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Erschienen in:

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

verfasst von : Dieter Baum

Erschienen in: Grundlagen der Warteschlangentheorie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Es ist ein Ziel des vorliegenden Buches, wesentliche Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie mathematisch präzise und in möglichst einfacher Form zu erklären, um den Anwender im Bereich der stochastischen Modellierung vor der Rolle eines „Reiters über den Bodensee“ zu bewahren. Dazu enthält dieses Kapitel Abschnitte über Zufallsvariable und Verteilungen, Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen, Verteilungen definierende Funktionen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Folgen und Integrale von Zufallsvariablen, Moment-erzeugende Funktionen und Faltungen, Ungleichungen und Grenzwertsätze sowie die Gesetze der großen Zahlen.

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Ω wird auch Ergebnisraum oder Merkmalsraum genannt. Man beachte, daß ω ∈ Ω nicht notwendig { ω } ∈ A _σ nach sich zieht, d. h. Elementarereignisse sind nicht immer meßbar, besitzen also nicht notwendigerweise eine „Wahrscheinlichkeit“.

Zur Erinnerung: Ein Maß μ über \(\mathcal{A}_{\sigma}\) heißt total endlich, wenn μ(Ω) < ∞ ist, und vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge meßbar (und damit selbst Nullmenge) ist.

Nach Félix Édouard Justin Émile Borel (1871–1956) und Francesco Paolo Cantelli (1875–1966).

Um die im Begriff der Zufallsabbildung eingeschlossene Meßbarkeit auf die zugehörigen σ-Algebren zu beziehen, werden diese häufig in die Abbildungs-Notation mit aufgenommen, d. h. statt \({\mathfrak{z}}:\Omega\to\Psi\) schreibt man \({\mathfrak{z}}:[\Omega,\mathcal{A}_{\sigma}]\to[\Psi,\mathcal{D}]\).

Man sagt, eine in jedem Punkte x ₀ von rechts stetige Funktion f, die überall ihre Limites von links \(\lim _{{x_{n}\uparrow x_{0}}}f(x_{n})\) annimmt, besitzt die „cadlag“-Eigenschaft, von „continue à droite avec limites à gauche“ (s. auch Abschn. .2.3). Demnach hat jede Verteilungsfunktion aufgrund ihrer Monotonie und ihrer Beschränktheit diese „cadlag“-Eigenschaft.

Mengen der Form \(Q=Q_{1}\times\ldots\times Q_{n}\in{\bar{\mathbb{R}}}^{n}\).

Ebenso ist \(\left.A\right|_{{\boldsymbol{x}_{L}}}\) zu einer beliebigen Menge A ⊂ F als Menge aller Punkte aus A definiert, deren Komponenten \(f({\bar{t}}_{j})\) die Beziehung \(f({\bar{t}}_{j})=x_{j}\) für \({\bar{t}}_{j}\in L\) erfüllen.

Wir verwenden wieder die abkürzende Schreibweise \(\bigotimes _{{t\in L}}\mathbb{P}_{t}=:\mathbb{P}_{{L}}\) bzw. \(\bigotimes _{{t\in K\setminus L}}\mathbb{P}_{t}\) \(=:\mathbb{P}_{{K\setminus L}}\) für endliche Teil-Indexmengen L, K mit L ⊂ K.

\(L_{{\nu+1}}:=K_{{\nu+1}}\setminus K_{{\nu}}\) für ν ≥ 0, sofern K _ν + 1 ≠ K _ν ist. Im Falle K _ν + 1 = K _ν sei \(\boldsymbol{{\hat{x}}}_{{K_{{\nu+1}}}}=\boldsymbol{{\hat{x}}}_{{K_{\nu}}}\).

a < x ≤ b bedeutet a _i < x _i ≤ b _i für jedes i ∈ {1,…, n}; x = (x ₁, …, x _n), a = (a ₁, …, a _n), b = (b ₁, …, b _n).

