Funktionale Zusammenhänge sind im Mathematikunterricht fast aller Jahrgangsstufen präsent, jedoch gelingt es Lernenden häufig nur unzureichend, tragfähige Vorstellungen zu Funktionen zu entwickeln. Experimente erweisen sich hier als geeignete Unterstützung. Werden sie durch Simulationen digital ergänzt, kann dies Lernende beim Experimentieren entlasten und den funktionalen Zusammenhang in den Vordergrund rücken. Es eröffnet auch eine dynamische Perspektive auf diesen und rückt das Änderungsverhalten der beteiligten Größen (Kovariation), das für Lernende eine besondere Hürde darstellt, stärker in den Fokus. Allerdings erfordert die Kombination von gegenständlichen Materialien und Simulationen gemäß dem Instrumental Approach die Genese zusätzlicher Nutzungsschemata durch Lernende, was kognitive Ressourcen bindet. Je näher die Materialien der mathematischen Tätigkeit stehen, umso effizienter ist diese Genese. Entscheidend für die Frage, ob digital gerahmte Experimente lernwirksamer sind, könnten demnach die dynamische Perspektive sowie die Passung der Materialien sein. Um dem nachzugehen, kontrastiert eine Pre-Post-Interventionsstudie (N = 442) ein Setting mit fokussierter Passung der Materialien, ein Setting mit zusätzlichem inhaltlichen Fokus auf Kovariation und eine Kontrollgruppe ausschließlich mit Simulationen. Dabei zeigt sich, dass allein durch die Kombination aus Simulationen und gegenständlichen Materialien kein Mehrwert für das Verständnis von Funktionen entsteht. Ergänzt um eine dynamische Perspektive und den Fokus auf Kovariation erzielt die Kombination allerdings größere Lernzuwächse.
1.1 Ein Konzept zu Funktionen entwickeln
Trotz einer breiten, jahrgangsstufenübergreifenden Thematisierung von funktionalen Zusammenhängen im Mathematikunterricht zeigen Lernende häufig Verständnisschwierigkeiten und Fehlvorstellungen zu Funktionen (Ganter, 2013). Häufig steht der kalkülhafte Umgang mit Funktionen im Vordergrund und es gelingt nicht, ein tragfähiges Konzept zu Funktionen zu entwickeln. Dieses beinhaltet zum einen normative Grundvorstellungen zu Funktionen, die Vollrath (1989) als Aspekte funktionalen Denkens (FD) gefasst hat (s. Übersicht).
Aspekte funktionalen Denkens
1.
Zuordnungsaspekt: Jedem Wert der unabhängigen Variablen wird genau ein Wert der abhängigen Variablen zugeordnet.
2.
Kovariationsaspekt: Die Änderung der abhängigen Variablen in Abhängigkeit von der Änderung der unabhängigen Variablen wird analysiert.
3.
Objektaspekt: Die Funktion wird als Ganzes betrachtet und so als eigenständiges Objekt erfasst.
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Darüber hinaus sind die vier Repräsentationsformen (verbale) Beschreibung der Situation, Funktionsgleichung, Graph und Tabelle für das konzeptuelle Verständnis relevant (Sproesser et al., 2022). Nach Nitsch (2015) zeigt sich funktionales Denken darin, dass Schülerinnen und Schüler diese Darstellungen verwenden, interpretieren und ineinander überführen beziehungsweise miteinander verknüpfen können.
1.1.1 Entwicklungsperspektive auf das Funktionenkonzept
Breidenbach et al. (1992) nutzen die Theorie des Action-Process-Object-Schemas (APOS) als Entwicklungsperspektive auf das Funktionenkonzept. Die APOS-Stufen lassen sich mit den Aspekten funktionalen Denkens in Einklang bringen. Auf der untersten Stufe (Action) konzeptualisieren Lernende Funktionen über reale beziehungsweise mentale Handlungen. Es werden Werte eingesetzt und damit Funktionswerte berechnet (\(\to\) Zuordnungsaspekt). Eine dynamischere Konzeptualisierung von Funktionen (Process) ermöglicht es Lernenden, einen Zusammenhang über ein Kontinuum zu betrachten. In Abhängigkeit von Variationen des Arguments werden dabei Veränderungen des Funktionswerts reflektiert (\(\to\) Kovariationsaspekt). Auf der höchsten Stufe (Object) konzeptualisieren Lernende Funktionen als eigenständige Objekte, die transformiert werden können (\(\to\) Objektaspekt). Ein elaboriertes Funktionenkonzept beinhaltet alle drei Stufen und die Fähigkeit, passend zu der mathematischen Situation auf die jeweilige Stufe zugreifen zu können (Dubinsky & Wilson, 2013).
