem Stichprobenumfang c. p. die Teststärke (Power). Die Teststärke gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit wir den Einfluss einer Variablen feststellen können, wenn dieser tatsächlich existiert. Zweitens hängen in der Regel die Schätzungen kaum noch von einzelnen Beobachtungen (Ausreißern und einflussreichen Beobachtungen) ab. Sie sind also verlässlicher.
 
8
Exakter formuliert, müssen die Annahmen der einfachen OLS-Regression entsprechend modifiziert bzw. ergänzt werden. Dies wird von Stock und Watson (2015, S. 587–589) genauer beschrieben. Hier wird auf eine detaillierte Darstellung verzichtet. Ausführliche Erläuterungen der Voraussetzungen finden sich auch bei Ashley (2012, S. 342–453), Dougherty (2016, S. 405–443) und Wooldridge (2016, S. 317–396). Ein Vergleich der Autoren zeigt, dass diese Annahmen unterschiedlich formuliert werden können.
 
9
In der Literatur wird diese häufig ausgedrückt als die geschätzte Kovarianz von Yt und Yt−1 dividiert durch die geschätzte Varianz von Yt.
 
10
Der Unterschied von Fehlern und Residuen wird im Band 1 in Abschn. 2.​2 behandelt (Stoetzer 2017).
 
11
Eine grafische Darstellung findet sich im Band 1, Abb. 5.10 (Stoetzer 2017, S. 148).
 
12
Die Fälle ǀcǀ > 1 und ǀcǀ = 1 beschreibt und diskutiert Becketti (2013, S. 173–174).
 
13
Studenmund (2016, S. 275) unterscheidet zwischen „reiner serieller Korrelation“ (Pure Serial Correlation) und „unreiner serieller Korrelation“ (Impure Serial Correlation). Erstere ist gegeben, wenn keine Fehlspezifikation vorliegt.
 
14
Dies entspricht der Aussage für Querschnittsdaten, dass Heteroskedastie zu falschen Standardfehlern (und damit t-Werten) führt, aber die Koeffizientenschätzungen (bei richtiger Spezifikation) weiterhin gültig bleiben (Stoetzer 2017, Abschn. 5.​2).
 
15
Dies gilt, weil dw ≈ 2(1 − r1). Beträgt der Autokorrelationskoeffizient erster Ordnung r1 gleich 0, so ist dw = 2 (Hill et al. 2008, S. 239).
 
16
Anders formuliert, ist der d-Test nur anwendbar, wenn die unabhängigen Variablen alle strikt exogen sind.
 
17
Eine weitere hier nicht behandelte Variante ist der Durbin-h-Test.
 
18
Wenn die Autokorrelation tatsächlich größer ist als das Maximum, werden die Schätzungen der Standardfehler nicht mehr konsistent sein. Ist dieses Maximum aber im Verhältnis zur Länge der Zeitreihe zu groß, resultieren ebenfalls unsinnige Schätzungen. Nach Ashley gilt ein Lag von 1 als zu groß, wenn die Zeitreihe deutlich weniger als 80 Beobachtungen aufweist (Ashley 2012, S. 378).
 
19
Dies ist eine saloppe Formulierung, die nur den praktischen Umgang richtig beschreibt. Im strengen statistischen Sinn kann ein Test nur die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art (fälschliche Ablehnung der Nullhypothese) bzw. zweiter Art (fälschliche Akzeptanz der Nullhypothese) ermitteln.
 
20
Weitere Probleme und Lösungsmöglichkeiten bei Autokorrelation im Rahmen von autoregressiven Regressionsgleichungen (AR- bzw. ADL-Modellen) beschreiben Auer und Rottmann (2010, S. 570–572), Ashley (2012, S. 376–382) und Gujarati (2015, S. 115–129).
 
