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Erschienen in:
2022 | OriginalPaper | Buchkapitel
43. Die Jordannormalform I
verfasst von : Christian Karpfinger
Erschienen in: Höhere Mathematik in Rezepten
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Nicht jede quadratische Matrix \(A \in \mathbb {R}^{n \times n}\) ist diagonalisierbar. Zerfällt aber das charakteristische Polynom \(\chi _A\) in Linearfaktoren, so existiert zumindest eine Schurzerlegung (siehe Kap. 42). Die Jordannormalform ist gewissermaßen eine Verbesserung der Schurzerlegung: Sie existiert unter denselben Voraussetzungen wie die Schurzerlegung und ist eine besonders einfache obere Dreiecksmatrix: Sie hat abgesehen von einigen Einsen auf der oberen Nebendiagonalen Diagonalgestalt. Das Wesentliche ist nun, dass zu jeder komplexen Matrix A eine solche Jordannormalform J existiert. Das Bestimmen der A auf Jordannormalform J transformierenden Matrix S, das ist die Matrix S mit \(J = S^{-1} A \, S\), ist etwas aufwendig: Der erste Schritt dazu ist das Bestimmen der verallgemeinerten Eigenräume. Das erledigen wir im vorliegenden Kapitel, im nächsten Kapitel zeigen wir, wie man hieraus S erhält.