Aus diesen Entwicklungsstufen lässt sich direkt eine Lernreihenfolge für das Funktionenkonzept ableiten: zuerst die Zuordnung fokussieren, dann auf Kovariation erweitern und schließlich Funktionen als Objekte thematisieren. Diese im Unterricht vorherrschende Vorgehensweise beim Thema Funktionen ist numerisch geprägt (Goldenberg et al., 1992), erzeugt jedoch mit Blick auf den Kovariationsaspekt Schwierigkeiten: Für Schülerinnen und Schüler liegt es nahe, einen Zusammenhang zwischen Größen über deren gemeinsame Veränderungen zu beschreiben, dadurch werden Abhängigkeiten erkennbar. Wird entgegen dieser intuitiven Beschreibung der Zusammenhang als neues mathematisches Konzept über die Zuordnung von Wertepaaren charakterisiert, wirkt dies künstlich (Thompson & Carlson, 2017). Des Weiteren induziert der Zuordnungsaspekt über den Fokus auf die Zustände der beteiligten Größen eine statische Sichtweise auf Funktionen, für eine Auseinandersetzung mit dem Kovariationsaspekt ist jedoch eine dynamische Perspektive vonnöten (Johnson, 2015). Thompson und Carlson (2017) sehen dementsprechend die Hauptgründe für Schwierigkeiten mit dem Funktionenkonzept in der mangelnden Fähigkeit und vor allem Gelegenheit, dynamisch über Kovariation zu argumentieren. Aus diesen Gründen wird bereits seit vielen Jahren gefordert, im Mathematikunterricht einen qualitativen Zugang zu funktionalen Zusammenhängen zu wählen (Stellmacher, 1986).
1.1.2 Experimente fördern funktionales Denken
Experimente zu funktionalen Zusammenhängen haben sich als besonders lernförderlich erwiesen (Lichti & Roth, 2018). Eine mögliche Erklärung ist die Nähe funktionalen Denkens zum naturwissenschaftlichen Experimentierprozess (Doorman et al., 2012): Ausgehend von einer veränderlichen Ausgangsgröße wird eine davon abhängige Zielgröße betrachtet. Werden die Werte von Ausgangs- und Zielgröße zueinander in Beziehung gesetzt, fördert dies den Zuordnungsaspekt (Action). Durch Variation der Ausgangsgröße und Beobachtung der daraus resultierenden Veränderung der Zielgröße wird die Kovariation in den Fokus gerückt (Process). Der naturwissenschaftliche Experimentierprozess (Hypothesen bilden, Experimentieren, Analysieren) kann in diesem Sinne auch zur Strukturierung der Experimentierumgebungen genutzt werden. Lichti und Roth (2018) setzen dies in einer vergleichenden Pre-Post-Interventionsstudie zur Förderung des funktionalen Denkens jeweils ausschließlich mit gegenständlichen Materialien beziehungsweise Simulationen um.
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Simulationen
Unter Simulationen verstehen wir hier die digitale Umsetzung eines Experiments in GeoGebra, die im Modellierungskreislauf von Blum und Leiss (2002) dem Realmodell der Experimentiersituation entspricht.1 Dieses Modell ist interaktiv, die zusammenhängenden Größen können ähnlich zum Experimentieren mit gegenständlichen Materialien manipuliert werden. Zusätzlich zum digitalen Experiment kann die Simulation zu einem Multi-Repräsentationssystem (Balacheff & Kaput, 1997) erweitert werden, indem andere Darstellungsformen des erfassten Zusammenhangs, wie Graph und Tabelle, verknüpft mit dem digitalen Experiment dargestellt werden (Abb. 1.1).
Abb. 1.1
Simulation mit digitalem Experiment (links) und Repräsentation Graph (rechts)
×
Insgesamt zeigen sich Simulationen als lernwirksamer für das funktionale Denken. Je nachdem welche Materialien (gegenständlich oder Simulation) genutzt werden, ergeben sich unterschiedliche, teils komplementäre Erträge (Lichti & Roth, 2018), die nachfolgend mithilfe des Instrumental Approach genauer beleuchtet werden und anschließend als Basis für eine möglichst lernwirksame Kombination beider Materialien dienen (s. Abschn. 1.1.4).
