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Erschienen in:
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2015 | OriginalPaper | Buchkapitel

A Note on Real Powers of Time Differentiation

verfasst von : Rainer Picard

Erschienen in: Current Trends in Analysis and Its Applications

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

A Hilbert space framework for fractional calculus is presented. The utility of the approach is exemplified by applications to abstract ordinary fractional differential equations with or without delay.

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Fußnoten
1
It should be noted that \(\partial_{0}^{-\alpha}\) is largely independent of the particular choice of ρ∈ ]0,∞[. Indeed, since
$$\mathcal{L}_{\rho}\chi_{_{ ]0,\infty [}} (m_{0} )m_{0}^{\alpha-1}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\varGamma (\alpha )}{ ({i}m+\rho )^{\alpha}} $$
we have for \(\varphi\in\mathring{C}_{\infty} (\mathbb {R},H )\)
$$\frac{1}{\varGamma (\alpha )}\chi_{_{ ]0,\infty [}} (m_{0} )m_{0}^{\alpha-1}* \varphi=\partial _{0}^{-\alpha}\varphi $$
and
$$\biggl(\frac{1}{\varGamma (\alpha )}\chi_{_{ ]0,\infty [}} (m_{0} )m_{0}^{\alpha-1}*\varphi \biggr) (t )=\frac{1}{\varGamma (\alpha )}\int _{-\infty}^{t}\frac{1}{ (t-s )^{1-\alpha}}\varphi (s ) ds. $$
From this convolution integral representation we can also read off that \(\partial_{0}^{-\alpha}\) is causal.
 
2
In the limit a→−∞ the spectral fractional derivative is formally recovered:
$$\partial_{0}^{\gamma}={_{-\infty}D_{t}}^{\gamma}={_{-\infty }^{\quad C}D_{t}}^{\gamma}. $$
There is, however, a domain issue here. Whereas \(\partial_{0}^{\gamma}\) is a well-defined closed operator, the operators \({_{-\infty }D_{t}}^{\gamma}, {_{-\infty}^{\quad C}D_{t}}^{\gamma}\) are usually considered in terms of their integral representation leading to slightly different constraints and different choices of underlying spaces.
 
3
Here χ M denotes the characteristic function or indicator function of the set M.
 
4
That is
$$\begin{aligned} \vert f\vert _{\rho,\mathrm{Lip}}:=\inf \bigl\{ & L\in \,]0,\infty[ \bigm| \bigl\vert f (u )-f (v )\bigr\vert _{\rho,-\alpha+\gamma,0}\leq L\vert u-v\vert _{\rho,\gamma,0}\\ &\textit{for all }u,v\in H_{\rho,\gamma}(\mathbb{R},H) \bigr\} . \end{aligned}$$
 
Literatur
1.
N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear Operators. Part II: Spectral Theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space (Wiley Classics Library, New York, 1988). Repr. of the orig., publ. 1963 by John Wiley & Sons Ltd., Wiley/Interscience, New York MATH
2.
A. Kalauch, R. Picard, S. Siegmund, S. Trostorff, M. Waurick, A Hilbert Space Perspective on Ordinary Differential Equations with Memory Term. Technical report, TU Dresden (2011), to appear in J. Dyn. Diff. Equ. arXiv:​1204.​2924v1 (2014)
3.
K.S. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations (Wiley, New York, 1993), xiii, 366 p. MATH
4.
B. Nolte, S. Kempfle, I. Schäfer, Does a real material behave fractionally? Applications of fractional differential operators to the damped structure borne sound in viscoelastic solids. J. Comput. Acoust. 11(03), 451–489 (2003) CrossRefMathSciNet
5.
R.H. Picard, Hilbert Space Approach to Some Classical Transforms. Pitman Research Notes in Mathematics Series (Longman, Harlow, 1989) MATH
6.
R. Picard, On Evolutionary Equations with Fractional Material Laws. To appear in PAMM 2013
7.
R. Picard, D.F. McGhee, Partial Differential Equations: a Unified Hilbert Space Approach. De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 55 (de Gruyter, Berlin, 2011), 518 p. CrossRef
8.
R. Picard, S. Trostorff, M. Waurick, On evolutionary equations with material laws containing fractional integrals. Technical Report MATH-AN-05-2013, TU Dresden (2013). Submitted elsewhere. arXiv:​1304.​7620
9.
I. Podlubny, Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications, in Mathematics in Science and Engineering, vol. 198 (Academic Press, San Diego, 1999). 340 p.
10.
E.G.F. Thomas, Vector-valued integration with applications to the operator-valued H ∞ space. IMA J. Math. Control Inf. 14(2), 109–136 (1997) CrossRefMATH
Metadaten
Titel
A Note on Real Powers of Time Differentiation
verfasst von
Rainer Picard
Copyright-Jahr
2015
Buch
Current Trends in Analysis and Its Applications

Print ISBN: 978-3-319-12576-3

Electronic ISBN: 978-3-319-12577-0

Copyright-Jahr: 2015

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-12577-0_29