Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection

Derivate wie Optionen und Futures sind heute feste Bestandteile der Finanzwelt. Das war nicht immer so, obwohl sie bereits eine recht lange Historie haben. Berichte über die Geschichte des Optionshandels führen in der Regel den Tulpenhandel in Holland zu Beginn des 17. Jahrhunderts als erste Blütezeit an. In jener Zeit der Tulpenmanie sicherten sich Tulpenzüchter durch den Kauf von Verkaufsoptionen gegen fallende Preise ab. Aber die Sicherheit erwies sich als trügerisch, als der Tulpenmarkt 1637 zusammenbrach und die Optionsverkäufer ihre Verpflichtungen nicht erfüllen konnten. In der Folgezeit erlosch der Optionshandel zwar nicht ganz, hatte aber über lange Zeit in Europa einen schlechten Ruf. Aufgrund fehlender gesetzlicher Bestimmungen war er immer wieder von Unregelmäßigkeiten begleitet und in einzelnen Ländern (u.a. Deutschland) war er zeitweise sogar verboten. Der große Aufschwung kam in den siebziger Jahren des zwangzigsten Jahrhunderts. Eine besondere Bedeutung hat hierbei das Jahr 1973. In dieses Jahr fällt sowohl die für die Verbreitung des Optionshandels sehr wichtige Eröffnung der amerikanischen Terminbörse CBOE (Chicago Board Options Exchange) als auch die Veröffentlichung der berühmten Arbeit von Fischer Black und Myron Scholes [6], die für die Optionspreisfindung den Durchbruch bedeutete und für die Myron Scholes zusammen mit Robert Merton 1997 den Nobelpreis erhielt (F. Black war da bereits verstorben). In der Folge kam es zu einer raschen Ausweitung des Derivatehandels und am Ende des Jahres 2000 konnte die bedeutendste europäische Terminbörse EUREX auf 454 Millionen abgeschlossenen Kontrakte zurückblicken (Eigenangabe Eurex).

In diesem Kapitel wird nach der Definition des Begriffs der Arbitrage zunächst die Arbitrage-Preistheorie vorgestellt, die wie das CAPM ein Kapitalmarktpreismodell ist. Der nähste Abschnitt leitet dann aber schon zum Hauptanliegen dieses Buches über, der Bewertung von Derivaten. Hierzu werden zunächst Forwards und Futures vorgestellt und anschließend mit Hilfe elementarer Arbitrageargumente bewertet. Hierbei kommt der Arbitragebegriff in seiner rigorosen Form zur Anwendung, wohingegen er in der Arbitrage-Preistheorie sehr weitläufig ausgelegt wird.

Optionen sind — wie der Name bereits andeutet — vertraglich vereinbarte Rechte, die der Optionskäufer vom Optionsverkäufer, dem sogenannten Stillhalter, erwirbt. Im Gegensatz zu unbedingten Termingeschäften, wie Futures und Forwards, für die zu Beginn der Laufzeit keine Prämienzahlung erforderlich ist, handelt es sich bei Optionen um bedingte Termingeschäfte (contingent claims), denn der Optionskäufer kann auf die Ausübung seines Rechts verzichten. Da also mit dem Erwerb einer Option seitens des Käufers nur Rechte aber keine Pflichten verbunden sind, zahlt der Optionskäufer dem Stillhalter für die eingeräumten Rechte eine Prämie.

In diesem Kapitel untersuchen wir, unter welchen Bedingungen ein System von m Anlageformen A ₁, ..., A _m arbitragefrei ist. Im Gegensatz zu dem Kapitel über das CAPM denken wir bei diesen Anlageformen aber nicht an eigenständige „genuine“ Anlageformen wie z.B. unterschiedliche Aktien, sondern an Wertpapiere, zwischen denen eine mehr oder weniger klare Abhängigkeit besteht wie z.B. einer Aktie und allen Optionen und sonstigen Derivaten zu der Aktie. In einem größeren Rahmen kann so ein System auch aus mehreren Aktien und ihren Derivaten bestehen und auch Derivate enthalten, deren Wert von mehreren Basiswerten abhängt. Denkbar — wenn auch praktisch nicht mehr beherrschbar — ist es auch, die Gesamtheit aller weltweit gehandelten Wertpapiere und ihre sämtlichen Derivate in einem solchen System zusammenzufassen.