1.1.3 Nutzungsschemata für gegenständliche Materialien und Simulationen
Der Instrumental Approach (Rabardel, 2002) und dessen Unterscheidung zwischen Artefakt und Instrument bieten eine Erklärungsgrundlage für diese Ergebnisse. Als Artefakt wird das Material bezeichnet, das als Werkzeug genutzt wird. Damit es zum Instrument wird, müssen zunächst Nutzungsschemata entwickelt werden. Dieser Entwicklungsprozess (Instrumental Genesis) wird beeinflusst von dem Subjekt, dem Artefakt und der Aufgabe, für die es genutzt werden soll. Dadurch erzeugen unterschiedliche Artefakte unterschiedliche Nutzungsschemata. Artefakte, die eine bessere Passung zu den mathematischen Vorhaben aufweisen, führen zu einer produktiveren Instrumental Genesis und vereinfachen den Lernprozess (Drijvers, 2020). Bezogen auf die hier genutzten Artefakte stimuliert der Umgang mit gegenständlichen Materialien Modellierungsschemata, um ein Situations- und Realmodell (Blum & Leiss, 2005) der Experimentiersituation zu erstellen. Dadurch wird die für das funktionale Denken relevante Fähigkeit, unterschiedliche Repräsentationen des funktionalen Zusammenhangs miteinander zu verknüpfen und ineinander zu überführen (s. Abschn. 1.1.1), bezogen auf die Repräsentationsform Beschreibung der Situation gefördert. Simulationen beinhalten demgegenüber mit dem digitalen Experiment bereits ein Realmodell (s. Kasten Simulationen). Die erleichterte Manipulation der zusammenhängenden Größen ermöglicht deren systematische Variation, wodurch Schemata entwickelt werden, die Veränderungen charakterisieren und damit eine dynamische Sichtweise sowie den Kovariationsaspekt fördern. Messprozesse an gegenständlichen Materialien induzieren hingegen statische Schemata basierend auf Zuständen, die dem Zuordnungsaspekt dienen. Werden Simulationen als Multi-Repräsentationssystem (Balacheff & Kaput, 1997) genutzt, illustrieren sie Verbindungen zwischen den unterschiedlichen Repräsentationen (hier: Graph, Modell, Tabelle) und induzieren Schemata zur Übersetzung zwischen diesen.
Eine Kombination aus beiden Artefakten kann die unterschiedlichen Lernvorteile vereinen, wenn die dadurch notwendige Genese von Nutzungsschemata in größerem Umfang keine Überforderung darstellt, beziehungsweise diese im Einzelnen nicht weniger produktiv werden. Dazu sollten Artefakte und intendierte Tätigkeiten möglichst gut zueinander passen.
1.1.4 Konzeptentwicklung fördern
Zur Förderung funktionalen Denkens mit Experimenten werden Simulationen und gegenständliche Materialien mit der Prämisse einer produktiven Instrumental Genesis eingesetzt. Zu Beginn werden gegenständliche Materialien genutzt, um Modellierungsschemata zu initiieren. Weitere Repräsentationswechsel, wie Tabelle zu Graph und Realmodell (digitales Experiment) zu Graph, werden durch den Einsatz von Simulationen erleichtert. Sie ermöglichen darüber hinaus eine dynamische Sicht auf den Zusammenhang, sowohl durch Exploration als auch durch systematische Variation, und fördern den Kovariationsaspekt. Durch Messungen an gegenständlichen Materialien wird schließlich der Zuordnungsaspekt gefördert.
Für die hier vorgestellte Studie wurden zwei unterschiedliche Settings entwickelt, die sich ebenfalls am naturwissenschaftlichen Experimentierprozess (Hypothesen bilden, Experimentieren, Analysieren) orientieren (Tab. 1.1). Beide Settings verfolgen den Ansatz einer möglichst hohen Passung zwischen Artefakt und mathematischer Tätigkeit.
