5. Die Zykloide (Die „Helena der Geometer“)

Der Aachener Arzt Johannes Scoblant war mit Cusanus befreundet.

Das Manuskript gehörte ursprünglich John Dee und gelangte dann über verschiedene Stationen in die Hände von Wallis, der es 1696 der Savilian Library übergab. Es blieb dann während langer Zeit unauffindbar, bis es von Raymond Klibansky in der Bodleian Library (Ms. Savile 55) wiederentdeckt wurde.

Ließe man also den Kreis auf der Tangente FG nach rechts abrollen, so würde der Punkt D nicht genau auf G zu liegen kommen.

Seconde partie de l’Harmonie universelle, Paris 1637, S. 25 der (unabhängig paginierten) Nouvelles observations.

Näheres dazu im Abschn. 5.6.

OT, III, Nr. 54. – Näheres zu dieser Liste im Kap. 10.

CM, XII, Nr. 1204. – Veröffentlicht 1693 in Divers ouvrages de mathématique et de physique par Messieurs de l’Académie Royale des Sciences, S. 349–355 und 1730 in Mémoires de l’Académie Royale des Sciences depuis 1666 jusqu’à 1699, t. VI.

Von griech. \(\tau \!\rho o\chi o\varsigma \) = Rad.

Jean de Beaugrand (1584?–1640), königlicher Sekretär, war Mitglied der Académie Mersenne in Paris und stand im Kontakt mit dem Kreis der Mathematiker um Fermat. 1635 bereiste er Italien, wo er u. a. mit Cavalieri, Castelli und Galilei zusammentraf.

Wir werden später noch ausführlicher auf diese Verdächtigung eingehen.

OT, III, Nr. 56, S. 134, Anm. 4. – Zu den Zeugen gehörten u. a. der Florentiner Senator Andrea Arrighetti und Vincenzo Viviani (siehe Abschn. 5.6). Es sind allerdings keine Schriften Galileis zur Zykloide erhalten geblieben.

Eine auf folgendem Prinzip beruhende Regel: Die aus zwei geradlinigen, gleichförmigen Bewegungen resultierende Bewegung ist wiederum geradlinig und gleichförmig; ihre Richtung ist bestimmt durch die Diagonalen eine Parallelogramms, dessen Seiten im gleichen Verhältnis stehen wie die Geschwindigkeiten der beiden gegebenen Bewegungen.

Unter dem Titel Observations sur la composition des mouvemens, et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes in der Sammlung Divers ouvrages de mathématique et de physique par Messieurs de l’Académie Royale des Sciences, Paris, 1693, S. 69–111.

OT, III, Nr. 76; CM, XIII, Nr. 1269

https://​www.​digitale-sammlungen.​de/​de/​view/​bsb10525688. – Die Bayerische Staatsbibliothek besitzt daneben auch die Ausgabe vom 15. Sept.: ... bsb10525691.

Dieses Verhältnis ist nicht exakt, wie Roberval bemerkt hat; er gibt das korrekte Verhältnis an (Näheres s. u.).

Also wie \(11\pi \) : 45. Es wurde darauf hingewiesen (CM, XIII, Nr. 1269, S. 116, Anm. 1), dass dieses Verhältnis richtig ist unter der Annahme, dass das vorgenannte Verhältnis 11 : 18 stimmt. Letzteres ist aber ungenau, wie Roberval festgestellt hat.

Der Abstand des Schwerpunkts zur Achse beträgt nach Torricelli somit \(11\pi /27\). Wie Roberval gezeigt hat, ist er aber gleich \(\frac{9\pi ^{2}-16}{18\pi }\).

Wir werden auf diesen Brief später zurückkommen.

Siehe Anm. 38.

Das wahre Verhältnis ist gleich 11 : 17.8889...

Brief vom 1. Januar 1646 (OT, III, Nr. 165; CM, XIV, Nr. 1415).

