Evolution Variational Inequalities of First Order in H-Spaces

In this chapter we generalize the results of Chapter 31 to problems of the form <m:m:math display='block'> <m:m:mrow> <m:m:mi>b</m:m:mi><m:m:mrow><m:m:mo>(</m:m:mo> <m:m:mi>t</m:m:mi> <m:m:mo>)</m:m:mo></m:m:mrow><m:m:mo>&#x2208;</m:m:mo><m:m:msup> <m:m:mi>u</m:m:mi> <m:m:mo>&#x2032;</m:m:mo> </m:m:msup> <m:m:mrow><m:m:mo>(</m:m:mo> <m:m:mi>t</m:m:mi> <m:m:mo>)</m:m:mo></m:m:mrow><m:m:mo>+</m:m:mo><m:m:mi>A</m:m:mi><m:m:mi>u</m:m:mi><m:m:mrow><m:m:mo>(</m:m:mo> <m:m:mi>t</m:m:mi> <m:m:mo>)</m:m:mo></m:m:mrow><m:m:mo>&#x2212;</m:m:mo><m:m:mi>&#x03C9;</m:m:mi><m:m:mi>u</m:m:mi><m:m:mrow><m:m:mo>(</m:m:mo> <m:m:mi>t</m:m:mi> <m:m:mo>)</m:m:mo></m:m:mrow><m:m:mo>,</m:m:mo><m:m:mtext>&#x2009;</m:m:mtext><m:m:mn>0</m:m:mn><m:m:mo>&#x003C;</m:m:mo><m:m:mi>t</m:m:mi><m:m:mo>&#x003C;</m:m:mo><m:m:mi>T</m:m:mi><m:m:mo>,</m:m:mo><m:m:mtext>&#x2009;</m:m:mtext><m:m:mi>u</m:m:mi><m:m:mrow><m:m:mo>(</m:m:mo> <m:m:mn>0</m:m:mn> <m:m:mo>)</m:m:mo></m:m:mrow><m:m:mo>=</m:m:mo><m:m:msub> <m:m:mi>u</m:m:mi> <m:m:mn>0</m:m:mn> </m:m:msub> </m:m:mrow> </m:m:math>]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$ b\left( t \right) \in u'\left( t \right) + Au\left( t \right) - \omega u\left( t \right),\;0 < t < T,\;u\left( 0 \right) = {u_0} $$ in an H-space. In this connection we use the results that we established in Chapter 23 (generalized derivatives and evolution triples) and Chapter 32 (maximal monotone operators). As an important methodological tool, we make use of the Yosida approximation. In Chapter 66 we shall consider applications to plasticity theory.