Tab. 1.1
Vergleich der Phasen Hypothesen, Experimentieren, Analysieren bezüglich des Einsatzes von gegenständlichem Material (M) und Simulation (S) sowie der Nutzungsschemata und Aspekte funktionalen Denkens
Numerisches Setting
Qualitatives Setting
Hypothesen
(M) Schätzen
Modellierungsschema
Hypothesen zu Wertepaaren
Zuordnungsaspekt
(M) Zahlenfolgen
Modellierungsschema
(S) Exploration der Animation
Hypothesen zu Zusammenhang
Kovariationsaspekt
Experimentieren
(M) Messungen
Zuordnungsaspekt
(S) Tabelle \(\to\) Graph \(\to\) Animation
Repräsentationsschemata
System. Variation: Überprüfung
Kovariationsaspekt
(S) Animation \(\to\) Graph
Repräsentationsschemata
System. Variation: Überprüfung,
Charakterisierung Änderungsverhalten
Kovariationsaspekt
Analysieren
(S) Analysen Graph
Kovariationsaspekt
(M) Vergleich Partner: Abstraktion
Kovariationsaspekt
Mit Partner: Transfer
Zuordnungsaspekt
(M) Vergleich Partner: Abstraktion
Kovariationsaspekt
Messungen Partnerkontext
Zuordnungsaspekt
Änderungsverhalten Graph/Tabelle
Kovariationsaspekt
Ein Setting folgt dabei sequenziell den APOS-Stufen zur Entwicklung eines Funktionenkonzepts und legt den Fokus auf den Zuordnungsaspekt. Dadurch nehmen, wie auch häufig im Schulkontext (Goldenberg et al., 1992), der Messprozess und die Quantifizierung großen Raum ein (s. Abschn. 1.1.1), sodass dieser Zugang als numerisches Setting bezeichnet werden kann. Die Annäherung an den Kovariationsaspekt in der Analysephase wird durch eine Simulation unterstützt, in der das digitale Experiment mit der tabellarischen sowie einer graphischen Darstellung verbunden ist.
Im zweiten, qualitativ orientierten Setting wird durchgängig der Zusammenhang zwischen den beteiligten Größen dynamisch beleuchtet und die Quantifizierung hintenangestellt. Nach einer kurzen ersten Hypothesenbildung mithilfe des gegenständlichen Materials werden in der Simulation (digitales Experiment) Veränderungen in den Blick genommen und weitere Hypothesen aufgestellt. Der Fokus dieses Settings liegt dadurch auf dem Kovariationsaspekt. Für die Analysephase wird in der Simulation die graphische Darstellung des funktionalen Zusammenhangs ergänzt. Erst im Anschluss werden am gegenständlichen Material Messwerte generiert und in die Simulation (digitales Experiment, Graph und Tabelle) übertragen, um die bisherigen Ergebnisse zum Zusammenhang experimentell zu überprüfen.
Die Lernenden durchlaufen in insgesamt 270 min den Experimentierprozess (Tab. 1.1) jeweils in drei Kontexten (zu einem linearen, einem quadratischen sowie einem variierenden Zusammenhang) und abstrahieren ihre Entdeckungen über den jeweiligen Zusammenhang durch Austausch in der Gruppe über zwei verwandte Kontexte (Abb. 1.2).
Abb. 1.2
Paarweise verwandte Kontexte der Settings (linear, quadratisch, variierend) als gegenständliches Material und Simulation
×
In beiden Settings werden identische Kontexte, Materialien und Simulationen eingesetzt, die Arbeitsaufträge sind dem Fokus entsprechend adaptiert. Beide Lernumgebungen sowie das ausschließlich auf Simulationen basierende Setting der Kontrollgruppe (mit vergleichbaren Kontexten und Aufgabenstellungen) finden sich unter: https://mathe-labor.de/baumhaus-2020(A: qualitatives Setting, B: numerisches Setting, C: Kontrollgruppe unverändert aus Lichti & Roth, 2018).
1.1.5 Forschungsfragen (FF) und Hypothesen
FF1: Welches kombinierte Setting ist wirksamer für das funktionale Denken?
Hypothese: qualitativ > numerisch
Die statische Sicht auf Funktionen und der Fokus auf den Zuordnungsaspekt durch den Messprozess erschweren im numerischen Setting das Kovariationsverständnis. Umgekehrt wird das Erfassen des Zusammenhangs und der Kovariation der beteiligten Größen durch eine qualitative Herangehensweise erleichtert. Zum Verständnis des für Lernende leichteren Zuordnungsaspekts reicht die kürzere Auseinandersetzung mit Wertepaaren gegen Ende der Lernumgebung aus.
FF2: Ist die Kombination aus gegenständlichen Materialien und Simulationen wirksamer für funktionales Denken als ein Training nur mit Simulationen?
Hypothese: Kombination ≠ Simulationen
Einerseits fördert die größere Nähe zwischen Artefakten und Tätigkeiten den Lernprozess und die Vorteile beider Artefakte lassen sich potenziell verbinden. Andererseits kann sich die Genese von mehr beziehungsweise diverseren Nutzungsschemata bei der Kombination nachteilig auf den Lernprozess auswirken. Für die Entwicklung funktionalen Denkens bedarf es nicht zwingend gegenständlicher Materialien, die den Zuordnungsaspekt fördern, da dieser für Lernende ohnehin leicht zugänglich ist (Malle, 2000). Darüber hinaus könnte das Modellieren eine Erhöhung der kognitiven Last (Sweller et al., 2011) mit sich bringen, sodass weniger Ressourcen für die Entwicklung funktionalen Denkens bereitstehen.