Setzt man den von Roberval gefundenen Wert gleich jenem von Torricelli, so ergibt sich in der Tat \(5\pi {2}\) = 48, d. h. \(\pi = 12/\sqrt{15} = 3.098\ldots \)

OT, III, Nr. 180; CM, XIV, Nr. 1487.

In seinem Brief an Mersenne von Ende Juli 1644 (OT, III, Nr. 86; CM, XIII, Nr. 1287) hatte Torricelli behauptet, Beweise für die Bestimmung der Schwerpunkte der Zykloide und der Halbzykloide zu besitzen und dazu geschrieben: «... schicke ich den einen von ihnen, nämlich [jenen] für die Zykloide; den anderen verschweige ich, weil von diesem der Beweis für den Rotationskörper um die Achse abhängt.» Das Original des Briefes ist nicht erhalten; in der in Florenz befindlichen Kopie von Serenais Hand fehlt leider der angekündigte Beweis für den Schwerpunkt der Zykloide.

Brief vom Februar 1645 (OT, III, Nr. 126): «Ich gestehe, dass die Schwerpunkte der Körper dieser um ihre Achse gedrehten Parabeln nicht in jenen Proportionen stehen, wie ich sie angegeben hatte; es war aber notwendig, dass ich unter so vielen von mir bewiesenen wahren Theoremen eines einfügte, um so herauszufinden, ob jemand anderer einen Beweis dafür habe». Es handelt sich dabei um das Problem Nr. XXXII des Racconto d’alcuni problemi (eine Liste von Propositionen, die Torricelli (ohne die Beweise) nach Frankreich gesandt hatte. Näheres dazu im Kap. 10). In der in Florenz verbliebenen Kopie der Liste sind allerdings unter der Nr. XXXII die korrekten Proportionen angegeben. Das Original der nach Frankreich gesandte Liste ist offenbar nicht erhalten geblieben.

Antonio Santini (1577–1662), Pater des 1532 im oberitalienischen Somasca gegründeten Somaskenordens (Padri somaschi) und Schüler Galileis in Padua. 1644-62 war er Professor der Mathematik auf Castellis Lehrstuhl an der „Sapienza“ in Rom. Er behauptete u. a. die Verdoppelung des Würfels, die Quadratur des Kreises, die Trisektion des Winkels und die Konstruktion von regulären Polygonen mit beliebiger Seitenzahl gelöst zu haben.

Der Brief (OT, III, Nr. 215; CM, XV, Nr. 1723), aus dem wir weiter unten noch ausführlich zitieren werden, wurde allem Anschein nach gar nie abgeschickt. Er wurde erst 1693 im Druck veröffentlicht (siehe Anm. 89 in diesem Kapitel).

«Gleiche Sehnen sind vom [Kreis-]Mittelpunkt gleich weit entfernt, und von Mittelpunkt gleich weit entfernte Sehnen sind gleich.»

Abb. 5.5 rechts: Nimmt man von den beiden Halbkreisen das gemeinsame Segment BGC weg, so sind die beiden grün gefärbten Flächen EFCGB und ABCD gleich groß. Daher sind die beiden gebogenen Dreiecke EBA und CFD zusammen gleich dem Segment BGC.

Die Prosthaphärese („das Hinzufügen und Wegnehmen“) ist auch bekannt als eine im 16. und frühen 17. Jahrhundert verwendete Methode zur vereinfachten Multiplikation mithilfe trigonometrischer Formeln, als Vorläufer des logarithmischen Rechnens.

Ms. Gal. 146, c. 117r–120v (Kopie von der Hand Serenais) und 244r–254v (für den Druck angefertigte Kopie, ohne Figuren); OT, I\(_{2}\), 218–226.

OT, III, Nr. 165; CM, XIII, Nr. 1415

Petrus Ramus (1515–1572), der von 1551 bis 1568 den Lehrstuhl für Philosophie und Rhetorik am Collège de France besetzte, hatte testamentarisch einen Teil seines Vermögens zur Verfügung gestellt, um damit den mathematischen Lehrstuhl am Collège, der infolge einiger Fehlbesetzungen ziemlich an Ansehen verloren hatte, weiterzuführen, wobei er alle drei Jahre durch Ausschreibung eines öffentlichen Wettbewerbs wieder neu besetzt we\(\lnot \)den sollte.

