Analysis für Ökonomen

Wir wollen in diesem Kapitel weder die ganzen, rationalen oder reellen Zahlen axiomatisch einführen noch in extenso Mengenlehre betreiben. Vielmehr gehen wir davon aus, daß der Leser schon von der Schule her weiß, welche Eigenschaften die oben genannten Zahlen haben und wie man üblicherweise mit ihnen rechnet. An einige dieser Eigenschaften soll hier in pointierter — und für einzelne Leser vielleicht ungewohnter — Weise erinnert werden, weil später davon Gebrauch gemacht wird. Ferner werden bestimmte Symbole und Bezeichnungen eingeführt, mit deren Hilfe wir uns später kurz und klar verständlich machen können. Falls sich der Leser in einem späteren Abschnitt über die Bedeutung eines Symbols nicht mehr ganz im klaren ist, möge er auf die „Liste der Symbole“ auf Seite 9 zurückgreifen.

Die Analysis ist für den Ökonomen insoweit von Interesse, als er mit ihrer Hilfe Aussagen über Existenz und Lage von in irgendeinem Sinne optimalen Entscheidungen, Entwicklungspfaden und dergleichen unter geeigneten ökonomischen Modellannahmen gewinnen und optimale Werte der Entscheidungsvariablen und Zielkriterien ermitteln kann. Hierbei spielen stetige Funktionen, differenzierbare Funktionen und integrierbare Funktionen eine besonders wichtige Rolle. Da die Begriffe Stetigkeit, Differenzier-barkeit und Integrierbarkeit alle auf dem Begriff der Konvergenz von Folgen beruhen, müssen wir uns in diesem Kapitel zunächst mit diesem grundlegenden Begriff der Analysis auseinandersetzen.

Da Begriffe wie Kostenfunktion, Produktionsfunktion, Gewinnfunktion, Nutzenfunktion, Nachfragefunktion etc. in der Ökonomie gang und gäbe sind, erscheint es angezeigt, sich zunächst einmal mit dem Begriff der Funktion und den Eigenschaften der gebräuchlichsten Klassen von Funktionen vertraut zu machen, bevor man davon in Anwendungen Gebrauch macht.

Will man sich einen genaueren Überblick über den Verlauf einer gegebenen Funktion, insbesondere über Lage und Art von Extremalsteilen (Maximum oder Minimum) verschaffen, so reichen die bisher eingeführten Charakterisierungen von Funktionen im allgemeinen nicht aus. Beispielsweiseläßt die Wertetabelle (Tab. 4.1) für φ(x) = 3x^{2 –} 2x mit D_φ = [0,0,5] nur vermuten, daß das Minimum in der Nähe von x = 0,3 liegt; und aus der graphischen Darstellung Fig. 4.1 ist auch bei sorgfaltigem Zeichnen nicht mit Sicherheit zu entnehmen, daß das Minimum tatsächlich bei x = 1/3 = 0,333… angenommen wird. In dieser Situation kann die Differentialrechnung weiterhelfen.

Bisher haben wir nur Funktionen einer Veränderlichen kennengelernt. Für die Anwendungen heißt das, daß wir bis jetzt beispielsweise nur Kostenfunktionen, die von einem einzigen Gut abhängen, oder Produktionsfunktionen mit einem einzigen Produktionsfaktor behandeln können. Tatsächlich ist der Oekonom jedoch weitaus häufiger mit Funktionen mehrerer Veränderlichen konfrontiert. So hängt etwa üblicherweise eine Produktionsfunktion mindestens von zwei Faktoren ab — z. B. Kapital und Arbeit —, oder der Nutzen eines Haushaltes wird durch das Güterbündel bestimmt, das er sich leisten kann, oder die Produktionskosten sind bei gegebenen Faktorpreisen auf Grund der eingesetzten Mengen der verschiedenen Produktionsfaktoren zu berechnen. Wir haben also allgemein mit Funktionen der Art f(x₁, x₂,..., x_n) zu tun, deren Funktionswert jeweils durch die Werte der n Variablen x₁, x₂,..., x_n bestimmt sind. Zu beachten ist hier, daß im allgemeinen die Reihenfolge der Variablen wesentlich ist, also nicht beliebig verändert werden darf. So ist etwa bei einer Produktionsfunktion P von den Variablen x₁ = Arbeitskraft und x₂ = Kapital im allgemeinen P(x₁, x₂) ≠ P(x₂, x₁), da beispielsweise der Produktionsausstoß von zwei Arbeitern und einer Maschine nicht derselbe sein muß wie derjenige von zwei Maschinen gleichen Typs und eines Arbeiters. Wir haben also im allgemeinen mit geordneten n-Tupeln x = (x₁,x₂,..., x_n) der Variablen zu tun. Da hier x_i ∈ R, i = 1,..., n, sagt man, es gelte x∈Rⁿ (gesprochen: „R n“, nicht „R hoch n“).

Denken wir uns folgende Situation: Jemand gibt uns an, daß die Menge x eines Gutes zum Preis p(x) abgesetzt werden kann und daß die Produktion desselben Gutes in der Menge x Grenzkosten k(x) aufweist. Sind K(x) die — uns unbekannten — Kosten für die Produktion der Menge x, und setzen wir für den Ertrag, der durch den Absatz der Menge x erzielt wird, E(x) = x • p(x) ein, dann ist der Gewinn, der mit Produktion und Absatz der Menge x verbunden ist, gegeben durch .