FF3: Ergeben sich auf unterschiedlichen Lernniveaus abweichende Ergebnisse bezüglich der Wirksamkeit der Settings für funktionales Denken?
Hypothese: Gymnasium > Gesamtschule
Wie Schulleistungsstudien mehrfach zeigen (Reinhold et al., 2019) ist ein niedrigeres Kompetenzniveau in der Substichprobe der Gesamtschule zu erwarten. In diesem Zusammenhang ist mit einem Schereneffekt beim Lernzuwachs zu rechnen, wie er bereits mehrfach repliziert wurde (Guill et al., 2017). Bezogen auf die einzelnen Settings könnte der Fokus auf den schwierigeren Aspekt Kovariation eine Überforderung für leistungsschwächere Lernende darstellen, sodass sich in der heterogenen Gruppe kein klarer Vorteil des qualitativen gegenüber dem numerischen Setting zeigt. Dubinsky und Wilson (2013) zeigen hingegen in ihrer Studie, dass sich alle Stufen des Funktionenkonzepts von niedrigen Kompetenzniveaus aus fördern lassen. Bezüglich des Vergleichs von kombinierten Settings gegenüber der rein simulationsbasierten Kontrollgruppe lässt sich vermuten, dass eine Erhöhung der kognitiven Last durch Modellieren (s. o.) sowie die Genese vermehrter und diverserer Nutzungsschemata bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern einen größeren Einfluss haben werden, sodass sich dort geringere Lerneffekte in den kombinierten Settings zeigen.
1.1.6 Studiendesign und Auswertungsmethoden
Eine Pilotstudie bestätigt die Vergleichbarkeit des numerischen und des qualitativen Settings hinsichtlich Zeitbedarf und Schwierigkeit (Digel & Roth, 2020b). Die Wirksamkeit beider Settings sowie der Kontrollgruppe wird in der hier vorgestellten Studie mit einem Pre-/Post-Test zum funktionalen Denken evaluiert (FD-short, 27 Items, Online-Version: https://www.geogebra.org/m/vz6f5gmc, Details und Pilotierung siehe Digel & Roth, 2020a). Die Daten werden mit der Item-Response-Theorie ausgewertet.
Die Lernenden sind randomisiert dem numerischen beziehungsweise qualitativen Setting zugeordnet. In die Kontrollgruppe sind jeweils alle Lernenden einer Klasse aufgenommen, um motivatorische Einflüsse durch Fehlen der Materialbox zu vermeiden.
Mit einer dichotomen, eindimensionalen Rasch-Modellierung mit virtuellen Personen werden die Itemschwierigkeiten geschätzt und zur Bestimmung der Personenfähigkeiten fixiert. In mehreren Mixed-ANOVA- (between Setting, Schulform; within Zeitpunkt) und post hoc paarweisen t-Tests mit Bonferroni-Korrektur werden Unterschiede zwischen beiden Settings und der Kontrollgruppe untersucht und wo signifikant dazugehörige Effektstärken berechnet. Eine Poweranalyse (3 Gruppen, 2 Messzeitpunkte, Power = .9, α = .05) ergibt für einen mittleren Effekt (ηp2 = .06) in der Mixed ANOVA eine Stichprobengröße von N = 204.
1.2 Ergebnisse
Die Gesamtstichprobe der Hauptstudie (N = 442, Alter M = 12.8 Jahre, SD = 4.3, 204 weiblich, 214 männlich, Klassenstufen 6–8, Intervention vor Unterrichtssequenz zu Funktionen) verteilt sich wie in Tab. 1.2 dargestellt auf die Settings und Schulformen.
Tab. 1.2
Stichprobengrößen N und Effektstärken Cohens d (Pre/Post) der Subgruppen nach Settings Signifikanzniveaus: *** p < .001, ** p < .01, * p < .05
Qualitatives Setting QS
Numerisches Setting NS
Kontrollgruppe KG
kumuliert
N
d
N
d
N
d
N
Gesamt
172
.52***
177
.26***
93
.27***
442
Gesamtschule Gymnasium
68
104
.64***
.49***
78
99
.33***
.28***
66
27
.34***
.29***
212
230
Die Rasch-Modellierung zeigt gute Reliabilitäten in Pre- und Posttest.: EAP-Relpre = .86 und EAP-Relpost = .80 (WLE-Relpre = .85 und WLE-Relpost = .80)2.