21
Ausführliche Erläuterungen finden sich bei Wooldridge (2016, S. 318–340) und Pickup (2015, S. 30–39).
 
22
Dies ist uns für die Analyse von Querschnittsdaten bereits bekannt. So gewährleistet bspw. eine reine Zufallsstichprobe im Rahmen eines kontrollierten Experiments, dass die unabhängigen Variablen, deren kausale Effekte uns interessieren, keine Korrelation mit anderen (auch den nicht im Modell berücksichtigten) Einflussfaktoren aufweisen. Ist dies doch der Fall, so liegt eine Endogenität der unabhängigen Variablen vor, die verzerrte Koeffizientenschätzungen nach sich zieht (siehe Kap. 1 und Stoetzer 2017, Abschn. 4.​2 und 5.​7.​5).
 
23
Siehe zum Weinanbau-Beispiel Stoetzer (2017, Abschn. 4.​2).
 
24
Eine solche Zeitreihe wird als schwach stationär (oder kovarianzstationär) bezeichnet. Hier erfolgt nur eine grafische bzw. intuitive Erläuterung. Genauere Darstellungen enthalten bspw. Becketti (2013, S. 81, 208–210) sowie Bofelli und Urga (2016, S. 14–17).
 
25
Es handelt sich um die einfachste Form eines Random Walk. Der Aufbau ähnelt dem des AR(1)-Modells in Gl. (3.7) oben.
 
26
Bei Querschnittsdaten waren uns Scheinkorrelationen bspw. bei der Beziehung von Störchen und Geburtenzahlen begegnet (Stoetzer 2017, Abschn. 5.​7.​3). Im obigen Beispiel könnte ein unbedarfter, lebensferner Theoretiker (bspw. ein Volkswirtschaftsprofessor) etwa folgende inhaltliche Erklärung entwickeln: Vor der Erfindung des Automobils war das Pferd ein wichtiges Fortbewegungsmittel. Pferde scheuen aber, werfen ihre Reiter ab, treten mit Hufen aus usw. Sie verursachen also jedes Jahr viele Tote. Die Zunahme der Lebenserwartung ist daher völlig logisch auf die zunehmende Verdrängung des Pferdes durch das sicherere Automobil zurückzuführen.
 
27
Allerdings bleibt zu diskutieren, ob der Einflussfaktor „Zeit“, d. h. die Variable t, überhaupt eine inhaltlich sinnvolle unabhängige Variable ist. Die Zeit (gemessen in Jahren, Monaten usw.) besitzt per se ja keinen Einfluss (bspw. auf die Lebenserwartung der Bevölkerung). Sie ist eher eine Indikatorvariable für die wahren dahinter stehenden Wirkungen – hier von medizinischem Fortschritt, besserer Ernährung, mehr Freizeit usw. – auf die Lebenserwartung.
 
28
Der Begriff der Einheitswurzel, dessen mathematische Herleitung und Überprüfung wird von Kirchgässner et al. (2014, S. 165–187) genauer erläutert.
 
29
Die Alternativhypothese lautet c1 < 0. Das heißt, es handelt sich um einen einseitigen Test.
 
30
Der Strukturbruch kann sich auf die Konstante, die Koeffizientenschätzungen, die Varianz usw. beziehen. Auch hier beschränkt sich die Darstellung auf einige grundlegende Aspekte. Einen Überblick verschaffen Enders (2014) und Perron (2006).
 
31
Zum Umgang und der Interpretation von Dummyvariablen für bspw. mögliche Unterschiede zwischen Männern und Frauen siehe Stoetzer (2017, Abschn. 3.2.1). Hier wird dieser Ansatz einfach auf zwei Zeitabschnitte übertragen.
 
32
Diese vereinfachte Darstellung erläutert inhaltlich den Chow-Test. Tatsächlich wird ein restringiertes Modell entsprechend Gl. (3.2) einem unrestringierten Modell wie in Gl. (3.28) gegenübergestellt. Der Chow-Test vergleicht die beiden Fehlerquadratsummen und überprüft mittels eines F-Tests, ob das unrestringierte Modell eine signifikante Verbesserung darstellt (siehe zu dieser Vorgehensweise Stoetzer 2017, Abschn. 6.3.1). Die Nullhypothese ist, dass das einfache Modell (2) die Zusammenhänge genauso gut erklärt wie das komplexere Modell (28). Genauere Erläuterungen zu den Ansätzen vermittelt Dougherty (2016, S. 255–259).
 