Roberval wiederholte diese Aussage in seinem erst 1693 veröffentlichten Brief an Torricelli (OT, III, Nr. 215; CM, XV, Nr. 1723): «... weil ich euch schon geschrieben habe, dass ich sie [die Proposition über die Zykloidenfläche] vor zwölf Jahren gefunden habe.»

Fermat, der glaubte, dem Beweisgang Robervals auf die Spur gekommen zu sein, schrieb am Schluss seines undatierten Briefes (dessen Datum wohl um den 20. Juli 1638 anzusetzen ist) an Mersenne: «... doch ich glaube, dass die Proposition falsch ist» (OF, Supplément aux tomes I–IV, Paris 1922, S. 87–91 und CM, VII, Nr. 687). – Mit der nächsten Post (27. Juli) korrigierte er sich aber und gab Roberval Recht (ibid., p. 92). – Descartes, der Fermats nicht überlieferten Beweis einsehen konnte, äußerte sich in seinem Brief vom 23. August 1638 an Mersenne wie folgt dazu: «Ich habe den von Herrn Fermat eingesandten angeblichen Beweis zur Roulette genau untersucht [...]. Es ist dies aber der lächerlichste Unsinn, den ich je gesehen habe. In der Tat zeigt er damit, nichts über diese Roulette herausgefunden zu haben, und da er nicht ohne eine Antwort verbleiben wollte, hat er hier eine wirre Abhandlung gegeben, die überhaupt nicht schlüssig ist, in der Hoffnung, dass selbst die Fähigsten sie nicht verstehen und dass die Anderen glaubten, er habe ihn [den Beweis] gefunden. Wenn Herr Roberval sich damit zufrieden gegeben hat, so kann man in gutem Latein wohl sagen: mulus mulum fricat [frei übersetzt: Ein Dummkopf lobt den anderen].» (CD, II, Lettre CXXXVIII, S. 333).

Desargues hatte Beaugrands Géostatique (1636) heftig kritisiert, worauf dieser seinerseits an Desargues’ Brouillon project(1639) bemängelte, dass gewisse seiner Beweise viel direkter mithilfe von Prop. 17 aus Apollonius’ Conica, III, geführt werden könnten. In der 1640 erschienenen Abhandlung Coupe des pierres, perspective, gnomonique schreibt Desargues: «... und die erste Entdeckung der Linie, welche von einem Punkt auf dem Durchmesser eines auf einer Geraden rollenden Kreises erzeugt wird, stammt von Herrn Roberval» (Œuvres de Desargues, éd. M. Poudra, t. I, Paris 1864, S. 355).

Siehe dazu den Anhang E zu diesem Kapitel.

OG, XVIII, Nr. 3972. – Cavalieri hatte am 14. Februar berichtet, ihm seien aus Paris zwei Probleme vorgelegt worden. Das eine betraf die Bestimmung der Zykloidenfläche (OG, XVIII, Nr. 3967).

Torricelli an Roberval, 7. Juli 1646 (OT, III, Nr. 176; CM, XIV, Nr. 1485).

OT, III, Nr. 179 und 180; CM, XIV, Nr. 1486 und 1487.

Mersenne an Torricelli, 24. Juni 1644 (OT, III, Nr. 84; CM, XIII, Nr. 1280).

Mersenne an Torricelli, 26. August 1646 (OT, III, Nr. 183; CM, XIV, Nr. 1509).

Mersenne an Torricelli, 1. März 1647 (OT, III, Nr. 194; CM, XV, Nr. 1683).

Dati [1663, S. 19]. – Näheres zu Carlo Dati im Abschn. 5.6.