1.2.1 Vergleich der Settings in der Gesamtstichprobe
Ergebnisse der ANOVA zu den Forschungsfragen 1 und 2
Die Mixed ANOVA (between Setting, within Zeitpunkt) ergibt zwei signifikante Haupteffekte3 und einen signifikanten Interaktionseffekt. Ein signifikanter Haupteffekt zeigt sich bezüglich des Zeitpunkts (F(1, 439) = 192.22, p <.001, ηp2 = .37). Die Ergebnisse im FD-short steigen signifikant mit einem großen Effekt von M = − ..48 logits (SD = 1.54) auf M = .29 logits (SD = 1.12).
Der zweite signifikante Haupteffekt ergibt sich bezüglich des Settings (F(1, 439) = 261.32, p <.01, ηp2 = .05). Es zeigt sich auch eine signifikante Interaktion zwischen Zeitpunkt und Setting mit kleinem Effekt (F(2, 439) = 5.41, p = .005, ηp2 = .04), wie auch in Abb. 1.3 an den unterschiedlichen Steigungen der Zuwachsgeraden erkennbar.
Abb. 1.3
Zuwächse im funktionalen Denken Pre/Post nach Setting QS, NS, KG in der Gesamtstichprobe
×
Ausgewählte Ergebnisse der Post-hoc-Tests zu den Forschungsfragen 1 und 2
Die beiden Subgruppen numerisches und qualitatives Setting (QS und NS) unterscheiden sich nicht vor der Intervention (t(229) = − .18, p = .561) und beide gemeinsam unterscheiden sich auch nicht von der Kontrollgruppe (KG) im Pretest (t(153) = − .78, p = .207).
Die Ergebnisse im FD-short steigen signifikant in allen drei Gruppen (QS, NS, KG) vom Pre- zum Posttest (Abb. 1.3) mit kleinem bis mittleren Effekt (Effektstärken und Signifikanzniveaus s. Tab. 1.2).
1.2.2 Vergleich der Settings in den Schulformen
Ergebnisse der ANOVA zu Forschungsfrage 3
Bezogen auf die Schulform (Abb. 1.4) zeigt die Mixed ANOVA (between Setting und Schulform, within Zeitpunkt) einen signifikanten Haupteffekt des Zeitpunkts (F(1, 326) = 197.34, p < .001, ηp2 = .38) und einen signifikanten Haupteffekt der Schulform (F(1, 326) = 87.82, p < .001, ηp2 = .21). Darüber hinaus ergeben sich zwei signifikante Interaktionseffekte, nämlich zwischen Zeitpunkt und Setting (F(2, 326) = 5.92, p < .005, ηp2 = .018) sowie zwischen Zeitpunkt und Schulform (F(2, 326) = 9.57, p < .005, ηp2 = .029).
Abb. 1.4
Zuwächse im funktionalen Denken Pre/Post nach Setting QS, NS, KG sowie nach Schulform
×
Ausgewählte Ergebnisse der Post-hoc-Tests zu Forschungsfrage 3
Bezüglich des Interaktionseffekts zwischen Zeitpunkt und Schulform sind die Unterschiede zwischen Gesamtschule und Gymnasium sowohl im Pretest (p < .001) als auch im Posttest (p < .001) signifikant.
Lernende an Gymnasien sind im Pretest signifikant besser als Lernende an Gesamtschulen (t(174) = 8.09, p < .001, d = .61). In beiden Schulformen zeigen sich kleine bis mittlere Lerneffekte (GY: t(425) = 7.08, p < .001, d = .34; GS: t(216) = 5.84, p < .001, d = .40).
Bezüglich des Interaktionseffekts zwischen Zeitpunkt und Setting sind die Unterschiede im Pretest zwischen qualitativem und numerischem Setting sowie Kontrollgruppe paarweise nicht signifikant, im Posttest unterscheidet sich lediglich das qualitative Setting jeweils signifikant (p < .001) von den anderen.
Die größten Lerneffekte erzielen die Lernenden des qualitativen Settings, sowohl in der Gymnasial- als auch in der Gesamtschulstichprobe (GY: t(144) = 5.83, p < .001, d = .48; GS: t(70) = 5.33, p < .001, d = .64). In beiden Teilstichproben sind die Lerneffekte des numerischen Settings vergleichbar zu der Kontrollgruppe (Abb. 1.4).
