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Erschienen in:

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Über stochastische Prozesse

verfasst von : Dieter Baum

Erschienen in: Grundlagen der Warteschlangentheorie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Ein stochastischer Prozeß \(\mathcal{X}\) über einem Wahrscheinlichkeitsraum \([\Omega,\mathcal{A}_{\sigma},\mathbb{P}]\) ist in erster Näherung aufzufassen als eine Familie {ξ _t : t ∈ T} von Zufallsgrößen ξ _t : Ω → X (T eine geeignete Indexmenge, X ein metrischer Raum). Für X = ℝ spricht man bzgl. der ξ _t von reellwertigen Zufallsvariablen, für X = ℝ^d (d > 1) von Zufallsvektoren. Intuitiv wird mit dem Begriff Prozeß i. a. die Vorstellung eines zeitlichen Ablaufes verbunden, daher ist im Falle T ≠ ℝ₀ die Bezeichnung Zufallsfunktion angebrachter. Charakteristisch für Zufallsfunktionen bzw. stochastische Prozesse ist die i. a. komplexe stochastische Abhängigkeit der Einzelelemente ξ _t. Das vorliegende Kapitel gibt einen kurzen Überblick über verschiedene Typen stochastischer Prozesse, behandelt den eindimensionalen Poisson-Prozeß und führt vertiefend in die Grundlagen der Erneuerungstheorie ein, dabei u. a. die Begriffe Erneuerungsfunktion, Erneuerungsgleichung, Erneuerungssatz und Hauptsatz der Erneuerungstheorie (Blackwell’sches Erneuerungstheorem) erläuternd.

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In [68] heißt \(\mathcal{X}\) Zufallsfeld, falls T ein mehrdimensionaler Raum ist.

Dabei tritt allerdings ggf. ein Eindeutigkeitsproblem auf, da verschiedene Familien von Zufallsvariablen identische endlich-dimensionale Verteilungsfunktionen besitzen können.

Vollständiger separabler metrischer Raum.

Zuweilen auch als Pfad , im Englischen „path“ oder „sample function“.

Es würde genügen, als Parametermenge T lediglich eine beliebige geordnete Menge und als Zustandsraum X anstelle eines metrischen Raumes lediglich einen meßbaren Raum zu fordern (vergl. etwa [11]).

Vergl. die Definition 1.5.3 des σ-Operators ((1.14) in Abschn. 1.5). Es ist σ(ξ _s : s ≤ t) = σ(ξ _s ⁻¹[B] : s ≤ t, B meßbar in X).

Das bedeutet, daß der topologische Raum (T, ρ) eine abzählbare dichte Teilmenge enthält (s. Kap. , Abschn. .1.3).

Englisch „bounded in probability“.

Ein kompakter metrischer Raum.

S. Kap. 1, Abschn. 1.2.

Siehe Definition 1.4.8, Abschn. 1.4.4 in Kap. 1.

Siehe Kap. 4.

Für eine Menge M ⊂ ℝ bezeichne |M| die Menge der in M enthaltenen Punkte.

Bemerkung zur Notation: Aus Gründen der Kompatibilität zu anderen Abschnitten (und zu üblichen Schreibweisen) benutzen wir je nach Bedarf nicht nur griechische, sondern auch deutsche Buchstaben zur Kennzeichnung von Zufallsgrößen.

Hier ist T ₀ = 0 ist nicht als Punkt mitzuzählen.

Die Termini Inkremente und Zuwächse sind Synonyme; sie werden häufig auch bei negativen Differenzen benutzt, obwohl ihre Semantik \(\theta _{{t_{{j}}}}-\theta _{{t_{{j-1}}}}\ge 0\) für t _j ≥ t _j − 1 verlangt.

Diese Eigenschaft impliziert die Stationarität der Inkremente; vergl. Beispiel 2.13.1 in Abschn. 2.13, Kap. 2.

Berühmt ist diesbezüglich ein Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat aus dem Jahre 1624.

Vergl. Definition 3.1.2 in Abschn. 3.1.

Man erinnere sich, daß {ξ _t : t ∈ ℝ} an {ℱ_t : t ∈ ℝ} adaptiert heißt, wenn für jedes t die Variable ξ _t bzgl. ℱ_t meßbar ist.

Dieser Sachverhalt wird notationell oft in der Form \((\eta _{{t_{1}}},\ldots,\eta _{{t_{n}}})\stackrel{\text{d}}{=}(\eta _{{t_{1}+\tau}},\ldots,\eta _{{t_{n}+\tau}})\) ausgedrückt, wobei das „d“ über dem Gleichheitszeichen auf Gleichheit in der Verteilung („in distribution“) hindeutet.