Divers ouvrages de mathématique et de physique par messieurs de l’Académie Royale des Sciences, Paris 1693, S. 284–302. – Wieder abgedruckt in Mémoires de l’Académie Royale des Sciences depuis 1666 jusqu’à 1699, tome VI. Paris 1730, S. 363–399; ebenfalls in OT, III, Nr. 215 (mit der Textlücke, auf die wir im ersten Kapitel hingewiesen haben), und in CM, XV, Nr. 1723 (mit demselben Mangel!).

Torricelli an Mersenne, 1. Mai 1644 (OT, III, Nr. 76; CM, XIII, Nr. 1269).

Das Werk ist nicht erschienen oder zumindest nicht erhalten geblieben. Man kennt seinen Inhalt nur aus seiner Beschreibung in den Briefen an Torricelli und an Hevelius. Zum 7. Buch ist immerhin ein Fragment Projet d’un livre de Mécanique traitant des mouvemens composés erhalten, das im Anhang zu Robervals Abhandlung Observations sur la composition des mouvemens veröffentlicht worden ist. Weitere Fragmente sind in einem in der Bibliothèque Nationale in Paris aufbewahrten Manuskript (Fonds latin, Ms. n\(^\circ \) 7226) zu finden. – Siehe dazu Duhem [1906, S. 68 ff.].

Pascal spricht zwar nur davon, ein «unvorhergesehener Umstand» habe ihn veranlasst, sich nach längerer Zeit wieder mit der Geometrie zu beschäftigen. Seine Schwester Gilberte und auch deren Tochter Marguerite berichten aber Genaueres: Gemäss Gilberte soll Pascal an Schlaflosigkeit gelitten haben, während er sich nach Marguerites Darstellung Ablenkung von seinen Zahnschmerzen verschaffen wollte.

Der mit Fermat befreundete Jesuit Antoine de Lalouvère (1600–1664), lat. Lalovera, lehrte u. a. Mathematik am Collège in Toulouse.

Diese Angabe ist falsch: Mersenne hatte dieses Ergebnis erst in einem Brief vom 28. April 1638 an Descartes mitgeteilt. [CM, VII, Nr. 666; OD, II, Nr. CXXI).

Siehe Anm. 72.

«Des personnes très-savantes en Géométrie» schreibt Pascal in seinem ebenfalls anonym veröffentlichten Récit de l’examen & du jugement des Escrits envoyez pour les prix proposez publiquement sur le sujet de la Roulette, où l’on voit que ces Prix n’ont point esté gagnez, parce que personne n’a donné la veritable solution des problesmes. A Paris, le 25 novembre 1658. – Jean Mesnard (OP, IV, S. 183) meint allerdings: «Wenn diese Personen sich nicht einfach auf Pascal und Carcavi beschränkten, so kann man ihnen nur Roberval und vielleicht Mylon zugesellen, vielleicht noch ein paar weniger kompetente Laien, die vor allem als Zeugen dienten».

D.h. gleich dem Vierfachen des Durchmessers des erzeugenden Kreises.

Pascal berichtet über das Vorgehen der Jury ausführlich in seinem Récit (vgl. Anm. 104).

Obschon Lalouvère diese Briefe Pascals vom 4. bzw. 11. September und einen weiteren vom 18. September in der Abhandlung Veterum geometria promota in septem de cycloide libris (Toulouse 1660) veröffentlicht hat, blieben sie in der Folge von den Historikern unbeachtet. Erst Paul Tannery brachte sie wieder ans Tageslicht (Tannery [1889/90, S. 67 ff.]). Lalouvère hat sie, allerdings unvollständig, in einer lateinischen Übersetzung wiedergegeben; der von ihm kopierte französische Text liegt indessen in der Bibliothèque Nationale vor (n\(^\circ \) 2812, f\(^\circ \) 254). Ihre Echtheit kann nicht in Zweifel gezogen werden, hat doch, wie Tannery bemerkt, das erwähnte Buch damals große Beachtung gefunden, und eine allfällige Verfälschung wäre nicht ohne Widerspruch geblieben. – Eine Zusammenfassung mit französischer Übersetzung des Briefes vom 4. September gibt Costabel [1962]. Eine französische Übersetzung der Briefe vom 11. bzw. 18. September findet man bei Bertrand [1891, S. 333–336] sowie in OP, IV, S. 869–871.