1.3 Diskussion und Ausblick
Zunächst ist kritisch anzumerken, dass die Ergebnisse nicht ohne Vorbehalte generalisierbar sind, da sie auf den konkret ausgestalteten Settings dieser Studie beruhen. Die Aussagekraft wird auch durch die auf das qualitative und numerische Setting beschränkte Randomisierung (s. Abschn. 1.1.6) sowie die fehlende Balance der Subgruppen limitiert. Zwar entsprechen sich die Stichprobengrößen beider Experimentalsettings, sie sind jedoch deutlich größer als die Kontrollgruppe. Auch die Stichproben am Gymnasium und an der Gesamtschule sind nicht von vergleichbarem Umfang. Dies ist auf die wechselhaften Unterrichtsbedingungen durch die Pandemie zurückzuführen.
Die Ergebnisse der Gesamtstichprobe zeigen jedoch bereits deutlich, dass zwar alle drei Experimentierumgebungen das funktionale Denken signifikant fördern, sich mit dem qualitativen Setting ein deutlich größerer Lerneffekt erzielen lässt als mit dem numerischen Setting und der Kontrollgruppe. Der qualitative Zugang mit einem dynamischen Fokus auf Kovariation scheint lernwirksamer für das funktionale Denken zu sein als die beiden anderen. Damit bestätigen sich die Hypothesen zu FF1: Die dynamische Sicht auf die beteiligten Größen von Beginn an und die qualitative Betrachtung schaffen Gelegenheiten, dynamisch über Kovariation zu argumentieren (Thompson & Carlson, 2017), und umgehen die für Kovariation hinderliche statische Sichtweise (Johnson, 2015), sodass der Kovariationsaspekt zugänglich wird. Dies geht auch nicht zu Lasten des Zuordnungsaspekts, für den eine kürzere Auseinandersetzung gegen Ende der Intervention auszureichen scheint (vgl. Digel & Roth, 2021).
Demgegenüber bringt die digitale Rahmung der Experimente mit möglichst hoher Passung von Artefakt und mathematischer Tätigkeit für einen verbesserten Lernprozess (Drijvers, 2020) allein (numerischer Zugang, s. Abschn. 1.1.4) keinen signifikanten Vorteil bezüglich des funktionalen Denkens im Vergleich zum Experimentieren ausschließlich mit Simulationen (FF2). Der Einsatz von gegenständlichen Materialien als geeignetere Artefakte für den Zuordnungsaspekt (Lichti, 2019) scheint hier insgesamt nicht förderlicher für das funktionale Denken zu sein. Das lässt sich etwa durch einen erhöhten Bedarf kognitiver Ressourcen für die Genese der Nutzungsschemata, für das Modellieren und für die Messwerterfassung erklären (s. Abschn. 1.1.3). Beim qualitativen Zugang könnte das gegenständliche Material demgegenüber für den Zuordnungsaspekt eine sinnvolle Unterstützung darstellen (Lichti, 2019), da er durch die dynamische Perspektive auf den Zusammenhang verbunden mit der Verschiebung der Messwerterfassung ans Ende der Lernumgebung nicht zu einer statischen Sichtweise führt und der Anteil für Zuordnung an der gesamten Lernzeit besser zu der guten Zugänglichkeit dieses Aspekts (Malle, 2000) passt.
Erwartungskonform (Reinhold et al., 2019) liegt das Niveau funktionalen Denkens der Lernenden an Gesamtschulen vor der Intervention signifikant (d = .61) unter dem der Lernenden an Gymnasien (FF3). Der erwartete Schereneffekt (Guill et al., 2017) zeigt sich in dieser Studie hingegen nicht. Im Gegenteil, der Lernzuwachs fällt für die Lernenden an Gesamtschulen signifikant höher aus. Daraus lässt sich zunächst folgern, dass die Aspekte funktionalen Denkens auch für niedrigere Kompetenzniveaus zugänglich sind (Dubinsky & Wilson, 2013). Für den höheren Lernzuwachs an der Gesamtschule bieten sich folgende Erklärungsansätze an: Entgegen eher arithmetisch orientierten Lerninhalten, die Lernende auf niedrigeren Kompetenzniveaus schnell überfordern können, bietet das forschend-entdeckende Lernen mit offenen Aufgabenstellungen in den Lernumgebungen eine höhere kognitive Aktivierung (Bruder & Prescott, 2013) und ermöglicht eine vertiefte Auseinandersetzung auf unterschiedlichen Kompetenzniveaus. Darstellungs- und Materialwechsel tragen ebenfalls zur Aktivierung bei. Darüber hinaus werden bei der durchgängigen Interaktion mit der Partnerin beziehungsweise dem Partner sowie im Team Beobachtungen und Lösungsansätze verbalisiert sowie diskutiert (Roth et al., 2016) und dabei Co-Konstruktionsprozesse ermöglicht (Vieluf, 2022). So entstehen ebenfalls individualisierte Anknüpfungspunkte für unterschiedliche Kompetenzniveaus.
