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Erschienen in:
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2017 | Supplement | Buchkapitel

A Note on Independence Copula for Conditional Markov Chains

verfasst von : Tomasz R. Bielecki, Jacek Jakubowski, Mariusz Niewęgłowski

Erschienen in: Recent Progress and Modern Challenges in Applied Mathematics, Modeling and Computational Science

Verlag: Springer New York

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Abstract

Given a family (Y k ,  k = 1, 2, …, N) of conditional Markov chains, we construct a conditional Markov chain X = (X 1, …, X N ) such that X k , k = 1, 2, …, N, are conditional Markov chains, which are conditionally independent given the information contained in some filtration \(\mathbb{F}\), and such that for each k the conditional law of X k coincides with the conditional law of Y k . This is a new result that can be used to model different phenomena such as the gating behavior of multiple ion channels in a membrane patch, or credit ratings migrations.

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Fußnoten
1
In more generality, one might define strong Markovian consistency with respect to a collection X I : = {X k , k ∈ I ⊂ {1, 2, …}} of components of X. This will not be done in this paper though.
 
2
Let us recall that for two given matrices, say \(A = [a_{x_{k}x_{l}}]_{x_{k},x_{l}\in E_{1}}\) and \(B = [b_{y_{m}y_{n}}]_{y_{m},y_{n}\in E_{2}}\) indexed by elements of some finite sets E 1,E 2, its Kronecker product is the matrix \(A \otimes B = [(a \otimes b)_{(x_{k},y_{m})(x_{l},y_{n})\in E_{1}\times E_{2}}]\) with entries defined by \((a \otimes b)_{(x_{k},y_{m})(x_{l},y_{n})} = a_{x_{k}x_{l}}b_{y_{m}y_{n}}\). See, e.g., Horn and Johnson [8].
 
Literatur
1.
2.
Ball, F., Yeo, G.F.: Lumpability and marginalisability for continuous-time Markov chains. J. Appl. Probab. 30(3), 518–528 (1993)MathSciNetCrossRefMATH
3.
4.
Bielecki, T.R., Jakubowski, J., Niewęgłowski, M.: Intricacies of dependence between components of multivariate Markov chains: weak Markov consistency and weak Markov copulae. Electron. J. Probab. 18, no. 45, 21 (2013). DOI 10.1214/EJP.v18-2238. URL http://​dx.​doi.​org/​10.​1214/​EJP.​v18-2238
5.
6.
7.
8.
Horn, R.A., Johnson, C.R.: Topics in matrix analysis. Cambridge University Press, Cambridge (1994). Corrected reprint of the 1991 original
9.
10.
Jakubowski, J., Pytel, A.: The Markov consistency of Archimedean survival processes. J. Appl. Probab. 53(2), 293–409 (2015)MathSciNetMATH
11.
Metadaten
Titel
A Note on Independence Copula for Conditional Markov Chains
verfasst von
Tomasz R. Bielecki
Jacek Jakubowski
Mariusz Niewęgłowski
Copyright-Jahr
2017
Verlag
Springer New York
Buch
Recent Progress and Modern Challenges in Applied Mathematics, Modeling and Computational Science

Print ISBN: 978-1-4939-6968-5

Electronic ISBN: 978-1-4939-6969-2

Copyright-Jahr: 2017

DOI
https://doi.org/10.1007/978-1-4939-6969-2_10

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