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2010 | Buch

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Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion.

Eine Einführung in die mathematische Modellbildung für Lehramtsstudierende

verfasst von: Joachim Engel

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Mathematik für das Lehramt

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Gegenstand des vorliegenden Lehrbuches ist der Prozess des Anwendens von Mathematik. Im Mittelpunkt stehen dabei der Funktionsbegriff sowie mathematische Methoden zur Modellierung funktionaler Abhängigkeiten zwischen zwei Größen.

Das Buch zeichnet sich durch folgende besonderen Merkmale aus: Reale Daten als Grundlage für viele Modellierungen als eine wichtige Voraussetzung für einen authentischen und glaubwürdigen Unterricht an Hochschule und Schule - Einsatz von Technologie als Werkzeug zum Problemlösen und zur Illustrierung von Konzepten und Zusammenhängen - Vernetzung verschiedener Inhalte der Mathematik wie Elementare Funktionenlehre, Analysis, Stochastik, Lineare Algebra; Numerik.

Detaillierte Ableitungen von Ergebnissen sowie Übungen und Fragen am Ende der einzelnen Kapitel mit teilweise ausgearbeiteten Lösungen und mit Lösungshinweisen helfen bei der Vertiefung des Stoffes.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Was heißt: "Mathematik anwenden?"

Zusammenfassung

Zwei Ballonfahrer hatten sich verirrt. Da sahen sie am Boden auf der Erde einen Mann, dem sie zu riefen: ”Wo sind wir?“ Dieser dachte lange nach, bis er endlich zurückrief: ”In einem Ballon.“ Daraufhin sagte der eine Ballonfahrer zum anderen: ”Das muss ein Mathematiker sein. Denn erstens hat er sehr lange nachgedacht, zweitens ist seine Antwort absolut richtig, und drittens können wir mit der Antwort überhaupt nichts anfangen.“Dieser Witz von den Ballonfahrern lebt von einem Bild in der Öffentlichkeit, das Mathematik als eine sehr weltfremde und für alle praktischen Zwecke nutzlose Wissenschaft charakterisiert. Dieses Bild, das von den oft sehr theoretischen und für Außenstehende kaum verständlichen Inhalten der Mathematik genährt wird und Mathematiker als recht lebensfremde Wesen charakterisiert, ist völlig falsch. Mathematik ist die Grundlage der Hochtechnologie.

Joachim Engel

Kapitel 2. Standardmodelle und Naturgesetz

Zusammenfassung

Wie kommt man von Daten, die aus den Beobachtungen von zwei Variablen gewonnen wurden, zu einer Funktion, die die Abhängigkeit zwischen den beiden Variablen beschreibt? Wie lässt sich ein funktionaler Zusammenhang zwischen zwei Variablen spezifizieren und die Herleitung eines Graphen oder einer Funktionsgleichung begründen? Hierzu gibt es eine Vielzahl von Ansätzen, wie mit mathematischen Methoden ein Sachzusammenhang modelliert werden kann. Unterschiede zwischen den Ansätzen kommen durch unterschiedliche Modellierungsannahmen und unterschiedliche mathematische Techniken zustande, die im Kontext und Vorwissen über die Daten und das jeweilige Anwendungsgebiet begründet sind.

Joachim Engel

Kapitel 3. Lass die Daten sprechen

Zusammenfassung

Zur Modellierung funktionaler Abhängigkeiten zwischen zwei Variablen hilft uns in vielen Situationen unser Kontextwissen, eine geeignete Klasse von in Frage kommenden Funktionen festzulegen. In manchen Situationen liefert der Kontext jedoch keine ”d. h.,Theorie“, die uns bei der Auswahl einer Funktionenklasse nützlich ist. Dann können wir nur von Daten ausgehend argumentieren.

Joachim Engel

Kapitel 4. Die Grenzen des Wachstums

Zusammenfassung

In Kap. 2 verfolgten wir einen Ansatz zur Modellbildung, bei dem der Funktionstyp schon von vornherein vorgegeben war.¨Uberlegungen bzw. etablierte Theorien aus dem Sachkontext gaben Anlass, einen bestimmten Typus funktionaler Abhängigkeit von vornherein anzunehmen. Die Kurvenanpassung bestand dann lediglich darin, passende Parameter zu finden, so dass sich die Modellfunktion möglichst gut den Daten anpasst. In manchen Anwendungssituationen hat man allerdings keinen sachbezogenen Anlass, a priori eine parametrisierte Funktionenklasse wie z.B. die Menge aller Parabeln oder aller Exponentialfunktionen etc. anzunehmen, man kann jedoch durch sachanalytische ¨Uberlegungen bestimmte Annahmen über das lokale Änderungsverhalten des untersuchten Vorganges begründen.

