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Erschienen in:

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. Einführung in die Maßtheorie

verfasst von : Dieter Baum

Erschienen in: Grundlagen der Warteschlangentheorie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Das Lebesgue-Maß λ einer im ℝ^d definierten reellen Funktion wird in der Analysis als Einschränkung einer Mengenfunktion μ _L ^∗ (des sog. äußeren Lebesgue-Maßes) auf eine Mengenfamilie erklärt, über der μ _L ^∗ (und damit λ) additiv ist. Dieses Vorgehen läßt sich auf allgemeinere Räume übertragen und spiegelt den historischen Zugang zur Maßtheorie wider, in der die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie verankert ist. In diesem Kapitel werden u. a. die Grundeigenschaften von Maßen, maßdefinierende und meßbare Funktionen, die Konstruktion von Maßen sowie Konvergenz und Integration in Maßräumen untersucht, einige spezielle Maße genannt und die Sätze von Radon-Nikodym (zu Dichten signierter Maße) und Fubini (zu Produkten von Maßen und Maßräumen) erläutert.

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Nächstes Kapitel Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

Wenn im Folgenden die Rede von einem Ring oder einer Algebra ist, so soll darunter stets ein Mengenring bzw. eine Mengenalgebra zu verstehen sein

Für einen Raum X bezeichnet \({\mathfrak{P}}(X)\) die Potenzmenge, d. h. die Menge aller Teilmengen von X.

(a, b] = {x : a < x ≤ b}; entsprechende Notation (a, b), [a, b), [a, b] für offene, rechtsseitig halboffene oder geschlossene Intervalle.

Wir schreiben auch \(\bar{\mathbb{R}}\) für die kompaktifizierte reelle Achse ℝ ∪ { + ∞, − ∞}. Erweitert-reellwertige Funktionen werden als numerische Funktionen bezeichnet.

Monoton zunehmend bzw. monoton abnehmend bedeutet B _n ⊂ B _n + 1 ∀ n bzw. B _n ⊃ B _n + 1 ∀ n; soll Gleichheit in den Implikationen nicht ausgeschlossen werden, so sind die Begriffe monoton nicht abnehmend bzw. monoton nicht zunehmend angebrachter.

In vielen Fällen wird X ∈ R vorausgesetzt, d. h. der Inhaltsbegriff ist mit der Forderung verknüpft, daß der Definitionsbereich eine Algebra bildet (vergl. z. B. [165]).

Zuweilen wird auch hier eine Algebra zugrundegelegt [165].

Der Hinweis auf das Maß μ entfällt, wenn der Bezug klar ist.

Eine solche Partition ist i. a. nicht eindeutig; sie wird als Hahn-Zerlegung bezeichnet.

Die Zerlegung des signierten Maßes ν nennt man eine Jordan-Zerlegung.

Nicht zu verwechseln mit dem Begriff der (absoluten) Variation signierter Maße.

Intervalle im Falle von d = 1.

Ist \(\mathcal{F}=\{\mathcal{M}_{k}\} _{{k\in\mathbb{N}}}\) eine abzählbare Familie abzählbarer Mengen \(\mathcal{M}_{k}=\{ M_{i}^{{(k)}}\} _{{n\in\mathbb{N}}}\), so ist deren Vereinigung \(\bigcup _{{i,k}}M_{i}^{{(k)}}\) abzählbar.

Zur Erinnerung: Ein elementares Maß ist eine nicht negative, endlich additive, über einem zerlegbaren System \(\mathcal{Q}\) definierte erweitert-reellwertige Mengenfunktion φ mit φ(∅) = 0; vergl. Definition 1.1.2, Abschn. 1.1, sowie Abschn. 1.2.

In diesem Falle nennt man das elementare Maß σ-endlich.

Größenrelationen für Vektoren sind komponentenweise zu verstehen.

Tatsächlich ist es hierfür belanglos, ob es sich um offene, halboffene oder abgeschlossene Intervalle handelt.

Vergl. Definition 1.4.6 in Abschn. 1.4.4 . Man beachte, daß es sich nicht um den kompaktifizierten reellen Raum handelt. Jede kompakte Menge K ⊂ R ist Teilmenge eines abgeschlossenen Intervalls [ a , b ] mit −∞ < a < b < +∞.

Definition 1.2.9, Abschn. 1.2. Ein Menge von Quasi-Inhalten ist von gleichmäßig endlicher Variation, wenn es eine für jeden Quasi-Inhalt θ _i geltende gemeinsame Konstante K mit V a r _Q(θ _i) ≤ K (gemäß Definition 1.2.9) gibt.

Die Schreibweise \(\xi:(\Omega,\mathcal{A}_{\sigma})\to(\bar{\mathbb{R}},\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}}))\) für die Abbildung \(\xi:\Omega\to\bar{\mathbb{R}}\) soll den Bezug zur Meßbarkeitseigenschaft herstellen.

In [165] „Rechtecks-Monotonie“ genannt.

Hierzu sind u. a. die für jede beliebige Indexmenge I und jede Abbildung f gültigen Relationen der Form \(\bigcup _{{i\in I}}f^{{-1}}[M_{i}]=f^{{-1}}\left[\bigcup _{{i\in I}}M_{i}\right]\) bzw. \(\bigcap _{{i\in I}}f^{{-1}}[M_{i}]=f^{{-1}}\left[\bigcap _{{i\in I}}M_{i}\right]\) zu beachten.