Übereinstimmend zur Gesamtstichprobe zeigt sich in beiden Schulformen ein signifikant höherer Lernzuwachs im qualitativen Zugang. Der schwierige Aspekt der Kovariation ist im qualitativen Zugang auch von niedrigeren Kompetenzniveaus aus zugänglich, was den Beobachtungen von Dubinsky und Wilson (2013) entspricht. Die für die Gesamtstichprobe diskutierten Folgerungen der Ergebnisse zur ersten Forschungsfrage gelten also sowohl für leistungsstarke als auch leistungsschwache Lernende. Ein explizites Vorgehen entlang der APOS-Stufen (erst Zuordnung, dann Kovariation, vgl. Abschn. 1.1.1) scheint auch für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler nicht vorteilhaft für das funktionale Denken.
Erneut unterscheidet sich der Lernzuwachs im numerischen Zugang nicht signifikant von dem in der Kontrollgruppe, weder an der Gesamtschule noch am Gymnasium. Mit Bezug zur Diskussion der zweiten Forschungsfrage für die Gesamtstichprobe lässt sich vermuten, dass der kognitive Ressourcenbedarf für die Genese der Nutzungsschemata, das Modellieren und die Messwerterfassung (s. Abschn. 1.1.3) auch bei leistungsstarken Lernenden mögliche Vorteile durch geeignetere Artefakte zur Förderung des Zuordnungsaspekts (Lichti, 2019) überdecken beziehungsweise Letztere auf höherem Kompetenzniveau ohne Reduzierung der Auseinandersetzung mit dem Zuordnungsaspekt zugunsten der Kovariation (Johnson, 2015), wie etwa im qualitativen Setting, keinen Vorteil bieten.
Perspektivisch können insbesondere zu Forschungsfrage 3 Mehrebenenanalysen mit latenten Veränderungsmodellen weitere Einblicke in die Daten liefern. Für die Interpretation der vorgestellten quantitativen Ergebnisse bieten sich die qualitative Betrachtung der Schülerdokumente sowie die Analyse von Videosequenzen aus den Interventionen an.
1.4 Fazit
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass ein qualitativer Einstieg zu Funktionen mit digital gerahmten Experimenten 1) Gelegenheit zur Argumentation über Änderungsverhalten (Kovariation) bietet, 2) es damit leistungsstarken und -schwachen Lernenden ermöglicht, sich den schwierigen Aspekt Kovariation zu erschließen, 3) auf unterschiedlichen Kompetenzniveaus die größten Lernerfolge erzielt und 4) einen Mehrwert der digitalen Rahmung von gegenständlichen Experimenten darstellt. Bleibt es jedoch bei einer digitalen Rahmung von Experimenten ohne Verschiebung des Fokus auf dynamische Aspekte, zeigen sich keine größeren Lernzuwächse. Das Vorgehen dieser Arbeit zeigt exemplarisch, wie digitale Unterrichtselemente lernförderlich eingebettet werden können, indem ausgehend von den zu fördernden mathematischen Konzepten digitale Artefakte anhand ihrer Passung zu den intendierten Handlungen eingesetzt werden.
Mit Blick auf den (ergänzenden) Einsatz digitaler Elemente beim Experimentieren im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht deuten die Ergebnisse dieser Arbeit darauf hin, dass grundsätzlich für eine lernwirksame Nutzung digitaler Artefakte im Unterricht deren Einbettung entscheidend ist. Erst wenn durch den inhaltlichen Fokus mentale beziehungsweise reale Handlungen induziert werden, für die sich digitale Artefakte besonders eignen, kann deren Potenzial für das Lernen ausgeschöpft werden.
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Wie Abb. 1.1 verdeutlicht, sind im digitalen Experiment bereits Reduktionen zur Modellierung der Situation enthalten, wie etwa die Darstellung der gefüllten Vase im Längsschnitt in 2D.
Es werden zwei Schätzer für Personenparameter angegeben: Mit WLE wird die Fähigkeitsausprägung für einzelne Personen am besten ermittelt (vgl. Rost, 2004), EAP ist WLE bezüglich Testeffizienz überlegen (Wang, 2001).