Joachim Engel

Kapitel 5. Verrauschte Signale und funktionale Modelle

Zusammenfassung

In unseren bisherigen Überlegungen haben die Modelle meistens mehr oder weniger gut zu den vorliegenden Daten gepasst. Falls wir dennoch Diskrepanzen zwischen Modell und Daten vorfanden, haben wir diesen Differenzen keine besondere Aufmerksamkeit geschenkt. In Kap.2 haben wir Kurvenanpassungen stets per Augenmaß durchgeführt. Bei vielen Anwendungen ist es aber so, dass es zwar ein brauchbares funktionales Modell für den untersuchten Zusammenhang zwischen zwei vorliegenden Variablen gibt, dennoch treten – aufgrund weiterer externer Einflüsse (so genannter Störvariabler) – nicht unerhebliche Abweichungen zwischen Modell und konkret vorliegenden Daten auf. Der Zusammenhang zwischen den beiden Variablen ist dann ein idealisierter Zusammenhang, und die konkret erhobenen Messungen sind von einer Reihe anderer Einflussfaktoren gestört und verzerrt.

Joachim Engel

Kapitel 6. Durch Glätten der Daten zur Funktion

Zusammenfassung

Ein Problem mit dem Anpassen von Kurven aus einer parametrischen Klasse von Funktionen wie es in Kap.5 erfolgte, besteht darin, dass die Spezifizierung einer Funktionenklasse durchaus von Intuition und Erfahrung aus dem Anwendungsgebiet geleitet sein mag, es aber an einer objektiven Rechtfertigung mangelt, warum gerade dieser ausgewählte Funktionstyp angemessen sei. In stark verrauschten Streudiagrammen lässt sich oft ein geeigneter Funktionstyp für die vorliegenden Daten nicht einmal erahnen. Derartige Situationen verlangen nach Methoden mit mehr Flexibilität, weil die Annahme einer parametrischen Funktionenklasse sonst zu einer Zwangsjacke wird, die den Daten eine bestimmte Struktur aufzwingt und andere mögliche Strukturen von vornherein per Annahme ausschließt – ein Widerspruch zu den Prinzipien einer explorativen Datenanalyse und eines entdeckenden Lernens.

Joachim Engel

Kapitel 7. Nichtparametrische Methoden zum Kurvenschätzen

Zusammenfassung

In vielen Studien der empirischen Wissenschaften gilt das erklärte Interesse dem funktionalen Zusammenhang zwischen zwei oder mehrerer beobachteter Variablen. Zur Untersuchung des funktionalen Zusammenhanges zwischen zwei Variablen oder Merkmalen x und y werden zu n vorgegebenen Werten x1,..., xn (Dosierungen, Zeitpunkten etc.) dazugehörige Werte y1,..., yn gemessen. Diese Situation ist typisch für viele Experimente der Naturwissenschaften, es trifft aber auch auf Zeitreihendaten in der Ökonomie zu, z.B. bei Beobachtungen zu gegebenen Zeitpunkten von Trends in Arbeitslosenzahlen oder Kursentwicklungen von Aktien. Es wird dann ein Experiment oder eine Erhebung geplant, bei der zu gegebenen Werten der Designvariable x die Reaktion oder Responz y beobachtet wird.

Joachim Engel

Backmatter

Titel: Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion.
verfasst von: Joachim Engel
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-540-89087-4
Print ISBN: 978-3-540-89086-7
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-89087-4

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Über dieses Buch

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Was heißt: "Mathematik anwenden?"

Kapitel 2. Standardmodelle und Naturgesetz

Kapitel 3. Lass die Daten sprechen

Kapitel 4. Die Grenzen des Wachstums

Kapitel 5. Verrauschte Signale und funktionale Modelle

Kapitel 6. Durch Glätten der Daten zur Funktion

Kapitel 7. Nichtparametrische Methoden zum Kurvenschätzen

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