Funktionen von mehreren Veränderlichen

Bisher haben wir nur Funktionen einer Veränderlichen kennengelernt. Für die Anwendungen heißt das, daß wir bis jetzt beispielsweise nur Kostenfunktionen, die von einem einzigen Gut abhängen, oder Produktionsfunktionen mit einem einzigen Produktionsfaktor behandeln können. Tatsächlich ist der Oekonom jedoch weitaus häufiger mit Funktionen mehrerer Veränderlichen konfrontiert. So hängt etwa üblicherweise eine Produktionsfunktion mindestens von zwei Faktoren ab — z. B. Kapital und Arbeit —, oder der Nutzen eines Haushaltes wird durch das Güterbündel bestimmt, das er sich leisten kann, oder die Produktionskosten sind bei gegebenen Faktorpreisen auf Grund der eingesetzten Mengen der verschiedenen Produktionsfaktoren zu berechnen. Wir haben also allgemein mit Funktionen der Art f(x₁, x₂,..., x_n) zu tun, deren Funktionswert jeweils durch die Werte der n Variablen x₁, x₂,..., x_n bestimmt sind. Zu beachten ist hier, daß im allgemeinen die Reihenfolge der Variablen wesentlich ist, also nicht beliebig verändert werden darf. So ist etwa bei einer Produktionsfunktion P von den Variablen x₁ = Arbeitskraft und x₂ = Kapital im allgemeinen P(x₁, x₂) ≠ P(x₂, x₁), da beispielsweise der Produktionsausstoß von zwei Arbeitern und einer Maschine nicht derselbe sein muß wie derjenige von zwei Maschinen gleichen Typs und eines Arbeiters. Wir haben also im allgemeinen mit geordneten n-Tupeln x = (x₁,x₂,..., x_n) der Variablen zu tun. Da hier x_i ∈ R, i = 1,..., n, sagt man, es gelte x∈Rn (gesprochen: „R n“, nicht „R hoch n“).