Anwendungen

Angenommen, eine beobachtbare Größe y hänge von einer anderen beobachtbaren Größe x in irgendeiner, zunächst noch gar nicht näher bekannten Weise ab. Um sich einen Hinweis über die Art dieser Abhängigkeit zu verschaffen, wird man zu n ≥ 2 verschiedenen Werten x₁, ... , x_n die zugehörigen y-Werte y₁, ... , y_n messen und die zusammengehörigen Meßdaten x_k, y_k als Punkte in einer x y-Ebene eintragen. Ergibt sich dabei eine Konfiguration wie in Fig. 188.1, so wird man vermuten, daß die Meßpunkte „eigentlich“ auf einer Geraden (wie etwa der eingezeichneten) liegen müßten — wenn sie nicht mit den unvermeidlichen Beobachtungsfehlern behaftet wären. Und nun entsteht natürlich das Problem, auf systematische und vernünftige Weise eine Gerade zu finden, die sich am besten den Meßdaten „anpaßt“, also eine Gerade, welche die Tatsache berücksichtigt, daß die Meßdaten mit Fehlern behaftet sind, die irgendwie „ausgeglichen“ werden müssen. Es ist naheliegend, eine solche „Ausgleichsgerade“ durch die sogenannte Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen: Man setzt die Gleichung der gesuchten Geraden (analytisch gesprochen: den funktionalen Zusammenhang zwischen x und y) in der Form y = a + bx an.