In den einführenden Kapiteln zu Termingeschäften und Optionen sind wir mit Hilfe elementarer Arbitrageüberlegungen zu einer Preisbestimmung von Forwards und Futures gelangt, konnten bei Calls und Puts aber nur grobe Preisgrenzen ermitteln. Jetzt werden auf der Basis der Ergebnisse des letzten Kapitels Modelle vorgestellt, die es erlauben, auch europäische (und wie wir später sehen werden ebenfalls amerikanische) Optionen auf Grund von Arbitrageargumenten zu bewerten. Die Ergebnisse sind innerhalb der Modelle genauso schlüssig wie die Überlegungen der Kapitel 3 und 4, haben aber (wie alle bekannten Modelle zur Optionspreisfindung) den Nachteil, dass sie Annahmen über den zukünftigen Kursverlauf des Basiswerts beinhalten, die sich im Vorhinein nicht mit Sicherheit bestimmen lassen. Eines der Modelle ist das Binomialmodell von Cox, Ross und Rubinstein, das mit Hilfe einer Grenzwertbetrachtung bereits zur berühmten Black-Scholes-Formel führt.

Bisher haben wir im Zusammenhang mit der Derivatebewertung ausschließlich endliche diskrete Modelle betrachtet. Diese sehen in einem begrenzten Zeithorizont endlich viele Handelszeitpunkte mit jeweils endlich vielen möglichen Aktienkursen vor. Wie schon mehrfach erwähnt, ist dieser Ansatz eigentlich allgemein genug, um die reale Welt hinreichend genau abzubilden. Denn man bleibt im Rahmen eines endlichen Modells, wenn man z.B. vorsieht, dass es in einer Millisekunde eine Million Handelszeitpunkte gibt, an denen der Wert einer Aktie jeweils irgendeinen Wert zwischen 0 und <inline>10¹⁰¹⁰</inline> Euro annimmt, gestuft in Milliardstel-Cent-Schritten. Dass mit einem solchen Modell selbst die modernsten Computer überfordert wären, ist eine andere Frage. Vom Grundsatz her sind die Möglichkeiten, die endliche diskrete Modelle bieten, also absolut ausreichend. Dennoch wollen wir jetzt den Modellrahmen erweitern und zulassen, dass zu jedem Zeitpunkt t eines Zeitintervalls [t ₀ , T] gehandelt werden kann, und der Aktienkurs jeden Wert — also jede positive reelle Zahl — zwischen null und unendlich annehmen kann. Hierfür gibt es verschiedene Gründe, von denen die aufwendige numerische Behandlung komplexer endlicher Modelle nur einer ist. Schon die Grenzuntersuchungen zum CRR-Modell haben erkennen lassen, dass es durchaus vorteilhaft sein kann, den Modellrahmen wie angegeben zu erweitern. Man gelangt so in die Welt, in die die Black-Scholes-Formel eigentlich gehört. Das zugehörige Modell soll in diesem Kapitel eingeführt und besprochen werden.

Zur Bewertung amerikanischer Optionen werden wir vor allem Binomialmodelle betrachten, wobei wir uns fast ausschließlich auf Puts beschränken. Über den Grenzprozess der CRR-Modelle sind dann wieder Aussagen zum Black-Scholes-Modell möglich. Zentrales Ergebnis ist hier eine analytische Bewertungsformel für amerikanische Puts. Im letzten Abschnitt wird der Einfluss von Dividendenzahlungen (nicht nur) auf amerikanische Optionen untersucht.