33
Sie sind in der Literatur mit einer verwirrenden Vielfalt unterschiedlicher Bezeichnungen versehen: supWald-Test (Supremum-Wald-Test), sup-LR-Test (Supremum-Likelihood-Ratio-Test), Quandt-Likelihood-Ratio (QLR)-Test, Phillips-Perron-Test, CUSUM- (Cumulative Sum-), sup-MZ- und Bai-Perron-Test. Diese Aufzählung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
 
34
Alternativ lassen sich auch alle Variablen zunächst trend- und ggf. saisonbereinigen. Anschließend wird die Regression auf Basis dieser bereinigten Daten durchgeführt. Die Resultate unterschieden sich nicht von der expliziten Spezifikation des Trends. Auch bei Saisoneffekten kann durch Differenzenbildung eine stationäre Zeitreihe gewonnen werden. Dies erfolgt bspw. bei Monatseffekten, indem die Differenz zwölfter Ordnung gebildet wird. Die Verkehrsunfälle im Januar werden so mit dem Wert aus dem Januar des Vorjahres verglichen.
 
35
Wir gehen im Folgenden davon aus, dass ein kleineres AIC bzw. BIC immer das zu bevorzugende Modell darstellt. Dies ist eine Vereinfachung. Erstens stellt sich das Problem, wie vorzugehen ist, wenn AIC und BIC unterschiedliche „beste“ Modelle identifizieren. Zweitens ist zu fragen, wie stark denn die Verkleinerung sein muss, um wirklich eine relevant bessere Modellspezifikation darzustellen. Basierend auf der Arbeit von Raftery enthält Pickup (2015, S. 130) dazu Faustregeln.
 
36
In der Literatur zur Zeitreihenanalyse werden die Residuen (Fehler) daher zum Teil Innovationen (Innovations) genannt.
 
37
Genauer gesagt, ist dies nur für Veränderungen des Wechselkurses richtig, da wegen Transportkosten und nicht handelbarer Güter die Kaufkraftparitätentheorie nur bedingt Gültigkeit besitzt.
 
38
Eine Option, um diese durchführen zu können, ist die Integration geeigneter Makros des Statistikprogrammpakets R in SPSS. Dies erläutert in allgemeiner Form IBM SPSS (2019a).
 
39
Der IBM SPSS Support schreibt dazu: „The Cochrane-Orcutt method is available in the AREG procedure. If you are running Release 14 through 18, you will only have access to the AREG procedure if you previously had the Trends module licensed and have continued to do so. In Releases 14 and 15, AREG is accessible via the menus (Analyze > Time Series > Autoregression). In later releases, it is available only through command syntax.“ (IBM SPSS 2016).
 
40
Zur Bildung von Dummyvariablen siehe Stoetzer (2017, Abschn. 3.6). Allgemein erfolgt die Durchführung mittels [Transformieren > Berechnen > …]. Bspw. soll das Jahr 2008 als Jahr der Finanzkrise (und insoweit Ausreißer) in Form einer Dummyvariable gesondert berücksichtigt werden. Wir geben links oben im Feld „Zielvariable“ den von uns frei wählbaren Namen der Ausprägung ein, hier also „Finanzkrise“. Dann tippen wir rechts im Feld „Numerischer Ausdruck“ die Berechnungsvorschrift für diese neue Variable ein. Wenn die Jahre als Variable „Year“ in unserem Datensatz numerisch kodiert sind also: „Year = 2008“. Nach klicken des Buttons „OK“ fügt SPSS rechts an den Datensatz die neue Variable Finanzkrise an. Diese hat im Jahr 2008 den Wert 1 und in allen anderen Jahren den Wert 0.
 
