Algebra, Funktionalanalysis und Codierung

Es ist eine grundlegende Fähigkeit unseres Geistes, gegebene Objekte gedanklich zu einem Ganzen zusammenfassen zu können. So fassen wir z.B. die Einwohner Hamburgs zu der „Einwohnerschaft Hamburgs“ und die unter deutscher Flagge fahrenden Handelsschiffe zu der „deutschen Handelsflotte“ zusammen. Ein solches Ganzes nennen wir eine Menge und die zu einer Menge zusammengefaßten Objekte die Elemente dieser Menge. Um auszudrücken, daß a ein Element der Menge M ist, benutzen wir die Bezeichnung a ∈ M. Dagegen bedeutet a ∉ M, daß a kein Element von M ist. Eine Menge sehen wir als gegeben an, wenn wir wissen, aus welchen Elementen sie besteht. Dementsprechend nennen wir zwei Mengen M und N g l e i c h, in Zeichen M = N, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Gibt es jedoch in einer dieser Mengen ein Element, das nicht zu der anderen gehört, so werden die beiden Mengen ungleich oder verschieden genannt, und wir schreiben M ≠ N. Schließlich verabreden wir noch, daß nur solche Objekte zu einer Menge M zusammengefaßt werden, die unter sich verschieden sind. Mit anderen Worten: kein Element von M tritt mehrfach in M auf.

In diesem Kapitel untersuchen wir eine der wichtigsten Beziehungen, die zwischen den Elementen einer Menge bestehen können: den Abstand.

Eine Menge trägt eine metrische Struktur, wenn je zwei ihrer Elemente einen Abstand besitzen; sie trägt eine algebraische Struktur, wenn man aus je zwei ihrer Elemente ein drittes erzeugen, „produzieren“ kann, das selbst wieder zu dieser Menge gehört. So kann man etwa aus zwei reellen Zahlen a, b die Summe a + b oder das Produkt ab erzeugen, aus zwei (n, n)-Matrizen A, B ebenfalls ihre Summe A + B oder ihr Produkt AB, aus zwei Selbstabbildungen f, g einer Menge X ihr Kompositum f ○ g und aus zwei Elementen M, N der Potenzmenge von X ihre Vereinigung M ∪ N oder ihren Durchschnitt M ∩ N. Alle diese Situationen lassen sich formal einheitlich beschreiben: jedesmal ist nämlich eine gewisse Grundmenge G ≠ Ø gegeben (R, die Menge der (n, n)-Matrizen, die Menge der Selbstabbildungen von X, die Potenzmenge von X) und dazu noch eine Abbildung P:G × G → G. In einem solchen Falle heißt G ein Gruppoid. Den Funktionswert P(a, b), also dasjenige Element, das von a und b erzeugt oder produziert wird, nennen wir das Produkt von a und b und schreiben dafür a · b oder kurz ab: \( P\left( {a,b} \right) \)

Bekanntlich besitzt jeder Vektor x : = (x₁,…,x_n) des R ⁿ eine euklidische Länge ‖x‖, die durch definiert ist. Der euklidische Abstand d(x, y) zweier Vektoren x, y ∈ R ⁿ (s. Gl. (2.1.1)) läßt sich mit ihrer Hilfe in der Gestalt ausdrücken. Im Falle n ≤ 3 kann man sich dies alles sehr leicht geometrisch klarmachen.

Sei K ein Körper, L ein Erweiterungskörper (Oberkörper) von K¹) und ein Polynom über K, d.h., ein Polynom aus dem Polynomring K[x] (die Koeffizienten a _k sollen also alle aus K stammen). Ist für ein λ ∈ L , so nennen wir λ eine Nullstelle oder Wurzel von f(x) in L.

Ein Code ist eine Zuordnungsvorschrift zwischen zwei Zeichenmengen, wie z.B. zwischen den Buchstaben des Alphabets und den Morsezeichen. Den vom Codierer bzw. Decodierer (Mensch oder Maschine) ausgeführten Vorgang des Zuordnens nennt man Codierung bzw. Decodierung.