Zweiseitige Schranken und Normschranken für die Lösungen von semilinearen Differentialgleichungen

Gegeben sei das quasilineare Differentialgleichungssystem 5.1<m:math display='block'> <m:mrow> <m:mover accent='true'> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>&#x02D9;</m:mo> </m:mover> <m:mo>=</m:mo><m:mi>A</m:mi><m:mi>x</m:mi><m:mo>+</m:mo><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>.</m:mo> </m:mrow> </m:math>$$\dot x = Ax + f\left( {x,t} \right).$$ Dabei ist A eine n × n-Matrix und f ist eine stetige Abbildung f: ℝn × ℝ₊ → ℝn, die außerdem einer lokalen Lipschitz-Bedingung bezüglich x genügt. Weiter wird vorausgesetzt, daß für beliebige t_o ≧ 0, x_o ∈ ℝn die Lösung x(•;t_o,x_o) für alle t t ≧ t_o existiert. Um Mißverständnissen vorzubeugen, definieren wir an dieser Stelle die Begriffe des Kegels und der invarianten Menge im ℝn.