Carlo Roberto Dati (1619–1676) war seit 1640 Mitglied der Accademia della Crusca. 1648 kam er auf den Lehrstuhl für klassische Sprachen am Florentiner Studium Generale (Vorläufer der Universität Florenz), als Nachfolger von Giovanni Battista Doni (siehe Kap. 2, Anm. 17). 1663 wurde er zum Sekretär der Accademia della Crusca ernannt; als solcher arbeitete er massgeblich an der dritten Ausgabe des Vocabolario della Crusca mit.

Pascals Histoire de la Roulette wurde anonym veröffentlicht; Dati nennt den Autor daher stets etwas verächtlich den „Historiker“ (lo Storico).

Brief vom 22.9.1643 (OT, III, Nr. 60: CM, XII, Nr. 1218).

Diese Erzählung scheint bestätigt zu werden in einem von Caverni angeblich aufgefundenen Manuskript Dinge des großen Galilei, zum Teil aus den Originalen kopiert und zum Teil mir, Vincenzio Viviani, von ihm, erblindet, diktiert, als ich in seinem Haus in Arcetri wohnte, («Roba del gran Galileo, in parte copiata dagli originali, e in parte dettata da lui cieco a me Vincenzio Viviani, mentre dimoravo nella sua casa di Arcetri») von Vivianis Hand, das in den „Ersten Tag“ der Discorsi eingefügt werden sollte. Salviati sagt darin: «Ich schnitt die Figuren auch aus Metallfolien aus, doch das Gewicht der einen [Figur] erwies sich mir stets als ein wenig kleiner als das Dreifache der anderen.» (Caverni [1891–1900, t. V, S. 439]. Wenn A. Favaro auch die Ansicht vertritt, dass dieses Manuskript (das, von Caverni abgesehen, niemand zu Gesicht bekommen hat) mit großer Wahrscheinlichkeit eine Fälschung von Cavernis Hand ist, so ist es doch nicht auszuschließen, dass es sich dabei um eine Bearbeitung durch Viviani oder durch einen Unbekannten handeln könnte (siehe z. B. P.D. Napolitani, „La geometrizzazione della realtà fisica: il peso specifico in Ghetaldi e in Galileo“, Boll. Storia Sci. Mat. 8 (1988), S. 213).

Roberval an Torricelli, 1. Januar 1646 (OT, III, Nr. 165; CM, XIV, Nr. 1415).

«... par mes premiers écrits je parle de cette ligne comme étant de Torricelli» (in der von Dati zitierten lateinischen Fassung noch deutlicher: «Hinc factum est ut in prioribus scriptis ita sim de trochoide locutus, quasi eam princeps Torricellius invenerit»). Pascal hatte in seinen 1658 veröffentlichten Problemata de cycloide die Definition der Zykloide weitgehend wörtlich aus Torricellis Opera geometrica übernommen.

Montucla bezieht sich hier auf Torricellis Aussage, dass Viviani die Bestimmung der Tangente in einem beliebigen Punkt der Zykloide gefunden hat (siehe Anm. 64).

Von den erwähnten Skizzen und Entwürfen Galileis ist leider nichts mehr vorhanden.

Dati, Lettera a’ Filaleti..., S. 11. – Der vollständige Brief in OT, III, Nr. 62; CM, XII, Nr. 1219.

OT, III, Nr. 86; CM, XIII, Nr. 1287. – Der wohl auf einem separaten Blatt mitgesandte Beweis ist nicht erhalten.

Ibid., S. 12–14. – Vollständiger Brief in OT, III, Nr. 165; CM, XIV, Nr. 1415.