Ein Kunstwort, im Zusammenhang mit griech. ergon = Arbeit gebildet und der Beschreibung eines Problems der statistischen Mechanik entlehnt, das die Frage betrifft, wann zeitliche Mittelwerte von Zustandsannahmen durch Mittelwerte über den Phasenraum ersetzbar sind.

Im Falle allgemeinerer Bernoulli-Prozesse, in dem jede Zufallsvariable ξ _n nicht nur Werte aus {0,1}, sondern aus einer endlichen Menge ganzer Zahlen annehmen kann, wird das Quadrupel \([\mathcal{C},\mathcal{A},\mathbb{P},{\mathbb{T}}]\) als Bernoulli-Schema bezeichnet.

Vergl. Abschn. 1.12: M sei eine Menge, X ein metrischer Raum, F die Menge aller Abbildungen f : M → X, M ⁽ⁿ⁾ eine Borelmenge in X ⁿ. Die Familie \(Z_{{(k_{1},k_{2},\ldots,k_{n})}}(M^{{(n)}})=\) {f : (f(k ₁), f(k ₂), …, f(k _n)) ∈ M ⁽ⁿ⁾} wird als Zylindermenge in F mit der Basis M ⁽ⁿ⁾ bezeichnet.

Wir beschränken uns der Kürze halber auf zeitdiskrete Prozesse; Analoge Betrachtungen gelten für zeitkontinuierliche Prozesse.

Zum Beweis bzw. einer fundierteren Einführung in die Ergodentheorie vergl. man etwa [59].

Weitere Bezeichnungen sind „von zweiter Ordnung stationär“ und „schwach stationär“ .

Im Englischen spricht man auch von einem reinen Erneuerungsprozeß („pure renewal process“).

N _t „zählt“ die bis zum Zeitpunkt t einschließlich abgeschlossenen Erneuerungsintervalle.

Hier ist der Abstand T ₁ zu 0 = T ₀ zu zählen, obwohl T ₀ per Übereinkunft nicht im Bildbereich des Punktprozesses liegen soll.

Vergl. Definition 4.1.1.

Der Begriff „compound process“ wird i. a. für den Fall von Punktprozessen benutzt, deren Punkte T _k mit Markierungen M _k versehen sind, welche nicht notwendigerweise natürliche Zahlen sind.

Die leere Summe \(\sum _{{k=1}}^{0}M_{k}\) wird wird üblich als Null definiert.

Vergl. Kap. 4, Abschn. 4.2.3, insbesondere Korollar 4.2.9.

Wegen des Verschwindens der Verteilungsfunktionen im negativen Bereich erstreckt sich das Integral über das Intervall [0, t].

Hier wird bzgl. der Vertauschbarkeit von Summation und Mittelwertbildung die Nicht-Negativität der Indikatorfunktion benutzt; vergl. Korollar 1.11.7 in Kap. 1, Abschn. 1.11.

Wird, wie etwa in [36], der Nullpunkt T ₀ = 0 als Erneuerungspunkt interpretiert, so hat R(t) die Gestalt \(R(t)=1+\int _{0}^{t}r(x)dx\).

Die Einbeziehung oder Nichteinbeziehung der Intervall-Endpunkte ist hier unwesentlich.

Wird der Nullpunkt als Erneuerungspunkt dazugezählt, wie es etwa bei Alsmeyer [4], Çinlar [36], Feller [58] und Resnick [156] der Fall ist, so ist \(R(t)=\mathbb{E}[N_{t}]=\sum _{{k=0}}^{\infty}F_{H}^{{*k}}(t)\).

Bei Mitzählung des Nullpunktes als Erneuerungszeitpunkt lautet die Lösung ebenfalls \(U=\sum _{{k=0}}^{\infty}F_{H}^{{*k}}*g\), daher spielt diese Entscheidung hier keine wesentliche Rolle.

Zur Definition vergl. Anhang , Abschn. .2, Definition A.2.3.

S. Definition A.2.3 (Kap. , Abschn. .2).

H ₀ mit ggf. abweichender Verteilung.

Titel: Über stochastische Prozesse
verfasst von: Dieter Baum
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Grundlagen der Warteschlangentheorie
Print ISBN: 978-3-642-39631-1

Electronic ISBN: 978-3-642-39632-8

Copyright-Jahr: 2013
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-39632-8_3

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