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Erschienen in:
28.04.2022
Birth–death fluid queues and orthogonal polynomials
Erschienen in: Queueing Systems | Ausgabe 3-4/2022
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Excerpt
We consider a fluid queue as, e.g., in [1], but driven by a birth–death process \(\{X(t), t\ge 0\}\) which has an infinite state space \({\mathbb N}=\{0, 1, \ldots \}\). The birth and death rates \(\lambda _i\) and \(\mu _{i+1}\), \(i\in {\mathbb N}\), are such that \(p_i=\lim _{t \rightarrow \infty } P[X(t)=i]=\pi _i/\left( \sum _{j\in {\mathbb N}}\pi _j\right) \) exists, where
$$\begin{aligned} \pi _i=\prod _{j=0}^{i-1}\frac{\lambda _j}{\mu _{j+1}},\ i\in {\mathbb N}, \qquad \text{ with }\ \sum _{i\in {\mathbb N}}\pi _i&<\infty \ \text{ and } \sum _{i\in {\mathbb N}}(\lambda _i\pi _i)^{-1}=\infty . \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} F_i(y) \equiv \lim _{t\rightarrow \infty } P[X(t)=i,\ C(t)\le y],\quad \ y \ge 0, \ i \in {\mathbb N}, \end{aligned}$$