Erweitert-reellwertige Funktionen werden häufig auch als numerische Funktionen bezeichnet.

Meßbare Funktionen \(f:X\to\bar{\mathbb{R}}\) werden häufig als Borel-Funktionen bezeichnet.

ℚ bezeichne die (abzählbare) Menge der rationalen Zahlen.

Demnach wird verlangt, daß im Falle der Summe nicht gleichzeitig f ₁(x) = +∞ und f ₂(x) = −∞ oder umgekehrt – bzw. im Falle des Produktes nicht gleichzeitig f ₁(x) = 0 und f ₂(x) = ±∞ oder umgekehrt – möglich sind.

Genauer sollte man sagen „integrabel bzgl. μ “ oder kurz „ μ -integrabel“. Solange jedoch keine Zweideutigkeiten auftreten können, behalten wir die Bezeichnung „integrabel“ bei.

Wir erinnern daran, daß eine Funktionenfolge \(\{ f_{n}\} _{{n\in\mathbb{N}}}\) gleichmäßig gegen eine Funktion φ konvergiert, wenn es zu jedem ε > 0 eine nicht von x abhängige natürliche Zahl n ₀ derart gibt, daß |f _n(x) − φ(x)| < ε für alle n ≥ n ₀ (und alle x ∈ X) ist.

Für k ₁, k ₂ > k ₀(δ) wird \(|f_{{n_{{k_{1}}}}}(x)-f_{{n_{{k_{2}}}}}(x)|<\delta\) unabhängig von x.

Eine meßbare Funktion heißt p -fach μ -integrierbar, wenn \(\int|f|^{p}\, d\mu\) erklärt ist (p ∈ ℝ, 1 ≤ p < ∞). Die Menge der reellwertigen p-fach μ-integrierbaren Funktionen bezeichnet man mit dem Symbol ℒ^p(μ) oder kurz ℒ^p (in Anlehnung an die Notation für p-fach Lebesgue-integrierbare Funktionen in der Analysis).

Positiv- bzw. Negativanteil einer Funktion f sind definiert als \(f^{+}(x)=\max\{ f(x),0\}\) bzw. \(f^{-}(x)=\max\{-f(x),0\}\).

Siehe Definitionen 1.4.1 und 1.4.2, Abschn. 1.4.1.

Von einer ℒ¹-Cauchy-Folge spricht man dann, wenn f(x) ≠ ±∞ ∀ x ist.

Man sagt in diesem Falle, U ist σ -endlich.

Man spricht auch vom „Satz von der beschränkten Konvergenz“, engl. „the bounded convergence theorem“.

Wegen \(\{ x:\sup _{{n\in\mathbb{N}}}f_{n}(x)\le\eta\}=\bigcap _{{n=1}}^{\infty}\{ x:f_{n}(x)\le\eta\}\) und \(\lim _{{n\in\mathbb{N}}}f_{n}=\sup _{{n\in\mathbb{N}}}f_{n}\) für die aufsteigende Folge \(\{ f_{n}\} _{{n\in\mathbb{N}}}\) ist \(\lim _{{n\in\mathbb{N}}}f_{n}\) meßbar (vergl. Satz 1.5.3).

Man setze etwa ℓ = K(i, j) − i, falls i + j = gerade, und ℓ = K(i, j) − j, falls i + j = ungerade, \(K(i,j)=1+\frac{(i+j)^{2}-(i+j)}{2}\).

Im allgemeinen wird man von strukturierten Mengen ausgehen, etwa von topologischen Räumen.

Im Englischen „generalized rectangle“ .

Also eine erweitert-reellwertige und endlich additive Mengenfunktion η ≥ 0 mit η(∅) = 0.

Man setze etwa ℓ = ℓ(k ₁, k ₂) = K(k ₁, k ₂) − k ₁ für k ₁ + k ₂ = gerade, ℓ(k ₁, k ₂) = K(k ₁, k ₂) − k ₂ für k ₁ + k ₂ = ungerade und \(B_{i}^{{(\ell(k_{1},k_{2}))}}=A_{i}^{{(k_{i})}}\), worin \(K(k_{1},k_{2})=1+\frac{k_{1}+k_{2}}{2}(k_{1}+k_{2}-1)\) ist.

Die Kennzeichnung der Integrationsbereiche X ₁, X ₂ ist der Einfachheit halber weggelassen.

Vergl. Abschn. 1.1.

Diese Beweisführung ähnelt der zu Satz 1.11.3, s. dort Beweispunkt 4.

Zur Erinnerung: Einer nicht integrablen nicht negativen Funktion wird der Integralwert ∞ zugeordnet.

Siehe dazu die Bemerkung vor Beginn des Abschn. 1.10.

Beweise sind ähnlich wie im vorigen Abschnitt zu führen.

Die Konkretisierung der Begriffe erfolgt in Kap. 2.

Titel: Einführung in die Maßtheorie
verfasst von: Dieter Baum
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Grundlagen der Warteschlangentheorie
Print ISBN: 978-3-642-39631-1

Electronic ISBN: 978-3-642-39632-8

Copyright-Jahr: 2013
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-39632-8_1

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