Endliche Strukturen

verfasst von: Kristina Reiss, Gernot Stroth

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Mathematik für das Lehramt

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Band stehen Probleme im Mittelpunkt, die sich zunächst einfach anhören, dann aber eine anspruchsvollere mathematische Bearbeitung verlangen. Sie kommen aus unterschiedlichen Bereichen, doch ist ihnen gemeinsam, dass sie sich auf eine endliche Anzahl von Elementen beziehen. Hierfür werden mathematische Modelle betrachtet und immer wieder die gleichen Fragen gestellt: Hat ein bestimmtes Problem überhaupt eine Lösung? Kann man alle Lösungen systematisch bestimmen? Gibt es dabei einen wirklich effizienten Weg?

Das Buch konzentriert sich in fünf Kapiteln auf die grundlegenden algebraischen Strukturen Gruppe, Ring und Körper sowie auf Einblicke in die Galoistheorie, die Codierungstheorie und die Graphentheorie. Am Beispiel endlicher Strukturen wird jeweils aufgezeigt, welche Theorien die Mathematik zur Verfügung stellt, wenn konkrete Fragestellungen wie das Abzählen von Mustern, die Codierung von Nachrichten oder das Aufstellen von Tourenplänen bearbeitet werden sollen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Grundlagen und Zählprinzipien

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geht es um einige grundlegende Prinzipien, die für den Umgang mit endlichen Strukturen unverzichtbar sind. Es ist sicherlich nicht erstaunlich, dass dabei das Zählen eine ganz wesentliche Rolle spielt. Auch wenn dieses Buch nicht unbedingt für den Beginn des Studiums gedacht ist und wir etwa die Inhalte einer Einführung in die Lineare Algebra an manchen Stellen als bekannt voraussetzen, wird hier relevantes Basiswissen zusammengestellt, das vermutlich nicht wenigen Leserinnen und Lesern bereits vertraut ist. Dabei werden wir uns besonders auf Beweismethoden in der Mathematik und grundlegende kombinatorische Prinzipien konzentrieren, wobei (ihrer Bedeutung für das Buch entsprechend) Abzählmethoden im Vordergrund stehen. Ein wesentliches Ziel ist es, das Induktionsprinzip, das Schubfachprinzip und das Inklusions-Exklusions-Prinzip vorzustellen. Daneben werden Kernideen der Kombinatorik aufgezeigt, die auch dem Zählen zuzuordnen sind.

Kristina Reiss, Gernot Stroth

Kapitel 2. Körper und Polynome

Zusammenfassung

Nicht in allen Zahlbereichen kann man alle Rechenoperationen unbeschränkt durchführen. So darf man in der Menge ℕ der natürlichen Zahlen zwar addieren und multiplizieren, aber weder unbeschränkt subtrahieren noch unbeschränkt dividieren: 3-5 ist keine natürliche Zahl und ebensowenig 2:3. In ℤ können wir addieren, subtrahieren und multiplizieren, aber nicht beliebig dividieren, wenn das Ergebnis wieder eine ganze Zahl sein soll. In den rationalen Zahlen ℚ können wir hingegen alle Rechenoperationen anwenden und bekommen als Ergebnis jeweils eine rationale Zahl. Mit diesem Phänomen, das wir auch von der Menge ℝ der reellen Zahlen und der Menge ℂ der komplexen Zahlen kennen, wollen wir uns in diesem Kapitel gezielt beschäftigen. Es ist im Grunde die wesentliche Eigenschaft, die ein mathematischer Körper erfüllen muss und solche Körper werden wir im folgenden Abschnitt betrachten. Dabei geht es nicht nur um das Rechnen in alt bekannten Zahlbereichen. Die in diesem Kapitel eingeführten endlichen Körper spielen in der Codierungstheorie und der theoretischen Informatik eine wichtige Rolle. Aber auch in anderen Zusammenhängen werden wir sehen, dass es sinnvoll ist, nicht nur ℚ, ℝ und ℂ zu studieren, sondern die wesentlichen Eigenschaften dieser Zahlbereiche zu verallgemeinern.

Kristina Reiss, Gernot Stroth

Kapitel 3. Gruppen und Symmetrien

Zusammenfassung

Die Mathematik wird häufig als eine Wissenschaft angesehen, deren hauptsächlicher Inhalt in der Beschreibung und Untersuchung abstrakter Strukturen liegt. Genau darum geht es in diesem Kapitel. Wir zeigen auf, wie in der Mathematik Strukturen identifiziert und benannt werden. Darüber hinaus möchten wir aber deutlich machen, dass sich hinter abstrakten Strukturen durchaus Phänomene verbergen können, die einen klaren Bezug zur Realität haben. Am Beispiel von Gruppen und Symmetrien kann man das unseres Erachtens besonders gut erkennnen.

Kristina Reiss, Gernot Stroth

Kapitel 4. Codierung von Nachrichten

Zusammenfassung

In der Codierungstheorie geht es darum, mathematische Verfahren zu identifizieren, mit deren Hilfe eine Nachricht möglichst störungsfrei und sicher über einen eher unsicheren Kanal gesendet werden kann. Dabei ist die automatische Fehlererkennung eine der wesentlichen Herausforderungen. Wir wollen uns entsprechend in diesem Kapitel mit Grundlagen der Übertragung und Fehlerkorrektur auseinander setzen. Wir können hier nur die grundsätzlichen Fragen behandeln. Als weiterführende Literatur sei auf die Bücher von J. H. van Lindt [9] und W. Willems [15] verwiesen.

Kristina Reiss, Gernot Stroth

Kapitel 5. Tourenplanung

Zusammenfassung

Es geht in diesem Kapitel um ein einfach klingendes Problem, das es allerdings in sich hat. Wir werden sehen, wie unterschiedliche Aspekte zusammenwirken, um eine angemessene Modellierung zu finden und wie schwierig sich diese einzelnen Aspekte darstellen. Wir werden auch sehen, dass eigentlich nichts über eine gute Theorie geht, die dann für viele reale Situationen die mathematische Basis bieten kann. Konkret wird das Kapitel einen ersten Einblick in die Inhalte der Graphentheorie geben.

Kristina Reiss, Gernot Stroth

Kapitel 6. Lösungen der Übungsaufgaben

Zusammenfassung

Wir stellen fest, dass die Pilzsammler im Durchschnitt etwas unter 15 Pilzen gesammelt haben. Hätten vier Sammler weniger als 15 Pilze gesammelt, so wäre die Anzahl dieser Sammler höchstens 14, 13, 12, 11. Die Summe ist 50, also haben die anderen drei mindestens 50 Pilze gesammelt. Im anderen Fall gibt es mindestens vier Sammler, die mehr als 14 Pilze gefunden haben. Dann gibt es aber auch drei, die mindestens 16, 17, 18 Pilze, also 51, gefunden haben.

Kristina Reiss, Gernot Stroth

Backmatter

Titel: Endliche Strukturen
verfasst von: Kristina Reiss
Gernot Stroth
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-17182-6
Print ISBN: 978-3-642-17181-9
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-17182-6

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Grundlagen und Zählprinzipien

Kapitel 2. Körper und Polynome

Kapitel 3. Gruppen und Symmetrien

Kapitel 4. Codierung von Nachrichten

Kapitel 5. Tourenplanung

Kapitel 6. Lösungen der Übungsaufgaben

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