Allgemeine Formulierungen der Punktmechanik

Das zweite Newtonsche Axiom besagt, dass der zeitliche Bewegungsablauf eines Massenpunktes berechnet werden kann, wenn die Kräfte, die auf den Massenpunkt einwirken, vorgegeben sind. Neben der Tatsache, dass die Lösung der Bewegungsgleichung unter Umständen nicht einfach ist, können sich andere Schwierigkeiten einstellen. Es ist möglich, dass die Kräfte (als Kraftfeld oder als Funktion der Zeit oder ...) gar nicht explizit bekannt sind, sondern dass geometrische Bedingungen vorliegen, die die Bewegung einschränken. Ein Beispiel dieser Art ist die Fallbewegung auf einer schiefen Ebene. Offensichtlich kompensiert eine Kraftwirkung, die durch den Druck eines Objektes (im Idealfall eines Massenpunktes) auf die ‘starre Unterlage‘ zustande kommt, einen Teil der (einfachen) Schwerkraft. Diese Zwangskraft kann man im Fall der schiefen Ebene mit elementaren Mitteln bestimmen, im Allgemeinen ist jedoch ein weitergehender Ansatz erforderlich. Die Diskussion von Bewegungsproblemen mit Einschränkungen allgemeiner Art geht auf Lagrange zurück. Der entsprechende Satz von Bewegungsgleichungen, in denen die Zwangskräfte explizit auftreten, ist unter der Bezeichnung Lagrangegleichungen erster Art (kurz Lagrange I) bekannt. Eine formale Fundierung dieser Gleichungen liefert das Prinzip von d’Alembert, das man als eine präzise Erweiterung des zweiten Axioms bei Anwesenheit von Einschränkungen der Bewegung auffassen kann.

Das d’Alembertsche Prinzip kann auch als Grundlage zu der Aufstellung der Lagrangegleichungen zweiter Art (kurz Lagrange II) dienen, in denen eine bestimmte Klasse von einschränkenden Bedingungen durch eine optimale Koordinatenwahl (Wahl von generalisierten Koordinaten) einbezogen wird. Diese Bewegungsgleichungen zeichnen sich durch Ökonomie in der Formulierung und Flexibilität in der Handhabung aus. Sie stellen ein Kernstück der ‘höheren Mechanik‘ dar.

Das Kapitel beginnt mit der Diskussion der Bewegungsgleichungen unter expliziter Einbeziehung der Zwangskräfte, also mit den Lagrangegleichungen erster Art.