41
In der Version IBM SPSS 25. In der Version 22 mittels [Analysieren > Vorhersage > Modelle erstellen]. Syntaxbasiert werden mittels der folgenden vier nacheinander aufzurufenden Befehle zunächst die Zahl der neu von SPSS anzulegenden Variablen auf 8 gesetzt, dann bspw. das ARIMA(2,1,0)-Modell geschätzt und schließlich erst die ACF und dann die PACF der Residuen dieses Modells generiert: „TSET /MXNEWVARS=8. ARIMA Arbeitslosenquote /MODEL=(2 1 0). ACF /VARIABLES=ERR_1. PACF /VARIABLES=ERR_1.“.
 
42
Zum Vergleich siehe unten die Resultate des ARIMA_1-Modells in Stata.
 
43
Das AIC ist in der Version IBM SPSS 25 innerhalb der Prozedur [Analysieren > Vorhersage > Temporale kausale Modelle erstellen] unter dem Reiter „Erstellungsoptionen“ und dann „Ausgabeoptionen“ im Feld „Modellübergreifende Anpassungsgüte des Modells“ vorhanden. Dort kann ein Häkchen bei AIC ebenso wie bei BIC gesetzt werden.
 
44
Auch diese sind aber vergleichsweise wenig nützlich. Die SPSS-Dokumentation der Version 25 zur Prognose bzw. Trendanalyse enthält 62 Seiten, und für die Version 20 existieren 114 Seiten. Die Stata-Dokumentation (Release 15) zur Zeitreihenanalyse hat einen Umfang von 935 Seiten.
 
45
Es handelt sich um einen Datensatz ohne fehlende Werte, also ohne Lücken (Gaps). Der Umgang mit solchen Lücken wird hier nicht weiter behandelt. In Stata existieren umfangreiche Möglichkeiten, solche Lücken zu schließen. Dazu dient das Kommando „tsfill“. Genauer dazu Stata (2017, S. 584–587). Prinzipiell entspricht dies dem Problem fehlender Werte (Missing Values) bei Querschnittsdaten. Kap. 5 Fehlende Datenwerte/Missing Values geht darauf genauer ein.
 
46
Die Verteilung der kritischen Werte des ADF- und DF-GLS Tests entspricht nicht der Normal- bzw. t-Verteilung. Sie wird daher bei beiden Tests von Stata mit ausgewiesen. Die Konsequenz ist, dass auch die Faustregel für den t-Test (|t| > 2) nicht zutrifft.
 
47
Weiter oben wurde bereits erläutert, wie mittels des Präfix „L1.“ der erste Lag einer Variablen generiert wird. Das Präfix „D2.“ ermöglicht die Berechnung der zweiten Differenz usw. Mittels des Präfix „S“ bilden wir saisonale Differenzen. So führt „S12.Arbeitslosenquote“ zur Differenz der Arbeitslosenquote eines Monats mit dem Wert des Vorjahresmonats. Damit werden saisonale Veränderungen beseitigt.
 
48
Häufig wird die auch umgekehrt kodiert – also die Perioden vor dem Strukturbruch erhalten eine 0 und die nach dem Bruch folgenden Perioden eine 1. Dies ist für das Ergebnis irrelevant, muss aber bei der Interpretation des Koeffizienten beachtet werden.
 
49
Zur Anwendung und Interpretation von Interaktionseffekten siehe Stoetzer (2017, Abschn. 3.4).
 
50
Ggf. kann unter dem Button „Time settings …“ auch die Datenreihe als Zeitreihe charakterisiert werden. In unserem Bsp. war das bereits vorab direkt erfolgt.
 
51
Würde es sich um Quartalsdaten handeln, wäre das Präfix „S4.“ zu verwenden.
 
Literatur
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Wooldridge, J. (2016). Introductory econometrics – A modern approach (6. Aufl.). Boston: Cengage Learning.
Metadaten
Titel
Zeitreihenanalyse und dynamische Modelle
verfasst von
Matthias-W. Stoetzer
Copyright-Jahr
2020
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Regressionsanalyse in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung Band 2

Print ISBN: 978-3-662-61437-2

Electronic ISBN: 978-3-662-61438-9

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-61438-9_3

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