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2014 | Buch

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Brückenkurs Mathematik

für Studieneinsteiger aller Disziplinen

verfasst von: Guido Walz, Frank Zeilfelder, Thomas Rießinger

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch erspart Ihnen die Einstiegsprobleme in die Mathematik, indem es Ihnen auf unterhaltsame Weise eine Brücke baut, die Sie sanft über alle Untiefen hinweg ins Innere der Hochschulmathematik hineingeleitet. Die Brücke beginnt auf der einen Seite beim einfachen Zahlenrechnen, wie es Ihnen vermutlich in der Mittelstufe schon begegnet ist, und führt Sie hinüber bis zu den Grundlagen von Linearer Algebra, Differenzialrechnung und Wahrscheinlichkeitsrechnung, die die Hauptinhalte Ihrer ersten Semester darstellen werden. Diesen Inhalten werden Sie dort immer gegenüber stehen, und bei deren Behandlung können Sie dann beruhigt sagen: "Kenn' ich schon!"

Zu jedem Kapitel finden sich Übungsaufgaben, mit deren Hilfe die vermittelten Inhalte eingeübt und vertieft werden können.

Neu in die 4. Auflage aufgenommen ist ein Kapitel zur deskriptiven Statistik.

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Elementare Rechenmethoden

Zusammenfassung

Bevor man in die höheren Sphären der Mathematik aufsteigt, sollte man zunächst sicher sein, dass der Umgang mit den elementaren Rechenverfahren kein Problem darstellt. In diesem ersten Kapitel will ich daher zunächst einmal die Grundrechenarten, insbesondere das Bruchrechnen, nochmals in Erinnerung rufen sowie den Umgang mit Termen, Klammern und sonstigen mathematischen Symbolen und Notationen üben.

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

2. Grundlegendes über Funktionen

Zusammenfassung

Für die meisten Menschen beginnt die „richtige“ Mathematik beim ersten Auftreten von Funktionen: Sobald man ein Funktionsschaubild hinzeichnen und Verläufe von Funktionen bestimmen kann, geht ihnen das mathematische Herz auf. Ich muss gestehen, dass ich auch nicht ganz frei bin von dieser Denkweise, wenngleich ich betonen will, dass all das, was Gegenstand des ersten Kapitels war, durchaus ernst zu nehmende Mathematik ist. Aber dennoch will ich gern einstimmen in den Chor derer, die sagen: „Jetzt geht’s richtig los!“

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

3. Gleichungen und Ungleichungen

Zusammenfassung

Neben dem Begriff der Funktion, mit dem Sie sich im letzten Kapitel herumgeschlagen haben, ist derjenige der Gleichung bei vielen Menschen fast als Synonym für ″Mathematik″ zu finden. Man spricht beispielsweise in Politik und Verwaltung von ″Gleichungen mit mehreren Unbekannten″, von ″Gleichungen, die nicht aufgehen″ und so weiter. Den bei mir obligatorischen Seitenhieb auf Politiker und ihre Fähigkeiten zum mathematischen, also logischen Denken, verkneife ich mir jetzt, wir müssen ja weiterkommen.

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

4. Geometrie

Zusammenfassung

Schon seit alters her haben sich die Menschen mit Dreiecken, Vierecken und allgemeineren Figuren wie zum Beispiel Kreisen und Ellipsen intensiv beschäftigt. Der Grund hierfür ist sicherlich nicht, dass man damals sehr viel mehr Freizeit hatte und an die Erfindung des Fernsehens noch lange nicht zu denken war. Vielmehr traten solche Figuren in sehr vielen Situationen des täglichen Lebens auf und die Beherrschung dieser Objekte erlaubte es, mit den eingeschränkten Ressourcen hauszuhalten, um mit halbwegs vertretbarem Arbeitseinsatz ein damals im Allgemeinen karges Leben zu bestreiten. Insbesondere entwickelten die alten Griechen Kenntnisse über die Längen- und Winkelverhältnisse solcher, ebene Figuren genannten, Objekte, um beispielsweise die Länge eines zu bauenden Kanals, Distanzen zwischen weiter entfernten Orten, die Höhe eines zu erstellenden Gebäudes oder aber auch die Fläche eines zu bewirtschaftenden Grundstücks geeignet einschätzen zu können.

