Die Schwankungen makroskopischer additiver Größen

Nach den Ausführungen des vorigen Kapitels sind Mittelwerte und Schwankungen wichtige Bestimmungsgrößen einer statistischen Gesamtheit. In der statistischen Mechanik handelt es sich nun um Gesamtheiten, die Systeme mit vielen Freiheitsgraden beschreiben. In diesem Fall kann man mit Hilfe des schon im Kap. 2 erwähnten „Gesetzes der großen Zahlen“ wichtige allgemeine Aussagen über die Schwankungen sog. „additiver Größen“ machen. Wir wollen in diesem Kapitel eine möglichst allgemeine Begründung dieses Gesetzes geben. Es wurde 1713 von Jakob Bernoulli in seiner Ars conjectandi formuliert und von Tschebischev 1867 verallgemeinert [4.1]. Es besagt, daß das Schwankungsquadrat einer Summe von N statistisch unabhängigen Größen selbst proportional zu N anwächst. Die Schwankung selbst wächst also nur proportional zu $$\sqrt N $$. Da die Mittelwerte selbst auch proportional zu N anwachsen, nehmen die relativen Schwankungen (Schwankung/Mittelwert) mit 1/$$\sqrt N $$ ab.