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Erschienen in:
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2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. Der Finitismus in der griechischen Mathematik

verfasst von : Ulrich Felgner

Erschienen in: Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit

Verlag: Springer International Publishing

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Zusammenfassung

In der heutigen Mathematik ist das Unendliche fast überall gegenwärtig, und so, wie es Herrmann Weyl beschreibt, kann man es kaum besser sagen:

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Fußnoten
1
Kategorematisch ist ein Ausdruck, der für sich allein eine Idee bezeichnet und daher für sich allein aussagekräftig ist. Synkategorematisch wird ein Ausdruck genannt, der für sich allein noch keinen Gedanken ausdrückt und nur dazu dient, eine andere Idee zu modifizieren. Κατηγόρημα ist der Gegenstand der Rede, also das, was angesprochen wird. Κατηγορέω heißt „ich zeige an“.
 
2
Schon Demokrit (ca. 460–370 v. u. Z.) hatte für das Volumen einer Pyramide die Formel „Grundfläche mal Höhe dividiert durch 3“ angegeben. Einen exakten Beweis hat aber erst Eudoxos, der von etwa 400 bis 347 v. u. Z. lebte, mit der Exhaustions-Methode gegeben – siehe Euklid: ‚Elemente‘, Buch 12, § 10. Siehe aber auch Dehns Lösung des dritten Hilbert’schen Problems: Max Dehn: ‚Über raumgleiche Polyeder‘, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1900, S. 345–354, sowie Max Dehn: ‚Raumteilungen‘, Math. Ann. 55 (1900), S. 465–478.
 
3
Proklos schreibt in seinem Euklid-Kommentar (op. cit., S. 294), daß das Parallelen-Postulat nur eine Eigenschaft von rechten Winkeln wiedergibt, aber die postulierte Existenz des Schnittpunktes in keiner Konstruktion verwendet wird.
 
4
Pindar in der 2. und in der 13. ‚Olympischen Hymne‘, Platon im ‚Euthydemos‘, 294b, Kallimachos in den Hymnen H3, Zeile 253, sowie H4, Zeilen 28 und 175, Catull in den Gedichten 7 und 61 etc., Ovid, Tristia I,5 und der ‚Liebeskunst‘ und später wieder bei Christoph Martin Wieland in seinem ‚Musarion‘, etc.
 
5
Beweis: Sei p Primzahl und sei q ein Primteiler von 2p–1. Dann ist (nach dem kleinen Fermat’schen Satz) 2q–1 ≡ 1 (mod q). Sei r die kleinste natürliche Zahl so, daß q ein Teiler von 2r–1 ist, also r ≤ q–1 und r ≤ p. Dann ist q –1 = xr + y (Division mit Rest) mit y < r. Also 1≡2q–1≡ (2r)x⋅2y≡2y (mod q). Da r minimal gewählt war, muß y = 0 gelten. Division mit Rest liefert p–r = ar + b (mit 0 ≤ b < r). Aus 2p≡1≡2r (mod q) folgt dann 1≡2p–r≡ (2r)a⋅2b≡2b (mod q). Da r minimal gewählt war, muß b = 0 gelten. Also p = (a +1)r. Da p Primzahl ist, muß a = 0 oder r =1 gelten. Aber es ist r ≥ 2. Somit gilt a = 0 und daher p = r, also auch q–1 = xr = xp ≥ p, also q > p, und alles ist bewiesen.
 
Literatur
Archimedes: ‘Opera Omnia, cum Commentarii Eutochi, iterum edidit Johan Lvdvig Heiberg’, 4 Bände, Teubner Verlag Leipzig, Band 1: 1910; Band 2: 1913; Band 3: 1915, Band 4: 1975.
Euklid: ‘Die Elemente’, übersetzt von Clemens Thaer. Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1962.
Hankel, Hermann: ‘Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter’, Leipzig, 1874.
Heiberg, Johann Ludwig: ‘Geschichte der Mathematik und Naturwissen-schaften im Altertum’, Handbuch der Altertumswissenschaft, 5. Band, München 1925.
Hintikka, Jaakko: ‘Aristotelian infinity’. Philosophical Review, Band 75 (1966), pp. 197–218.
Lear, J.: ‘Aristotelian infinity’. Proceedings of the Aristotelian Society, N.S., Band 80, (1979/1980), pp. 187–210.
Nesselmann, G.H.F.: ‘Die Algebra der Griechen’, Berlin 1842. Nachdruck: Minerva GmbH Frankfurt/M., 1969.
Plotin: ‘Schriften’, Band IIIa, Übersetzt von R. Harder, R. Beutler und W. Theiler, F. Meiner Verlag Hamburg, 1964.
Proklus Diadochus: ‘Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen’, Edition P.L. Schönberger und Max Steck, Halle (Saale) 1945.MATH
Reiche, L. : ‘Das Problem des Unendlichen bei Aristoteles’. Dissertation an der Universität Breslau (Schlesien), 1911.
Weyl, Hermann: ‘Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft’, Oldenbourg Verlag München, 1927.
Yamamoto, Susumu: ‘Beitrag zur Euklid-Forschung: Ein Quellenstudium über den finiten Charakter der griechischen Mathematik’, Commentarii Math. Univ. Sancti Pauli (Tokyo), Band 1 (1952), pp. 59–66.
Metadaten
Titel
Der Finitismus in der griechischen Mathematik
verfasst von
Ulrich Felgner
Copyright-Jahr
2020
Buch
Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit

Print ISBN: 978-3-030-35933-1

Electronic ISBN: 978-3-030-35934-8

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_5