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Erschienen in:
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2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

A Tale of Two Symmetries: Embeddable and Non-embeddable Group Actions on Surfaces

verfasst von : Valerie Peterson, Aaron Wootton

Erschienen in: A Primer for Undergraduate Research

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

Plainly speaking, a compact Riemann surface, S, can be thought of as the layer of glaze on a g-holed doughnut. A group of symmetries of S is a group that acts on S while preserving some of its underlying structure. We provide an easily understood exposition of the modern techniques used to determine which groups can act as symmetry groups on a compact Riemann surface S of genus g ≥ 2. We then illustrate these techniques by providing necessary and sufficient conditions for the existence of an A 4-action on such a surface (in terms of a signature), and through explicit geometric construction show which of these actions are embeddable.

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Fußnoten
1
Stated more carefully, the extra structure that makes a classical surface a Riemann surface is a complex analytic structure resulting from the presence of a collection of local C ∞ -charts, which make the surface a one-dimensional complex manifold. As our approach here does not make direct use of the complex analytic structure of these surfaces, however, we may safely eschew such technical details.
 
2
Our use of the word “symmetry” here is a colloquial choice to replace the more precise but less widely known “conformal automorphism.”
 
3
Specifically, the signatures (0; −), (1; −), (0; 2), (0; 2, 2), (0; 2, 2, 2), (0; 2, 2, 2, 2), (0; 3), (0; 3, 3), (0; 3, 3, 3), (0; 2, 3), (0; 2, 2, 3), and (0; 2, 3, 3), can all be excluded, where (h; −) denotes an action with no branch points.
 
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Metadaten
Titel
A Tale of Two Symmetries: Embeddable and Non-embeddable Group Actions on Surfaces
verfasst von
Valerie Peterson
Aaron Wootton
Copyright-Jahr
2017
Buch
A Primer for Undergraduate Research

Print ISBN: 978-3-319-66064-6

Electronic ISBN: 978-3-319-66065-3

Copyright-Jahr: 2017

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-66065-3_2

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