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

5. Einführung in die Lineare Algebra

Zusammenfassung

Inzwischen sind Sie doch schon ein ganz schönes Stück weitergekommen. Sie haben sich an die alten unangenehmen Dinge wie Vorklammern, Ausmultiplizieren oder auch Logarithmen erinnert, Sie haben gesehen, wie man mit bestimmten Funktionen umgeht, Sie wurden mit verschiedenen Arten von Gleichungen traktiert und sogar ein wenig Geometrie wurde Ihnen geboten. Das war gar nicht mal so wenig, und wenn Sie einmal genauer hinsehen, dann werden Sie feststellen, dass die ersten drei der bisherigen Kapitel eine deutliche Gemeinsamkeit haben: Überall, selbst bei der Besprechung der elementaren Rechenmethoden, mussten wir den Bereich des reinen Zahlenrechnens verlassen und stattdessen auf das Rechnen mit Buchstaben zurückgreifen. Sicher mag das Rechnen mit konkreten Zahlen angenehmer sein, aber wenn es beispielsweise darum geht, allgemeine Regeln zu formulieren oder irgendwelche Formeln zu vereinfachen, kommt man um das Rechnen mit den so genannten Variablen einfach nicht herum. Im Allgemeinen bezeichnet man dieses Buchstabenrechnen mit dem alten Begriff „Algebra“.

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

6. Differenzial- und Integralrechnung

Zusammenfassung

In Kapitel 2 wurden wichtige mathematische Objekte behandelt: Funktionen. Die dort beschriebenen Dinge haben Sie sich inzwischen sicherlich noch einmal etwas verinnerlicht. Das ist auch gut so, denn ich möchte mich jetzt mit den analytischen Eigenschaften von reellwertigen Funktionen beschäftigen. Damit meine ich, dass ich gemeinsam mit Ihnen klären möchte, wie man natürliche Fragen der folgenden Art beantworten kann: Wie kann man die Steigung einer Funktion mathematisch beschreiben? An welchen Stellen werden die Werte einer Funktion am größten? Wie kann der Graph einer Funktion gezeichnet werden? Wie groß ist die Fläche, die der Graph einer Funktion mit der x-Achse umschließt?

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

7. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zusammenfassung

Die Wahrscheinlichkeitstheorie oder, etwas pragmatischer bezeichnet, Wahrscheinlichkeitsrechnung ist für mich schon immer der geheimnisvollste, geradezu mystischste Teil der Mathematik. Das soll Sie jetzt keinesfalls er- oder gar abschrecken, im Gegenteil will ich Ihre Neugierde wecken. Die Bezeichnung ″geheimnisvoll″ bezieht sich nämlich in keiner Weise auf die harten mathematischen Fakten, mit denen man es in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun hat, sondern vielmehr auf die verblüffende Tatsache, dass die solchermaßen errechneten Ergebnisse mit der realen Welt wirklich etwas zu tun haben. Oder sind Sie nicht verblüfft, wenn Sie am Wahlabend, nur wenige Minuten nach Schließung der Wahllokale und nach Auszählung von nur ganz wenigen Wahlkreisen bereits auf ein Prozent genau das Gesamtergebnis erfahren können? (Nur Ketzer vermuten, dass die restlichen Stimmen meist gar nicht mehr ausgezählt werden und der Wahlleiter das Endergebnis nach ein paar Stunden auf Basis der ersten Hochrechnung festlegt.)

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

8. Deskriptive Statistik

Zusammenfassung

Winston Churchill wird gerne der Satz zugeschrieben, er traue keiner Statistik, die er nicht selbst gefälscht habe. Das ist zwar gut formuliert, hat aber die eine oder andere Schwäche, denn erstens war Churchill Soldat, Politiker und Historiker – aber kein Statistiker, der von der Sache etwas verstanden hätte. Und zweitens, was deutlich schwerer wiegt, hat man trotz langer Suche keinen Beleg dafür finden können, dass er einen Satz dieser Art jemals von sich gegeben hat; tatsächlich geht man heute davon aus, dass Goebbels ihn im Verlauf des Zweiten Weltkriegs verbreitet und Churchill in die Schuhe geschoben hat, um ihn als gewohnheitsmäßigen Lügner zu diskreditieren. Für Churchill mag das tröstlich sein, am eher zweifelhaften Ruf der Statistik wird diese Erkenntnis jedoch wenig ändern.

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

9. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Ein wichtiges Thema der ersten Kapitel war das Wurzelziehen, es wurden viele Beispiele und Übungsaufgaben gemacht, und so irgendwie wurde Ihnen dabei wohl auch das Gefühl vermittelt, Sie könnten nun schon Wurzeln aus allen reellen Zahlen berechnen. Das war gelogen.

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

10. Formelsammlung

Thomas Rießinger, Guido Walz, Frank Zeilfelder

Backmatter

Titel: Brückenkurs Mathematik
verfasst von: Guido Walz
Frank Zeilfelder
Thomas Rießinger
Copyright-Jahr: 2014
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-41564-7
Print ISBN: 978-3-642-41563-0
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-41564-7

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