Lemma 1.8.7, Abschn. 1.8.

Zur Veranschaulichung sei dieser einfache und aus den maßtheoretischen Grundlagen folgende Sachverhalt nochmals nachgewiesen: Zunächst folgt für jedes s ∈ ℝ mit \(s\notin\{ r_{1},r_{2},\ldots\}\), daß η ⁻¹(s) = ∅ ist, während \(\eta^{{-1}}[\bar{\mathbb{R}}]\) ganz Ω ausmacht. Weiterhin hat man für M _n ∈ ℰ_η (n ∈ ℕ) zum einen M _n = η ⁻¹[B _n] mit \(B_{n}\in\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}})\) und daher \(M_{n}^{c}=\Omega\setminus M_{n}=\eta^{{-1}}[B_{n}^{c}]\), also M _n ^c ∈ ℰ_η, zum anderen gilt \(\bigcup _{n}M_{n}=\bigcup _{n}\eta^{{-1}}[B_{n}]=\eta^{{-1}}\left[\bigcup _{n}B_{n}\right]\in\mathcal{E}_{\eta}\) (wegen \(\bigcup _{n}B_{n}\in\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}})\)); daher ist ℰ_η eine σ-Algebra. Per definitionem ist jede Menge A ∈ ℰ_η als Urbild einer Borel-Menge \(B_{A}\in\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}})\) bestimmt, was offenbar \(A=\bigcup _{\nu}E_{{i_{\nu}}}\) für \(B_{A}\cap\eta[\Omega]=\{ r_{{i_{1}}},r_{{i_{2}}},\ldots\}\) und damit ℰ_η ⊂ σ(ℱ) nach sich zieht. Da σ(ℱ) die kleinste alle E _i enthaltende σ-Algebra ist, folgt ℰ_η = σ(ℱ).

Es ist i. a. üblich, das Lebesgue-Integral wie das Riemann-Integral in der Form \(\int f_{\xi}(r)dr\) anstelle von \(\int f_{\xi}d\lambda\) zu schreiben. Wir benutzen die jeweilig angemessene Schreibweise zur Verdeutlichung des Hintergrundes.

Hinreichend für diese Vertauschbarkeit ist gerade die Stetigkeit der d-ten Ableitungen von F.

Vergl. Fußnote 14.

Der dem Leser überlassene Nachweis dieser Tatsache beruht darauf, daß zu jedem n ∈ ℕ nur endlich viele Zahlen r existieren können, für die ψ({r}) > 1∕n ist. Die Vereinigung abzählbar vieler endlicher Mengen ist abzählbar.

Diese Tatsache impliziert, daß es in diesem Zusammenhang unwesentlich ist, ob das Intervall offen, abgeschlossen oder halboffen ist.

\([\Omega,\mathcal{A}_{\sigma},\mathbb{P}]\) wird zuweilen als diskretes Zufallsexperiment bezeichnet [165]

Für eine reelle Zahl x bezeichnet \(n=\lfloor x\rfloor\) die größte ganze Zahl n ≤ x.

Vergl. die in Abschn. 2.12 gegebene Definition 2.12.2 bedingter Erwartungen

ξ ist nach Satz 1.10.1 (Radon-Nikodym) über Ω bis auf Teilmengen vom Maße Null eindeutig bestimmt.

Überall (besser: punktweise überall) konvergent soll heißen: \(\{ f_{n}(x)\} _{{n\in\mathbb{N}}}\) ist als Zahlenfolge für jedes x konvergent.

Englisch „in probability“. Vergl. Definition 1.7.2 in Abschn. 1.7 . Im Deutschen sagt man zuweilen auch „konvergent mit Wahrscheinlichkeit“.

Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, daß zu jedem x (hier aus \(X\setminus N_{\varepsilon}\)) und jedem η > 0 ein nicht von x abhängiger Index n ₀(η) existiert, so daß |f _n(x) − φ(x)| < η ∀ n ≥ n ₀(η) ist.