Ibid., S. 14–16. – Vollständiger Brief in OT, III, Nr. 176; CM, XIV, Nr. 1485.

OT, III, Nr. 179; CM, XIV, Nr. 1486.

OT, III, Nr. 180; CM, xIV, Nr. 1487.

OT, III, Nr. 184; CM, XIV, Nr. 1509

OT, III, Nr. 181: CM, XIV, Nr. 1489. – Carcavi hat sich später ganz auf die Seite von Roberval geschlagen. Am 24. September 1649 schrieb er an Descartes, ihm liege ein Brief Torricellis aus dem Jahre 1646 vor (es muss sich um den Brief vom 7. Juli an Roberval handeln [OT, III, Nr. 176; CM, XIV, Nr. 1485]), in welchem dieser zugegeben habe, «dass ihm diese Roulette oder Zykloide keineswegs gehöre und dass man bis zu Galileis Tod, das war im Jahre 1642, in Italien nichts darüber gewusst habe». (CD, t. V, Nr. DLXX, S. 420).

Offenbar der in der vorangehenden Anmerkung zitierte Brief vom 8. Juni 1646 an Carcavi.

Eine von Torricelli zusammengestellte Liste von Problemen, die zwischen ihm und den Mathematikern in Frankreich ausgetauscht worden waren (OT, III, S. 3–32). – Näheres dazu im Kap. 10.

OT, III, S. 28–29. – Vollständiger Text im Kap. 10.

Samuel Formey (1711–1797), Sekretär der Preußischen Akademie der Wissenschaften.

Im Band IV („Conseil“ – „Dizier“), S. 590–592. – Verfasser des Artikels ist Jean-Baptiste Le Roy (1720–1800).

Baillet [1691, S. 367–387] (die erwähnte Zusammenfassung auf S. 385). Baillet stellt sich allerdings ganz hinter Pascals Histoire de la roulette; nur an gewissen Stellen findet Datis Lettera a’ Filaleti... Erwähnung.

Bei Baillet steht zusätzlich: «... ohne Eigenes dazu beizutragen».

Beispielsweise Bossut [1802, Bd. I, S. 297–298] und Marie [1884, S. 134].

Johannis Gröningii, Historia cycloeidis. Qua genesis & proprietates lineae cycloeidalis praecipuae, secundum ejus infantium, adolescentiam & juventutem, ordine chronologico recensentur. Nec non an primus ejusdem inventor, Galilaeus, & demonstrator Torricellius fuerit, contra Pascalium aliosque Galliae geometras discutitur. Hamburg 1701. – Der Inhalt der Historia cycloeidis wird in der im Supplément du Journal des Sçavans 1707, S. 464–469 erschienenen Rezension ausführlich besprochen.

Voltaire, Dictionnaire philosophique unter dem Stichwort „Infini“. – Siehe z. B. Œuvres complètes de Voltaire, t. VII, Paris 1869, S. 730–731 oder A.J.Q. Beuchot (éd.), Dictionnaire philosophique par M.-F. Arouet de Voltaire, t. V, Paris 1829, S. 369.

CM, VII, Nr. 666; OD, II, Nr. CXXI.

CM, VII, Nr. 674; OD, II, Nr. CXXIII.

Descartes an Mersenne, CM, VII, Nr. 690; OD II, Nr. CXXXI.

CM, VII, Nr. 690; OD, II, Nr. CXXXI, S. 262.

Ms. Gal. 141, c. 7v und 302v; OT, I\(_{2}\), S. 326 f.

Discorso al Serenissimo Cosimo III Granduca di Toscana intorno al difendersi da’ riempimenti & dalle corrosioni de’ fiumi applicato ad Arno in vicinanza della Città di Firenze. Firenze 1688. – Wieder abgedruckt S. 349–389 in Raccolta d’autori che trattano del moto dell’acque, t. I. Firenze 1723.

Gherardo Silvani (1579–1675). Nach dem Einsturz der Arnobrücke in Pisa, reichte er einen Entwurf für einen Neubau ein.