In diesem Kapitel wenden wir uns wieder ganz dem Black-Scholes-Modell und verwandten stetigen Modellen zu, um das Prinzip der Derivatebewertung in diesen Modellen weiter auszuleuchten. Hierzu wird zunächst auf die Rolle der risikoneutralen Welt oder präziser des äquivalenten Martingalmaßes eingegangen. Der Begriff des Marktpreises des Risikos erlaubt es anschließend, auch Aussagen zu Derivaten zu treffen, die von Größen abhängen, die keine Anlageformen sind. Im Zusammenhang mit Währungsderivaten gelangen wir anschließend zu der Fragestellung, welchen Einfluss die Heimatwährung und ihr Cashbond auf die Derivatebewertung haben und stoßen dabei fast automatisch auf die Technik des Numerairewechsels. Den Abschluss des Kapitels bildet eine Einführung in Quantos, deren korrekte Behandlung bereits ein sehr gutes Modellverständnis erfordert. Dies ist gleichzeitig die erste Begegnung mit exotischen Derivaten in diesem Buch.

Auf die Bewertung von Zinsderivaten gehen wir nur in knapper Form ein. Eine ausgezeichnete ausführlichere Darstellung findet man in [2], die allerdings die Martingalsprache, also Terminologie und Ergebnisse des letzten Kapitels dieses Buchs benutzt. Eine ebenfalls ausführliche Darstellung unter Umgehung dieser Terminologie enthält [29], aber gerade bei Zinsderivaten stößt diese „martingalfreie“ Beschreibung doch deutlich an ihre Grenzen.

Die einfachen Kauf- bzw. Verkaufoptionen europäischen oder amerikanischen Ausübungsstils werden auch als plain vanilla options — oder kurz: Plain-Vanillas — bezeichnet. Optionsvarianten, die sich nicht durch endliche Kombinationen bereits bekannter Instrumente — wie Futures und Standardoptionen — darstellen lassen, können in der Rubrik exotische Optionen zusammengefasst werden. Ausgehend von Plain-Vanillas erhält man exotische Optionsvarianten, indem man entweder den Ausübungsstil oder das Auszahlungsprofil ändert.

In diesem Kapitel sollen die mit stochastischen Prozessen verbundenen mathematischen Begriffsbildungen vorgestellt und erläutert werden, insofern sie für die Anwendungen in der Finanzmathematik, insbesondere der Bewertung von Derivaten, von Bedeutung sind. Dies ist nicht ganz unproblematisch, da es sich hierbei um recht abstrakte technisch anspruchsvolle und umfangreiche Konzepte handelt. Der Leser soll daher auch nicht gezwungen sein, dieses Kapitel zu lesen, es ist für das Verständnis der übrigen Kapitel nicht unbedingt erforderlich. Es ist durchaus möglich, die grundlegenden Ideen der Derivatebewertung zu vermitteln, ohne allzu tief in die mathematische Begriffsbildung einzudringen. Dies gelingt z.B. in dem Buch von Hull [29], das schon vielen den Einstieg in die Thematik ermöglicht hat, in ganz ausgezeichneter Weise, und die Autoren dieses Buches hoffen, dass das auch anhand der übrigen Kapitel dieses Werks einigermaßen möglich ist. Dennoch: Verzichtet man auf den Einstieg in die mathematische Begriffs- und Gedankenwelt, so wird man auf dem Gebiet der Derivatebewertung nur eingeschränkt aktiv und souverän agieren können. Die Probleme beginnen schon bei der Lektüre einer Reihe von Originalarbeiten, die die mathematische Terminologie völlig selbstverständlich voraussetzen. Das wäre nicht so schlimm, würde es nur dazu führen, dass man die Beweise nicht versteht. Viel problematischer ist, dass man Mühe haben wird, die Ergebnisse so weit zu verstehen, dass man sie korrekt verwenden kann. Hier liegt der Ansatzpunkt dieses Kapitels: Das Ziel ist es, die mathematischen Begriffsbildungen und Ergebnisse vorzustellen, zu erläutern und zu motivieren.