Das „w“ vom Englischen „weak“.

Man beachte \(\int _{{\bar{\mathbb{R}}}}gd\mathbb{P}_{\eta}=\int _{{\eta[\Omega]}}gd\mathbb{P}_{\eta}\) wegen ℙ_η(M) = 0 für η ⁻¹[M] = ∅, \(M\in\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}})\).

Der Beweis ist in ähnlicher Form bei W. Feller nachzulesen ([59], Kapitel V, Abschnitt 4).

Zudem ist jede über einem offenen Intervall stetige Funktion dort auch Riemann-integrierbar.

Die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung (2.47) garantiert dann offenbar die Endlichkeit des Erwartungswertes \(\mathbb{E}[\xi _{1}\xi _{2}]\).

\(te^{{-t^{2}}}\) ist eine ungerade Funktion, daher folgt \(\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}te^{{-t^{2}}}\, dt=0\).

Bei konstanter Dichte spricht man von einer Gleichverteilung, vergl. Beispiel 2.6.1, Abschn. 2.6.

Wir benutzen die Schreibweise η ( z ), obwohl auch der Bildwert η ( ω ) der Variablen η : Ω → N ₀ diese Form hat; da jedoch die Nomenklatur als „ z -Transformierte“ konsequent beibehalten wird, sollten Unklarheiten bzgl. der jeweiligen Bedeutung nicht auftreten.

Insbesondere periodische Funktionen und deren Absolutbeträge besitzen keine Fourier-Transformierte; vergl. etwa [27].

Re(z) bzw. Im(z) bezeichnen Real- bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl z, d. h. z = Re(z) + i Im(z).

Eine übliche Schreibweise für die Heaviside-Funktion ist H(t) = (t)⁺.

Da die Funktion \(\mathbb{E}[e^{{s\xi}}]=:M_{\xi}(s)\) für reelles s die Momente von ξ ohne Vorzeichenwechsel und ohne konstanten Faktor liefert, ist in der Literatur die Bezeichnung Moment-erzeugende Funktion häufig nur für M _ξ(s) reserviert.

Die Cauchy-Hadamard’sche Formel für den Konvergenzradius R einer Potenzreihe \(\sum _{{n=0}}^{\infty}a_{n}\) lautet \(R=\big(\bar{\lim}_{{n\in\mathbb{N}_{0}}}\sqrt[n]{|a_{n}|}\big)^{{-1}}\); vergl. etwa [19].

Eine Potenzreihe in z ist in jedem Kreis {z : |z| ≤ r} mit r < R gleichmäßig konvergent.

Die Invertierung charakteristischer bzw. Moment-erzeugender Funktionen ist i. a. eine schwierige Aufgabe, zu deren Lösung Rekursionsmethoden oder Techniken der Partialbruchzerlegung herangezogen werden; man vergl. hierzu etwa H. Kobayashi [99] oder auch R.N. Bracewell [27].

Auch Stieltjes-Faltung genannt.

Als diskretes Analogon hat man \(\sum _{{i=0}}^{{n}}\sum _{{j=0}}^{{n-i}}b_{j}a_{i}=\sum _{{j=0}}^{{n}}\sum _{{i=0}}^{{n-j}}a_{i}b_{j}\).

Das bedeutet g(x) = x für x ≥ 0 und g(x) = 0 für x < 0.

Die Aussage ist auch ohne die Voraussetzung endlicher Varianz beweisbar (s. [58], Kapitel X, sowie [93]).

Vergl. Definition 2.8.2, Abschn. 2.8.

Titel: Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
verfasst von: Dieter Baum
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Grundlagen der Warteschlangentheorie
Print ISBN: 978-3-642-39631-1

Electronic ISBN: 978-3-642-39632-8

Copyright-Jahr: 2013
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-39632-8_2

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